第13讲 二元一次方程组的应用及其三元一次方程组（3大知识点+9大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（湘教版2024）

第13讲 二元一次方程组的应用及三元一次方程组 课程标准 学习目标 二元一次方程组的应用 三元一次方程组的定义、解法和应用 1.会解二元一次方程组解简单应用题,并能检验结果的合理性。 2.知道什么是三元一次方程和三元一次方程组. 3.会用“代入消元法”“加减消元法”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决,感受消元转化的数学思想. 4.会解三元一次方程组解简单应用题 知识点01 二元一次方程组的应用解题步骤 【即学即练1】 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，就会迟到；如果他以的速度行驶，则可提前到达乙地．求甲、乙两地之间的距离以及甲地到乙地的规定时间． 知识点02 三元一次方程组的定义 含有三个 ，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组，一般地，三元一次方程组含有三个方程. 【即学即练1】 下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 三元一次方程方程组的解法 解三元一次方程维时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为 ，然后利用解二元一次方程组的方法求解，消元的方法仍是代入消元法或加臧消元法. 【即学即练1】 解方程组：． 题型01 和差倍分问题 【典例1】“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【变式1】用1块A型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板、2块D型钢板．现需15块C型钢板、18块D型钢板，可恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？ 【变式2】根据以下素材，探索完成任务： 如何确定人数？ 素材1 某兴趣小组组织研学活动，商议去参观航天展览馆，展览馆分为，两个场馆，已知购买1张场馆门票和2张场馆门票共需130元，购买2张场馆门票和3张场馆门票共需220元． 素材2 由于场地原因，每位学生只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的每张门票价格． 任务2 确定人数 到达展览馆后，购买两种门票共花了费了750元，且参观B场馆的学生人数多于参观A场馆的同学人数，请你求出实际参观场馆和场馆分别有多少人？ 题型02 几何问题 【典例1】在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【变式1】如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 【变式2】如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 题型03 销售、利润问题 【典例1】七年级某班的一个综合实践活动小组去两个超市调查去年和今年春节假期期间的销售情况，如下图所示的是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出两个超市今年春节假期期间的销售额． 【变式1】超市一次用7000元购进两种“冬奥会”吉祥物挂件，其中“冰墩墩”的个数是“雪容融”个数的2倍，“冰墩墩”和“雪容融”的金价和售价如下表：（注：获利售价进价） “冰墩墩” “雪容融” 进价（元/个） 20 30 售价（元/个） 25 40 (1)该超市购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件各多少个？ (2)该超市将第一次购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件全部卖完后一共可以获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进两种挂件，其中“冰墩墩”的个数不变，“雪容融”的个数是第一次的3倍；“冰墩墩”按原价销售，“雪容融”打折销售，第二次两种挂件都售完以后获得的总利润比第一次的总利润多800元，求第二次“雪容融”是按原价打几折销售？ 【变式2】小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第____________次购物打了折扣； (2)求出商品A，B的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 题型04 工程问题 【典例1】一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【变式1】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【变式2】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 题型05 行程问题 【典例1】小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米时，而他在下坡路上的平均速度为12千米时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？（温馨提示：计算时请注意单位） 【变式1】甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 【变式2】青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 题型06 古代问题 【典例1】《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【变式1】明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤 两，故有“半斤八两”这个成语） 【变式2】《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3 人乘1辆车，最终剩余2辆车，若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 题型07 其他问题 【典例1】哈69中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛共进行10场）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 追光队 10 8 2 26 冲锋队 10 7 3 24 无限队 10 22 勇士队 10 5 5 20 飞虎队 10 4 6 18 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积______分，负一场积______分； (2)求无限队的胜场数和负场数； (3)已知小组赛的前两名追光队与冲锋队进入冠亚军总决赛，两队共比赛5场，且小组赛积分累计计入总决赛，那么冲锋队要在总决赛赢下几场，才能和追光队的积分持平？ 【变式1】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按纽，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 【变式2】一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车辆数（单位：辆） 2 5 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 累计运算吨数（单位：吨） 35 (1)问甲乙两种货车一次分别运送多少吨货物？ (2)现租用该公司3辆甲种货车及6辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付费30元计算，问：货主应付运费多少元？ 题型08 三元一次方程组的定义及解法 【典例1】已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【变式1】三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【变式2】解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【变式3】已知，且，求的值． 题型09 三元一次方程组的应用 【典例1】某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 【变式1】某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套． 【变式2】某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？ 一、单选题 1．某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 2．从A地到B地有一段上坡路和一段平路，如果车辆保持上坡每小时行驶，平路每小时行驶，下坡每小时行驶，那么车辆从A地到B地需要，从B地到A地需要．A，B两地之间的坡路和平路各有多少千米？设A，B两地之间的坡路为，平路为，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 4．若辆板车与辆卡车一次能运吨货，辆板车与辆卡车一次能运吨，设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运吨货，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 5．学校组织劳技社会实践活动，甲乙两班同时参加了陶艺制作项目．活动结束后，两个班统计了制作陶艺品的总数，结果发现甲乙两班陶艺品的总数比为，甲班制作的陶艺品总数的2倍比乙班陶艺品的总数3倍少30个．设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个，根据题意所列的方程组应为（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（    ） A． B． C． D． 7．解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 8．如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 二、填空题 11．大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为 ． 12．某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件． A B 进价/（元/件） 60 100 标价/（元/件） 100 160 13．如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为 ． 14．长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，如果设长江长为千米，黄河长为千米，那么所列方程组是 ． 15．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元． 16．已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 17．近来受新冠疫情影响，大家一起“宅”行动．小区物业为封控在家的业主精心配制了3种蔬菜包、，其中每包蔬菜包的成本是蔬菜包的2倍，每包蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的售价分别比其成本高月份第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量之比为，三种蔬菜包的总利润是总成本的，则每包蔬菜包与每包蔬菜包的成本之比为 ． 三、解答题 18．某中学决定组织部分班级去三清山开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ 19．在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收，去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了，支出减少，预计今年结余比去年结余多11400元．回答下列问题： (1)今年结余_______元； (2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为_______元，支出为_______元；（用含的代数式表示） (3)根据（2）所设的未知数，列出相应的方程组； (4)是（3）中所列出的方程组的解吗？ 20．2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，并计划购买两种钢笔用于奖励此次测试成绩优异的同学．已知2支种钢笔的总价格比1支种钢笔的价格多20元，3支种钢笔和2支种钢笔的总价格共135元，求每支种钢笔和每支种钢笔的价格分别为多少元？ 21．解方程（组） (1) (2) (3)． 22．【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 二元一次方程组的应用及三元一次方程组 课程标准 学习目标 二元一次方程组的应用 三元一次方程组的定义、解法和应用 1.会解二元一次方程组解简单应用题,并能检验结果的合理性。 2.知道什么是三元一次方程和三元一次方程组. 3.会用“代入消元法”“加减消元法”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决,感受消元转化的数学思想. 4.会解三元一次方程组解简单应用题 知识点01 二元一次方程组的应用解题步骤 【即学即练1】 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以的速度行驶，就会迟到；如果他以的速度行驶，则可提前到达乙地．求甲、乙两地之间的距离以及甲地到乙地的规定时间． 【答案】甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据路程速度时间列方程组是解题的关键．设甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为，再由路程速度时间列方程组求解即可． 【详解】设甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为， 由题意可得， 即， 整理得， 解得， 甲、乙两地之间的距离为，甲地到乙地的规定时间为． 知识点02 三元一次方程组的定义 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组，一般地，三元一次方程组含有三个方程. 【即学即练1】 下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 知识点03 三元一次方程方程组的解法 解三元一次方程维时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解，消元的方法仍是代入消元法或加臧消元法. 【即学即练1】 解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法求解三元一次方程组是解题的关键． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 解得： 得 将代入④得 解得：， 将，代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 题型01 和差倍分问题 【典例1】“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 【变式1】用1块A型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板、2块D型钢板．现需15块C型钢板、18块D型钢板，可恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？ 【答案】恰好用4块型钢板，7块型钢板 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 设恰好用块型钢板，块型钢板，根据现需15块型钢板和18块型钢板，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【详解】解：设恰好用块型钢板，块型钢板， 根据题意得：， 解得：． 答：恰好用4块型钢板，7块型钢板． 【变式2】根据以下素材，探索完成任务： 如何确定人数？ 素材1 某兴趣小组组织研学活动，商议去参观航天展览馆，展览馆分为，两个场馆，已知购买1张场馆门票和2张场馆门票共需130元，购买2张场馆门票和3张场馆门票共需220元． 素材2 由于场地原因，每位学生只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的每张门票价格． 任务2 确定人数 到达展览馆后，购买两种门票共花了费了750元，且参观B场馆的学生人数多于参观A场馆的同学人数，请你求出实际参观场馆和场馆分别有多少人？ 【答案】任务1：场馆的每张门票价格为50元，场馆的每张门票价格为40元 任务2：实际参观场馆和场馆分别有3人、15人或7人、10人 【分析】本题考查二元一次方程组与二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用．根据题意列出方程与方程组、不等式组是解题的关键． 任务1：设场馆的每张门票价格为元，场馆的每张门票价格为元．根据购买1张场馆门票和2张场馆门票共需130元，购买2张场馆门票和3张场馆门票共需220元．列出方程组，求解即可． 任务2：设实际参观场馆有人，参观场馆有人．根据购买两种门票共花了费了750元，列出二元一次方程，解得，再根据参观B场馆的学生人数多于参观A场馆的同学人数得到不等式组，求得，再根据a、为正整数，求解即可． 【详解】解：任务1：设场馆的每张门票价格为元，场馆的每张门票价格为元． 由题意可得； 解得 ， 答：场馆的每张门票价格为50元，场馆的每张门票价格为40元． 任务2：设实际参观场馆有人，参观场馆有人． 由题意可得， 解得， ， 解得， 又，为正整数， 符合条件的解为，， 答：实际参观场馆和场馆分别有3人、15人或7人、10人． 题型02 几何问题 【典例1】在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，求阴影部分图形的总面积． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，可得． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得 所以，小长方形的长为，宽为． 阴影部分图形的总面积． 【变式1】如图，长方形由7个正方形组成，已知正方形A的边长为，正方形B的边长为，求此长方形的面积．（只能用二元一次方程组解答） 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设正方形的边长分别为，根据长方形的对边相等，列出方程组求出的值，进而求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长分别为， 由图可知：，解得：， ∴长方形的长为：，宽为：， ∴长方形的面积为：． 【变式2】如图是用长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高等于盒底边长乘2.5，三处“接口”的宽度相等，该茶叶盒的容积是多少？ 【答案】该茶叶盒的容积是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设长方体纸盒的底面边长为，三处“接口”的宽度为，则长方体纸盒的高为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴该茶叶盒的容积是． 题型03 销售、利润问题 【典例1】七年级某班的一个综合实践活动小组去两个超市调查去年和今年春节假期期间的销售情况，如下图所示的是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情景．根据他们的对话，请你分别求出两个超市今年春节假期期间的销售额． 【答案】A超市今年春节假期期间的销售额为69万元，B超市今年春节假期期间的销售额为99万元 【分析】本题是有关二元一次方程组的应用的题目，解题的关键分析题目的等量关系． 设A超市去年春节期间的销售额为x万元，B超市去年春节期间的销售额为y万元，然后根据今年和去年两超市的销售额之和超市的销售额超市的销售额，列出关于x、y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可解题． 【详解】解：设A超市去年春节假期期间的销售额为x万元，B超市去年春节假期期间的销售额为y万元． 由题意，得， 解得：， （万元），（万元）． 答：A超市今年春节假期期间的销售额为69万元，B超市今年春节假期期间的销售额为99万元． 【变式1】超市一次用7000元购进两种“冬奥会”吉祥物挂件，其中“冰墩墩”的个数是“雪容融”个数的2倍，“冰墩墩”和“雪容融”的金价和售价如下表：（注：获利售价进价） “冰墩墩” “雪容融” 进价（元/个） 20 30 售价（元/个） 25 40 (1)该超市购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件各多少个？ (2)该超市将第一次购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件全部卖完后一共可以获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进两种挂件，其中“冰墩墩”的个数不变，“雪容融”的个数是第一次的3倍；“冰墩墩”按原价销售，“雪容融”打折销售，第二次两种挂件都售完以后获得的总利润比第一次的总利润多800元，求第二次“雪容融”是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市购进“冰墩墩”200个，购进“雪容融”100个； (2)2000元 (3)第二次“雪容融”是按原价打9折销售 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设该超市购进“冰墩墩”x个，购进“雪容融”y个，根据总进价为7000元以及“冰墩墩”的个数是“雪容融”个数的2倍列出方程组求解即可； （2）根据（1）所求结合获利售价进价列式求解即可； （3）设第二次“雪容融”是按原价打m折销售，根据第二次总利润比第一次的总利润多800列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进“冰墩墩”x个，购进“雪容融”y个， 由题意得， ， 解得， 答：该超市购进“冰墩墩”200个，购进“雪容融”100个； （2）解：元， 答：该超市将第一次购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件全部卖完后一共可以获得利润2000元； （3）解：设第二次“雪容融”是按原价打m折销售， 由题意得，， 解得， 答：第二次“雪容融”是按原价打9折销售． 【变式2】小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第____________次购物打了折扣； (2)求出商品A，B的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)三 (2)商品A的标价为90元，商品B的标价为120元 (3)商店是打六折出售这两种商品 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据图表可得小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值； （3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，小林以折扣价购买商品A，B是第三次购物． 故答案为：三； （2）解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元． 根据题意，得， 解得：， 故商品A的标价为90元，商品B的标价为120元． （3）解：设商店打a折出售这两种商品． 根据题意得：， 解得：． 故商店是打六折出售这两种商品的． 题型04 工程问题 【典例1】一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【答案】女工要比男工多18人． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算． 设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可． 【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得，， 解得，， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工（人）， 需要男工（人）， 女工比男工多（人）． 故女工比男工要多18人． 【变式1】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【变式2】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 题型05 行程问题 【典例1】小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米时，而他在下坡路上的平均速度为12千米时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？（温馨提示：计算时请注意单位） 【答案】11分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小明在上坡路上用了分钟，在下坡路上用了分钟，根据小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：4.8千米时米分，12千米时米分， 设小明在上坡路上用了分钟，在下坡路上用了分钟， 由题意得：， 解得：， 答：小明在上坡路上用了11分钟． 【变式1】甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 【答案】摩托车走完全程要216分钟． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇，则，据此可得，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们推出，可得；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B得到，则，进而可得，，据此求出摩托车需要的时间即可． 【详解】解：设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇， 由题意得，， ∴； ∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分钟 答：摩托车走完全程要216分钟． 【变式2】青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 题型06 古代问题 【典例1】《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【答案】甲有钱 ，乙有钱25 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出等量关系是解题的关键． 设甲有钱x，乙有钱y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲有钱x，乙有钱y， 由题意得： 解得： 答：甲有钱 乙有钱25． 【变式1】明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题如图所示，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．问有多少人？所分的银子共有多少两？（注：明代时斤 两，故有“半斤八两”这个成语） 【答案】有个人，两银子 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．设有个人，两银子，根据每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设有个人，两银子， 根据题意，得， 解得：， 答：有个人，两银子． 【变式2】《孙子算经》中有一题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每3 人乘1辆车，最终剩余2辆车，若每2人共乘1辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 【答案】有人，共辆车 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设有人，共辆车，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设有人，共辆车，由题意，得： ，解得：， 答：有人，共辆车． 题型07 其他问题 【典例1】哈69中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛共进行10场）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 追光队 10 8 2 26 冲锋队 10 7 3 24 无限队 10 22 勇士队 10 5 5 20 飞虎队 10 4 6 18 超越队 10 0 10 10 (1)胜一场积______分，负一场积______分； (2)求无限队的胜场数和负场数； (3)已知小组赛的前两名追光队与冲锋队进入冠亚军总决赛，两队共比赛5场，且小组赛积分累计计入总决赛，那么冲锋队要在总决赛赢下几场，才能和追光队的积分持平？ 【答案】(1)，； (2)无限队的胜场数为场，负场数为场； (3)冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设胜一场积分，负一场积分，根据勇士队和超越队的积分列二元一次方程组求解即可； （2）设无限队的胜场数为场，则负场数为场，根据无限队积分为22分列一元一次方程求解即可； （3）设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 由题意得：，解得：， 即胜一场积分，负一场积分， 故答案为：，； （2）解：设无限队的胜场数为场，则负场数为场， 由题意得：， 解得：， ， 答：无限队的胜场数为场，负场数为场； （3）解：设冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平， 由题意得：， 解得：， 答：冲锋队要在总决赛赢下场，才能和追光队的积分持平． 【变式1】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按纽，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组； （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； 【变式2】一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车辆数（单位：辆） 2 5 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 累计运算吨数（单位：吨） 35 (1)问甲乙两种货车一次分别运送多少吨货物？ (2)现租用该公司3辆甲种货车及6辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付费30元计算，问：货主应付运费多少元？ 【答案】(1)甲货车一次运送4吨，乙货车一次运送吨 (2)货主应付运费810元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组． （1）设甲货车一次运输吨，乙货车一次运送为吨，根据表中提供的数据列方程组求解即可； （2）结合（1）中得到的结果列式求解即可． 【详解】（1）解：设甲货车一次运输吨，乙货车一次运送为吨， 依题意得：， 解得：， 答：甲货车一次运送4吨，乙货车一次运送吨； （2）解：货主应付运费为：元， 答：货主这次应付运费元． 题型08 三元一次方程组的定义及解法 【典例1】已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目． 首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解． 【详解】解：，， 得：， ， 而， 得， ， 把代入得：， ． 故选：C． 【变式1】三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式2】解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】B 【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小， 本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组． 【详解】解：， ②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组， 故选：． 【变式3】已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 题型09 三元一次方程组的应用 【典例1】某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 【答案】45千米小时 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程组，求得数字、的关系．另外注意隐含条件数字、满足，．假设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时．那么这个两位数数值就是，1小时后站牌数值是，又经过1小时，他看到第三块里程牌上数值是；因而列方程与，求得与的比例关系．通过数字、满足，，确定出、的取值，代入求得的值． 【详解】解：设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时． 由题意得， 整理得： 由①②得，即 又， 只能取6， 答：汽车的速度是45千米小时． 【变式1】某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套． 【答案】衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性；可设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共210名工人；②每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个；依此列出方程组求解即可． 【详解】解设个人缝制衣袖，个人缝制衣身，个人缝制衣领． 则有， 解得： 答：衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人． 【变式2】某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？ 【答案】20张 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，难度较大，对于本题的解答，列示比较简单，难点在与通过加减消元法得到与，与的关系，根据、判定的最小值．首先假设、、三种贺卡售出的张数分别为，，．根据题意列方程组得：然后通过加减消元法得到，根据的取值判定的最小值． 【详解】解：设、、三种贺卡售出的张数分别为，，， 则由题意得组得：， 由①②得，，即， ②①得，，即， 由，得， 由，得， ， 答：该商店3月份出售种贺卡至少20张． 一、单选题 1．某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果以每小时75千米的速度行驶，则可提前24分钟到达，甲、乙两地的距离是（   ）千米． A．200 B．120 C．100 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时，根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】设甲乙两地的距离为千米，规定时间为小时． 根据题意，得 解得 所以，甲乙两地的距离为千米． 故选：B． 2．从A地到B地有一段上坡路和一段平路，如果车辆保持上坡每小时行驶，平路每小时行驶，下坡每小时行驶，那么车辆从A地到B地需要，从B地到A地需要．A，B两地之间的坡路和平路各有多少千米？设A，B两地之间的坡路为，平路为，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确从A地到B地的上坡路是从B地到A地的下坡路．设A，B两地之间的坡路为，平路为，根据车辆从A地到B地需要，从B地到A地需要，列出方程组即可． 【详解】解：，， 依题意可列出方程组为． 故选C． 3．在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可知， 解得 故选：B． 4．若辆板车与辆卡车一次能运吨货，辆板车与辆卡车一次能运吨，设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运吨货，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据4辆板车与5辆卡车一次能运27吨货，辆板车与3辆卡车一次能运20吨货，列出方程组即可，找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 【详解】解：设每辆板车每次可运吨货，每辆卡车每次可运 吨货，由题意，得： ， 故选D． 5．学校组织劳技社会实践活动，甲乙两班同时参加了陶艺制作项目．活动结束后，两个班统计了制作陶艺品的总数，结果发现甲乙两班陶艺品的总数比为，甲班制作的陶艺品总数的2倍比乙班陶艺品的总数3倍少30个．设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个，根据题意所列的方程组应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个，由“甲乙两班陶艺品的总数比为”得；由“甲班制作的陶艺品总数的2倍比乙班陶艺品的总数3倍少30个”得，据此即可得解． 【详解】解：设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个， 根据题意得，， 故选：C． 6．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据题意可知上一排依次表示第一个方程x对应的系数，y对应的系数和等号右边的常数，下一排依次表示第二个方程x对应的系数，y对应的系数和等号右边的常数，据此即可得解．审清题意是解题的关键． 【详解】解：依题意得：图2所示的算筹图我们可以表述为：， 故选：A． 7．解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】此题考查了解三元一次方程组．根据消元法的简单的角度即可得到答案． 【详解】解：经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 故选：B 8．如图和图，天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，若个“□”与个“○”的质量相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为，再根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设个“□”的质量为，个“△”的质量为，个“○”的质量为， 根据题意可得：， 整理得：， 得：， 即个“□”与个“○”的质量相等， 故选：B． 9．有A，B，C三种商品，单价都是正整数（元），若黄老师去买A商品3件，B商品7件，C商品1件，共付款24元：黄老师又去买A商品4件，B商品10件，C商品1件，共付款33元；那么黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款（    ） A．10元 B．9元 C．8元 D．6元 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元，则，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：设A、B、C三种商品的单价分别为x元，y元，z元， 由题意得， 得：， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴， ∴黄老师买A，B，C三种商品各一件共需付款6元， 故选：D． 10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组． 设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可． 【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，    ∴， ∴， ∴D正确； ∴， ∴B正确，D不正确； ∴乘积结果可以表示为． ∴C正确． 故选：D． 二、填空题 11．大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂情意，找出数量关系是解答关键． 设苹果的售价为，梨的售价，根据 【详解】解：设苹果的售价为，梨的售价，根据大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元列出方程求解． 则． 故答案为：． 12．某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件． A B 进价/（元/件） 60 100 标价/（元/件） 100 160 【答案】80 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，列出二元一次方程组，然后求解方程组即可． 设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据题意列出关于的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件． 由题意，得， 解得． 故A种服装购进50件，B种服装购进30件， 则这两种服装共购进件． 故答案为：80． 13．如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且．若，则点A表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离公式可得出，然后解方程组即可求解． 【详解】解∶ ∵点A、B分别表示数a、b，， ∴， 解方程组，解得， 故答案为∶． 14．长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，如果设长江长为千米，黄河长为千米，那么所列方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 如果设长江长为千米，黄河长为千米，分别以“长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米”为等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设长江长为千米，黄河长为千米，由题意可得， ， 故答案为：． 15．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需20元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需27元；若购买甲、乙、丙各1件，共需要 元． 【答案】6 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的数量关系是解题的关键．设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，再利用加减法求出的值即可． 【详解】解：设购甲、乙、丙三种货物各1件，分别需要元，元，元， 根据题意，得， ①②得：， 整理，得． 故答案为：6． 16．已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将和代入得：， 解得：， 不等式组的解为， 故答案为：． 17．近来受新冠疫情影响，大家一起“宅”行动．小区物业为封控在家的业主精心配制了3种蔬菜包、，其中每包蔬菜包的成本是蔬菜包的2倍，每包蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的售价分别比其成本高月份第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量之比为，三种蔬菜包的总利润是总成本的，则每包蔬菜包与每包蔬菜包的成本之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查三元方程的应用，设每包蔬菜包、蔬菜包的成本为，第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量分别为，根据三种蔬菜包的总利润是总成本的，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每包蔬菜包、蔬菜包的成本为，第一周销售蔬菜包、蔬菜包、蔬菜包的数量分别为，则每包蔬菜包的成本为，由题意，得： ， 整理，得：， ∴； 即：每包蔬菜包与每包蔬菜包的成本之比为； 故答案为：． 三、解答题 18．某中学决定组织部分班级去三清山开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ 【答案】参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人 【分析】此题考查二元一次方程组的应用．设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人，再根据“每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生”列出方程组即可解答． 【详解】解：设参加此次研学旅行活动的老师有x人，学生有y人， 根据题意，得， 解得． 故参加此次研学旅行活动的老师有16人，学生有284人． 19．在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收，去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了，支出减少，预计今年结余比去年结余多11400元．回答下列问题： (1)今年结余_______元； (2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为_______元，支出为_______元；（用含的代数式表示） (3)根据（2）所设的未知数，列出相应的方程组； (4)是（3）中所列出的方程组的解吗？ 【答案】(1) (2)， (3) (4)是 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，列代数式，有理数的加法运算的应用； （1）根据去年菠萝的收入结余元，结余今年预计比去年多元，可以计算出今年的结余； （2）根据今年菠萝的收入比去年增加了，支出减少，可以表示出今年的收入和支出； （3）根据题意“去年菠萝的收入结余元，今年结余比去年多元．列出相应的方程组，即可； （4）将代入（3）中的方程组检验，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：今年的结余为元； 故答案为： （2）解：设去年的收入为元，支出为元，则今年的收入为元，支出为元； 故答案为：； （3）解：根据题意得：． （4）当时，， ∴是方程组的解． 20．2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，并计划购买两种钢笔用于奖励此次测试成绩优异的同学．已知2支种钢笔的总价格比1支种钢笔的价格多20元，3支种钢笔和2支种钢笔的总价格共135元，求每支种钢笔和每支种钢笔的价格分别为多少元？ 【答案】A种钢笔每支25元，B种钢笔每支30元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元，根据“2支A种钢笔的总价格比1支B种钢笔的价格多20元，3支A种钢笔和2支B种钢笔的总价格共135元”列二元一次方程组求解可得，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系． 【详解】设购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：A种钢笔每支25元，B种钢笔每支30元． 21．解方程（组） (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查解三元一次方程组，二元一次方程组，一元一次方程，掌握方法与步骤是解决问题的关键． （1）利用解一元一次方程的步骤与方法求得方程的解即可； （2）利用加减消元法求得方程组的解即可； （3）利用消元法把方程化为二元一次方程组，进一步求得方程组的解，代入原方程中的一个方程，进一步求得原方程组的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ①②得，， 解得：， 代入①得，， 解得：， 所以原方程组的解为； （3）解：， ①②得，④， ②③得，， 解得：， 代入④得，， 解得：， 把，代入②得，， 解得：， 所以原方程组的解为． 22．【阅读理解】 在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得 所以方程组的解为 （2）已知，求的值， 解：①+②，得，③ ③，得． 【类比迁移】 （1）求方程组的解． （2）若，求的值． 【实际应用】 （3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？ 【答案】（1）  （2）  （3）比不打折少花了元 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点． （1）把②代入①中即可求出答案； （2）用①②即可得出答案； （3）设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数． 【详解】解：（1）， 把②代入①中，得：， 解得：， 把代入②中，得， ∴方程组的解为； （2）， ①②得： ； （3）设打折前商品每件元，商品每件元， 根据题意得：， 两边同时乘以，得：， ∴(元)， 答：比不打折少花了元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$