2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项2 与中点有关的辅助线做法

专项2 与中点有关的辅助线作法 本章知识导图 类型1　构造三角形中位线 常见类型 (1)连接两点构造中位线(如典例1)； (2)另取中点构造中位线(如典例2)； (3)延长两倍(或作平行)构造中位线(如典例3). 本章知识导图 典例1　如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__. 本章知识导图 典例2　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，平面上有一点P，连接AP，CP，且CP＝2，取AP的中点M.连接BM，则BM的最小值为_______． 本章知识导图 典例3　如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，E是边AC的中点，连接DE，若DE＝2，BC＝10，则AB的长为___． 6 本章知识导图 1．如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，D，E分别是AB，BC边上的动点，连接DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为_____． 4.8 本章知识导图 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上的点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，若AE＝1，则MN＝ _____. 本章知识导图 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，BC＝2，D是AB的中点，E是AC上一点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为___． 本章知识导图 类型2　构造三角形中线 典例4　构造等腰三角形底边中线 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，若EF＝2，则AC的长是___． 4 本章知识导图 典例5　构造直角三角形斜边中线 如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAB＝45°，M，N分别是AC，BD的中点，若AC＝8，则MN＝____． 本章知识导图 4．如图，已知等边三角形ABC的边长是6，点D在AC上，且CD＝4.延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.F，G分别是AB，DE的中点，连接FG，则FG的长为____． 本章知识导图 5．如图，∠MON＝∠CAB＝90°，点A，B分别在OM，ON上滑动，连接OC.若AB＝2，AC＝1，则OC的最大值为_____． 本章知识导图 类型3　倍长中线 典例6　倍长中线，构造全等 如图1，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠D.求证：AB＝CD. 本章知识导图 小明的方法是延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF(如图2). 小亮的方法是延长AE到点M，使EM＝AE，连接CM(如图3). 小颖的方法是分别过点B，C向DE作垂线，垂足分别为F，G(如图4). 请判断这三位同学的作法是否合理，并选择其中一种作法进行证明． 本章知识导图 解：三位同学的作法都合理． 选择小明的作法．证明如下： ∵E是BC中点，∴BE＝CE. 又∵EF＝DE，∠BEF＝∠DEC， ∴△BEF≌△CED(SAS). ∴BF＝CD，∠F＝∠D. ∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F. ∴AB＝BF.∴AB＝CD. (答案不唯一) 本章知识导图 6．如图，点D是△ABC中边BC的中点，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是____________． 1＜AD＜4 本章知识导图 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，BE＝3，DE⊥DF，CF＝ ，则EF＝___． 4 本章知识导图 强化练习 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值为____. 本章知识导图 2．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为___． 1 本章知识导图 3．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为____． 本章知识导图 4．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝10，BD＝12，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是____． 本章知识导图 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N.求证：AN＝ AC. 证明：如图，取CN的中点M，连接DM. ∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC. 又∵NM＝MC，∴DM∥BN. ∵AP＝DP，∴AN＝NM. 本章知识导图 6．如图，在□ABCD中，E是AD的中点，F是AB上一点，CF⊥AB，连接EF，EC，求证：EF＝EC. 证明：延长FE，CD交于点G，如图所示． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠AFE＝∠G，∠A＝∠EDG. ∵E是AD的中点，∴AE＝DE. ∴△AFE≌△DGE(AAS)．∴EF＝EG. ∵CF⊥AB，∴CF⊥CD.∴∠FCD＝90°. ∴EC＝ FG＝EF. 本章知识导图 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，已知AB⊥AC，BD⊥CD，∠BEC＝135°，求证：AD＝ BC. 证明：如图，取BC的中点F，连接AF，DF. ∵AB⊥AC，F是BC的中点，∴AF＝ BC＝FC. 同理，DF＝ BC＝BF.∴AF＝BF＝CF＝DF. 记∠DBF＝∠FDB＝α，∠FAC＝∠FCA＝β， ∵∠BEC＝135°，∴α＋β＝180°－135°＝45°. 本章知识导图 ∴∠FAD＋∠FDA＝45°＋α＋β＝90°. ∴∠AFD＝180°－90°＝90°. 本章知识导图 $$