2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项4 特殊三角形中的分类讨论

专项4　特殊三角形中的分类讨论 类型1　等腰三角形中的分类讨论 1．如图，已知点A(1，0)和点M(0，1)，在x轴上确定点P，使得△AMP为等腰三角形，则满足条件的点P共有___个． 4 本章知识导图 2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，点D在边AB上运动(D与A，B不重合)，设∠ACD＝α，将△ACD沿CD翻折至△A′CD处，CA′与AB边相交于点E.若△A′DE是等腰三角形，则 α 的值为____________． 18°或36° 本章知识导图 3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝120°，E是AB边上一个动点(不与端点重合)，ED⊥AC交AC于点D，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点为F，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为__________． 本章知识导图 4．(2024·邓州二模)正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2，点F在边BC上，当△AEF为等腰三角形时，BF的长为_____. 本章知识导图 类型2　直角三角形中的分类讨论 5．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有___个． 6 本章知识导图 6．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝3，点E为BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长为________. 1.5或3 本章知识导图 【解析】分两种情况讨论．①当∠CFE为90°时，A，F，C三点共线，如解图1所示．设BE的长为x，则CE＝4－x.由翻折的性质，得EF＝BE＝x，AF＝AB＝3.由勾股定理，得AC＝ ＝5.∴CF＝AC－AF＝2.∵∠CFE＝180°－∠B＝90°，∴EF2＋FC2＝EC2，即x2＋22＝(4－x)2，解得x＝1.5.②当∠CEF为90°时，如解图2所示．易得四边形ABEF为正方形．∴BE＝AB＝3.综上所述， BE的长为1.5或3. 本章知识导图 7．在△ABC中，AB＝AC，其中一个内角度数是40°，点D在直线BC上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为__________ _______． 130°或90° 或20° 本章知识导图 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3 cm，点P在边AC上以1 cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动．设运动时间为t(s)，则当△APQ是直角三角形时，t的值为________． 2或4.5 本章知识导图 1．等腰三角形的存在性问题 已知线段AB，在线段AB外一直线l上找一点C，使得△ABC为等腰三角形． (1)分类讨论． 未明确腰和底边，需分情况讨论． ①∠A为顶角； ②∠B为顶角； ③∠C为顶角． 本章知识导图 (2)作图方法(两圆一线) ①若∠A为顶角，即AB＝AC，则以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于点C1，C2(如图1)； ②若∠B为顶角，即BA＝BC，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交直线l于C3，C4(如图1)； ③若∠C为顶角，即AC＝BC，则作线段AB的垂直平分线，交直线l于点C5(如图2). 图1 图2 本章知识导图 2．直角三角形的存在性问题 已知线段AB和线段AB外一直线l，在直线l上找一点C，使△ABC为直角三角形． (1)分类讨论． 未明确直角顶点，需分情况讨论． ①∠A为直角； ②∠B为直角； ③∠C为直角． 本章知识导图 (2)作图方法(两线一圆) ①若∠A＝90°，则过点A作AB的垂线，交直线l于点C1(如图1)； ②若∠B＝90°，则过点B作AB的垂线，交直线l于点C2(如图1)； ③若∠C＝90°，则以AB的中点O为圆心，OA长为半径作圆弧，交直线l于点C3，C4(如图2). 图1 图2 本章知识导图 强化练习 1．已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为______． 5或8 本章知识导图 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以 1 cm/s 的速度运动，设运动的时间为t s，当△ABP为等腰三角形时，t的值为___________. 本章知识导图 3．如图，每个小方格的边长均为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为___. 3 本章知识导图 4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在BC边上，BP＝3.若点E是矩形ABCD边上一点，且△BPE是以BE为底边的等腰三角形，则BE的长为__________． 本章知识导图 5．(2024·安阳二模)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，直角边AC的中点为D，点E在斜边上，且AE＝3，若△ADE为直角三角形，则BC的长为______． 3或4 本章知识导图 6．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，连接EF，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．连接CB′，DB′，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_________． 本章知识导图 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点，连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点为B′，连接B′C，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为_______. 本章知识导图 8．(2024·洛阳一模)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝ ，AC＝ ，将边AC绕点A旋转，点C的对应点是D，连接CD，BD.当△CAD 是等腰直角三角形时，BD的长为________. 本章知识导图 或5或8 3或2 4或16 5或 或 $$