专题14.4 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题（6大考点）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题14.4 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题 目录 【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 1 【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】 4 【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 6 【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】 11 【考点五 完全平方式中的字母参数问题】 18 【考点六 整式的运算中的新定义型问题】 20 【典型例题】 【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 例题：（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与 的积为，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，即可求出m、n的值． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值、代入消元法 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【知识点】积的乘方运算、利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 【答案】1 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 原式子对任意都成立， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，先根据多项式乘以多项式法则进行计算，展开后不含x的一次项，说明展开后的多项式中一次项系数的和为零，即可得出，求出即可． 【详解】解： ， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴， 解得：， 故答案是：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【答案】 【知识点】合并同类项、利用单项式乘多项式求字母的值、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若的积中不含项与项，则求代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算－化简求值，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值，然后代入求解即可，掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵的积中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算． （1）将展开，根据结果不含与项，即含与项的系数为0进行求解即可； （2）将（1）所求值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 的积中不含与项， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 5．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知多项式与另一个多项式A的乘积为多项式B． (1)若A为关于x的一次多项式，B中x的一次项系数为0，则 ． (2)若B为，求的值． (3)若A为关于x的二次三项式，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可能，当或时，B为三次二项式 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、整式的加减运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减． （1）根据题意列出，根据B中x的一次项系数为0，进而可得a的值； （2）根据B为，可以设A为，根据多项式与另一多项式A的乘积为多项式B，即可用含t的式子表示出p和q，进而可得的值； （3）根据A为关于x的二次三项式，可得b，c不能同时为0，分两种情况：当时，，当时，，可得b和c的值． 【详解】（1）解：根据题意可知： ， ∵B中x的一次项系数为0， ∴， 解得． 故答案为：； （2）设A为， 则， ∴， ∴； （3）B可能为关于x的三次二项式，理由如下： ∵A为关于x的二次多项式， ∴b，c不能同时为0， ∵． 当时，， ∵b不能为0， ∴只能当，即时，B为三次二项式，为； 当时，． 只有当，即时，B为三次二项式，为． 综上所述：当或时，B为三次二项式． 【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)5，46，9 (3)，理由见解析 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【详解】（1）解：由． 故答案为：． （2）解：∵， ∴需用A类卡片5张，类卡片46张，类卡片9张． 故答案为：5，46，9． （3）解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于S的值与无关，则，即． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 【答案】(1)， (2)与值无关，理由见详解 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）根据图示的分割情况即可求解； （2）根据图示分别表示出阴影图形与阴影图形的长、宽，并计算其周长，由此即可求解； 本题主要考查整式的混合运算与图形周长的关系，掌握整式的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图示可得，小长方形的长为， ∴小长方形的周长为， 故答案为：，． （2）解：由（1）可知，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， 阴影图形的长为，宽为，则阴影图形的周长为：， ∴阴影图形与阴影图形的周长之和为：， ∴与值无关． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．    (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含的代数式表示）； (2)分别计算阴影的周长（用含的代数式表示），并说明阴影与阴影的周长差与的取值无关； (3)当时，比较阴影面积的大小 【答案】(1) (2)影A的周长为，阴影B的周长为，说明见解析 (3)阴影A的面积阴影B的面积 【知识点】列代数式、整式加减中的无关型问题、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）由图可知，每个小长方形的较长边的长等于整个图象的长减去3个小长方形的宽，列出代数式即可； （2）先分别表示出阴影A和阴影B的长和宽，根据长方形周长公式得出阴影A和阴影B的周长，最后将两阴影部分周长相减，若所得结果不含x，则与的取值无关； （3）分别求出两块阴影的面积，再用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：从图可知，每个小长方形的较长边的长是， 故答案为：； （2）解：由图可知： 阴影A的长为：，宽为：， ∴阴影A的周长为：， 阴影B的长为：，宽为：， ∴阴影B的周长为：， ∴阴影与阴影的周长差， ∴阴影与阴影的周长差与的取值无关； （3）解：阴影A的面积为：， 阴影B的面积为：， ∴ 把代入得：， ∴阴影A的面积阴影B的面积． 【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为，令x系数为0，即可求出m； （2）设，由图可知，，即可得到关于x的代数式，根据取值与x无关可得． 【详解】（1）解： ， 其值与x的取值无关， ， 解得：， 答：当时，多项式的值与x的取值无关； （2）解：设，由图可知，， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， ． 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题、多项式乘多项式与图形面积 【分析】（1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减求出的值，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）令 ， 原式= ， 的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． 【考点五 完全平方式中的字母参数问题】 例题：（24-25八年级上·北京·期中）若是完全平方式，则常数的值为 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握完全平方式的特征：如果一个多项式是是完全平方式，则有如下特征：①该多项式有三项；②两项同号且能写成某数（或式）的平方‌；③第三项是这两数（或式）的积的倍．据此解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴常数的值为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】13或/或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴或； 故答案为：13或 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）关于x的整式是一个完全平方式，则 【答案】4或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得． 故答案为：或． 3．（24-25六年级上·上海·期中）若多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或1 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了了完全平方公式，注意分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情形计算是解题的关键．根据完全平方公式的形式求解即可． 【详解】∵多项式是一个完全平方式， ∴， 解得或， 故答案为：或1． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 【答案】， 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，据此求解即可． 【详解】解：∵A是二项式， ∴是一个二项式的完全平方， ∴可以写成一个二项式的完全平方， ∴，． 故答案为：，． 【考点六 整式的运算中的新定义型问题】 例题：（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1)3 (2)是，3 (3)或7或 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； 对于（2），根据运算法则计算，并求出平衡因子； 对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值． 【详解】（1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是； （3）若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得. 所以m的值为或7或． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·湖北咸宁·期中）定义：若，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数，与是关于-3的伴随数． (1)填空： 2022与 是关于-1的伴随数， 与是关于2的伴随数． (2)若a与是关于3的伴随数，与c是关于-5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，求 的值. (3)现有与(k为常数)始终是数n的伴随数，求n的值． 【答案】(1)2023， (2)8 (3) 【知识点】新定义下的实数运算、已知式子的值，求代数式的值、多项式系数、指数中字母求值、整式四则混合运算 【分析】(1)根据定义即可求得； (2)根据题意可得，，，由原式可得，据此即可求得； (3)首先求得，再根据题意可知的值与x无关，，即可求得k的值，据此即可解答． 【详解】（1）解：根据定义得：， ， 故2022与2023是关于-1的伴随数，与是关于2的伴随数， 故答案为：2023，； （2）解：由定义知，，，， （3）解： 与(k为常数)始终是数n的伴随数， ， 的值与x无关， ，解得， 即． 【点睛】本题考查了新定义运算，整式的混合运算，代数式求值问题，根据不含某项求参数，求得k的值是解决本题的关键． 2．（20-21七年级下·广东深圳·阶段练习）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式乘法混合运算、一元一次方程解的综合应用 【分析】（1）先根据定义运算的规定，得到关于x的方程，求解即可； （2）先根据定于运算的规定得到整式，计算并化简整式，根据值与x无关确定m、n的值，再计算nm． 【详解】（1）解：（1）（x+1）2﹣（x﹣1）2＝4， ∴4x＝4， ∴x＝1． （2）（x+m）（2x+1）﹣（nx﹣1）（x﹣1） ＝2x2+x+2mx+m﹣（nx2﹣x﹣nx+1） ＝2x2+x+2mx+m﹣nx2+x+nx﹣1 ＝（2﹣n）x2+（2m+n+2）x+m﹣1 ∵的值与x无关， ∴2﹣n＝0，2m+n+2＝0， ∴n＝2，m＝﹣2， ∴nm＝2﹣2． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，理解定义运算的规定，掌握乘法的完全平方公式和多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）若整式A只含有字母，且A的次数不超过3次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式，则，，，，故A的关联点坐标为 (1)若，则A的关联点坐标为_______________ (2)已知整式是与的乘积，其中，若整式的关联点为，求和的值 (3)若整式，整式是只含有字母的一次多项式，整式是整式与整式的平方的乘积，若整式的关联点为，请直接写出整式的表达式 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的加减运算、计算多项式乘多项式、坐标与图形 【分析】（1）根据整式得出，，，，根据关联点的定义得出，，即可得出A的关联点坐标； （2）根据题意计算出，进而表达出a，b，c，d的值，再根据C的关联点为，列出关于，的等式，解出m、n的值即可； （3）设，根据题意求出，进而表达出a，b，c，d的值，再根据F的关联点为，列出关于，的等式，解出m、n的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， ∴，， A的关联点坐标为：． 故答案为：． （2）∵， 又∵，整式C是B与的乘积， ∴， ∴，，，， ∵整式C的关联点为， ∴，， 解得：，． （3）解：根据题意：设， ∴ ， ∴，，，， ∵整式F的关联点为， ∴， ， ， ， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴，， ∴或． 【点睛】本题考查了整式的乘法和规律探索，解题的关键是理解题意，灵活运用关联点的定义解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.4 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题 目录 【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 1 【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】 2 【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 2 【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】 3 【考点五 完全平方式中的字母参数问题】 5 【考点六 整式的运算中的新定义型问题】 5 【典型例题】 【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】 例题：（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与 的积为，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 4．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 5．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】 例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若对任意都成立，则 ． 【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例题：（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 2．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若的积中不含项与项，则求代数式的值为 ． 3．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 4．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 5．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知多项式与另一个多项式A的乘积为多项式B． (1)若A为关于x的一次多项式，B中x的一次项系数为0，则 ． (2)若B为，求的值． (3)若A为关于x的二次三项式，判断B是否可能为关于x的三次二项式，如果可能，请求出b，c的值；如果不可能，请说明理由． 【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】 例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为的小正方形（A类），长为、宽为的长方形（类）以及边长为的大正方形（类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 例如图2可以解释的等式为． (1)图3可以解释的等式为 ； (2)要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张； (3)用5张类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S，，若S的值与无关，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成部分，除阴影图形外，其余部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为．    (1)计算：小长方形的长________，小长方形的周长________；（用含的代数式表示）； (2)小明发现阴影图形与阴影图形的周长之和与值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释． 2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．    (1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含的代数式表示）； (2)分别计算阴影的周长（用含的代数式表示），并说明阴影与阴影的周长差与的取值无关； (3)当时，比较阴影面积的大小 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值； 【能力提升】 (2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 4．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾] 有这样一类题： 代数式的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法； 把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． ［理解应用] (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值； (3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【考点五 完全平方式中的字母参数问题】 例题：（24-25八年级上·北京·期中）若是完全平方式，则常数的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）关于x的整式是一个完全平方式，则 3．（24-25六年级上·上海·期中）若多项式是一个完全平方式，则 ． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期中）已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 【考点六 整式的运算中的新定义型问题】 例题：（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·湖北咸宁·期中）定义：若，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数，与是关于-3的伴随数． (1)填空： 2022与 是关于-1的伴随数， 与是关于2的伴随数． (2)若a与是关于3的伴随数，与c是关于-5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，求 的值. (3)现有与(k为常数)始终是数n的伴随数，求n的值． 2．（20-21七年级下·广东深圳·阶段练习）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）若整式A只含有字母，且A的次数不超过3次，令，其中，，，为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：为整式的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式，则，，，，故A的关联点坐标为 (1)若，则A的关联点坐标为_______________ (2)已知整式是与的乘积，其中，若整式的关联点为，求和的值 (3)若整式，整式是只含有字母的一次多项式，整式是整式与整式的平方的乘积，若整式的关联点为，请直接写出整式的表达式。 学科网（北京）股份有限公司 $$