2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项3 与角平分线有关的辅助线作法

专项3　与角平分线有关的辅助线作法 类型1　构造轴对称图形 典例1　如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D.若CD＝4，则AC＝__________. 本章知识导图 典例2　如图，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD，若△ABD的面积为10，则△ABC的面积为____． 20 本章知识导图 典例3　如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为____． 27 本章知识导图 典例4　如图，∠BAC＝∠BEC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC. (1)若CE＝2，则线段BD的长为___． (2)若AD＝1，则线段CD的长为____． 4 本章知识导图 类型2　作平行线 典例5　如图，在△AOB中，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，D为OC上一点，过点D作DE⊥OA于点E，若DE＝1，则OE的长为______． 本章知识导图 解：如图，过点A作BC的平行线交BD的延长线于点E. 则△BCD∽△EAD. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ∵AE∥BC，∴∠CBD＝∠AED. ∴∠ABD＝∠AED.∴AB＝AE. 本章知识导图 一、构造轴对称图形 1．向角的两边作垂线，运用角平分线定理． 如图1，作PB⊥ON，则PA＝PB. 图1 本章知识导图 2．向角平分线作垂线，构造等腰三角形． 如图2，延长AP交ON于点B，则△AOB是等腰三角形． 图2 本章知识导图 3．截长补短，构造全等三角形． 如图3，4，在线段BC(或延长线)上截取BD＝BA，连接PD，则△BAP≌△BDP. 图3 图4 本章知识导图 二、作平行线，得等腰三角形 如图5，作PQ∥ON，则△POQ是等腰三角形，PQ＝OQ. 图5 本章知识导图 强化练习 1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AC＝5，DE＝2，则△ACD的面积为___． 5 本章知识导图 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，角平分线AD，CE相交于点P.若AE＝3，CD＝4，则线段AC的长为___． 提示：在AC上截取AF＝AE. 7 本章知识导图 3．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的取值范围为____________． 1＜PC＜7 本章知识导图 4．如图，AC＝BC，∠ACB＝∠BCD＝90°，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F，连接CF.若CE＝CD，求证：CF平分∠AFD. 证明：如图，过点C作CG⊥AF，CH⊥BD，垂足分别为G，H. ∵AC＝BC，∠ACB＝∠BCD＝90°，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD(SAS)． ∵CG，CH分别是AE，BD边上的高， ∴CG＝CH.∴CF平分∠AFD. 本章知识导图 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD，求∠B的度数． 解：如图，在AC上截取AE＝AB. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵AB＝AE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)． ∴BD＝DE，∠B＝∠AED. 本章知识导图 ∵AC＝AE＋CE，AC＝AB＋BD， ∴CE＝BD.∴CE＝DE.∴∠C＝∠CDE. ∴∠B＝∠AED＝2∠C. ∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∴30°＋2∠C＋∠C＝180°. ∴∠C＝50°.∴∠B＝2∠C＝100°. 本章知识导图 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E，BE＝(AC－AB)，求证：∠ABC＝3∠C. 证明：如图，延长BE交AC于点F. ∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE. 又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(ASA)． ∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF. ∴BF＝2BE，AC－AB＝AC－AF＝CF. 本章知识导图 ∵BE＝ (AC－AB)，∴AC－AB＝2BE. ∴CF＝BF.∴∠C＝∠CBF. ∴∠ABF＝∠AFB＝∠C＋∠CBF＝2∠C. ∴∠ABC＝∠ABF＋∠CBF＝3∠C. 本章知识导图 $$