1.1.2勾股定理的验证及简单应用课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第2课时　勾股定理的验证及简单应用 北师陕西 八年级上册 目 录 CONTENTS 01 1星题　夯实基础 02 2星题　提升能力 03 3星题　发展素养 知识点1 验证勾股定理 1. [教材P7习题T2变式]取两个全等的直角三角形(直角边长 分别为 a ， b ，斜边长为 c )，把它们按如图所示的位置摆 放，连接 AE . 已知∠ B ＝∠ D ＝90°，点 B ， C ， D 在 同一条直线上，下面是小王利用这个图形验证勾股定理的 证明过程，请你将横线部分补充完整. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1星题　夯实基础 证明：由题意可得Rt△ ABC ≌Rt△ CDE ， 所以∠ CAB ＝∠ ECD ， AC ＝ CE . 因为易知∠ ACB ＋∠ CAB ＝90°， 所以 ⁠. 所以∠ ACE ＝90°. 所以△ ACE 是等腰直角三角形. ∠ ACB ＋∠ ECD ＝90°　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 所以 S四边形 ABDE ＝ S△ ABC ＋ S△ CDE ＋ S△ ACE ＝ ⁠ ⁠. 易得四边形 ABDE 为梯形， 所以 S梯形 ABDE ＝ ⁠. 所以 　 ab ＋ ab ＋ c2　＝ 　 ( a ＋ b )2　. 所以 a2＋ b2＝ c2. ab ＋ ab ＋ c2　 ( a ＋ b )2　 ab ＋ ab ＋ c2　 ( a ＋ b )2　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识点2 勾股定理的简单应用 2. [2024西安高新一中期中]有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿 竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺. 另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竹竿，这个醉汉一 试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹 竿的长为 x 尺，则下列方程中，满足题意的是(　C　) C A. x2＋( x －2)2＝( x －4)2 B. ( x －4)2＋( x －2)2＝ x C. ( x －4)2＋( x －2)2＝ x2 D. x2＋( x －4)2＝( x －2)2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 【情境题 生活中的数学】我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一.“勾股定理”描述了直角三角形三条边长之间的关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.请运用“勾股定理”解决以下问题：如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民 不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新 路 AB ，则居民走新路比走拐角近 ⁠. 4 m　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. 【陕西人文信息 地理特征】陕西省的地势南北高、中间低，有高原、山地、平原和盆地等多种地形.如图，某工程队现需穿过某座大山修一条隧道 AB ，为了测量隧道 AB 的长度，在山的另一侧水平地面上取了一点 C ，在隧道 BA 的延长线 AD 上取了点 D ，测量得知，∠ CAD －∠ C ＝90°， AC ＝500米， BC ＝140米，请你求出隧道 AB 的长. 解：因为∠ CAD －∠ C ＝90°， 所以180°－∠ CAB －∠ C ＝90°， 即∠ ABC ＝90°.因为 AC ＝500米， BC ＝140米， 所以 AB ＝480米，即隧道 AB 的长为480米. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. 下面图形能够验证勾股定理的有(　A　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 A 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2星题　提升能力 6. 【情境题 生活应用】如图是一扇高为2 m，宽为1.5 m的长方形门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3 m，宽2.7 m；②号木板长2.8 m，宽2.8 m；③号木板长4 m，宽2.4 m.可以从这扇门通过的木板是 号. ③　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 m，宽1.6 m，某工 厂的厂门形状及尺寸如图所示(上部是半圆形，下部是长 方形).这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：因为车宽1.6 m， 所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8 m处的高度与车高即可. 如图，在Rt△ OCD 中，由勾股定理可得 CD ＝0.6 m， 所以 CH ＝ CD ＋ DH ＝2.9 m＞2.5 m. 所以这辆卡车能通过该工厂的厂门. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. 【新考法 等面积法】学习勾股定理之后，同学们发现验 证勾股定理有很多方法.某同学提出了一种验证勾股定理 的方法：如图①， B 是正方形 ACDE 的边 CD 上一点，连 接 AB ，得到直角三角形 ACB ，三边分别为 a ， b ， c ， 将△ ACB 裁剪拼接至△ AEF 的 位置，如图②所示，该同学用 图①，图②的面积不变验证了 勾股定理.请你写出该方法验证 勾股定理的过程. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解： 连接 BF . 因为四边形 ACDE 是正方形， AC ＝ b ， 所以 CD ＝ DE ＝ AC ＝ b ， ∠ CAE ＝∠ D ＝90°. S四边形 ACDE ＝ AC2＝ b2. 因为 BC ＝ a ，所以 BD ＝ CD － BC ＝ b － a . 根据题意，得∠ EAF ＝∠ CAB ， EF ＝ BC ＝ a ， AF ＝ AB ＝ c ， S△ ABC ＝ S△ AEF ， 所以∠ EAF ＋∠ BAE ＝∠ CAB ＋∠ BAE ＝∠ CAE ＝90°， 即∠ BAF ＝90°， DF ＝ EF ＋ DE ＝ a ＋ b . 2 3 4 5 6 7 8 9 1 所以 S四边形 ABDF ＝ S△ ABF ＋ S△ BDF ＝ AB · AF ＋ BD · DF ＝ c2＋ ( b － a )( a ＋ b )＝ c2＋ b2－ a2. 因为 S正方形 ACDE ＝ S△ ABC ＋ S四边形 ABDE ， S四边形 ABDF ＝ S△ AEF ＋ S四边形 ABDE ，所以 S正方形 ACDE ＝ S四边形 ABDF . 所以 b2＝ c2＋ b2－ a2. 整理，得 a2＋ b2＝ c2. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 【2024南阳宛城区月考新视角·动点探究题】如图，已知 ∠ AOB ＝90°，线段 OA ＝18 m， OB ＝6 m， C 为线段 OA 上一点，且 BC ＝ AC ，一机器人 Q 在点 B 处. (1)求线段 BC 的长. 解： 设 BC ＝ x m，则 OC ＝ OA － CA ＝ OA － BC ＝(18－ x )m.在Rt△ OBC 中，由勾股定理得，62＋(18－ x )2＝ x2，解得 x ＝10，即 BC ＝10 m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3星题　发展素养 (2)若机器人 Q 从点 B 出发，以3 m/min的速度沿着 B → O → C → B 走一圈后回到点 B ，设行走的时间为 t min，则当 t 为何值时，△ OBQ 是以 Q 点为直角顶点的直角三角形？ 解： 由(1)得 OC ＝8 m. 当 OQ ⊥ BC 时满足题意，此时 QC ＝3 t －( OB ＋ OC )＝(3 t －14) m， BQ ＝ BC － QC ＝(24－3 t ) m. 由勾股定理得， OQ2＝ OC2－ QC2， OQ2＝ OB2－ BQ2， 即62－(24－3 t )2＝82－(3 t －14)2，解得 t ＝6.8，所以当 t ＝ 6.8时，△ OBQ 是以 Q 点为直角顶点的直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $$