2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项10 分类讨论思想在几何中的应用

专项10　分类讨论思想在几何中的应用 类型1　特殊三角形中的分类讨论 1．在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是线段BC上的一个动点(不与点B重合)．若△APE是直角三角形，则BP的长为_______. 本章知识导图 2．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，点P是BC上一点，且BP＝5，点M是AD上一动点，当△MBP是腰长为5的等腰三角形时，AM的长为______. 3或2 本章知识导图 类型2　四边形形状不确定产生的分类讨论 3．新定义　定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫作“筝形”．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝7，“筝形”EFGH的顶点E是AB的中点，点F，G，H分别在BC，CD，AD上，且 EF＝5，则对角线EG的长为_________. 本章知识导图 【解析】分两种情况讨论：①当EF＝EH，GH＝GF时，如解图1.∵E是AB中点，易证G是CD中点，∴EG∥BC.∴EG＝BC＝7.②当EF＝GF，EH＝GH时，如解图2.∵EF＝5，BE＝3，∴BF＝4.∴CF＝7－4＝3.∴BE＝CF.易证△BEF≌△CFG.∴CG＝BF＝4.过点E作EP⊥CD于点P，则CP＝BE＝3，GP＝1，EP＝BC＝7，∴EG＝ 综上所述，对角线EG的长为7或5 . 本章知识导图 类型3　落点位置不同产生的分类讨论 考法1　点在线段或线段的延长线上 4．(2024·信阳三模)在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝8.点Q为射线DC上一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D的对应点D′恰好落在直线BQ上，则DQ的长为_______. 4或16 本章知识导图 【解析】①当点Q在线段DC上时，如解图1.在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠AQD＝∠BAQ.由翻折，得∠AQD＝∠AQD′，∴∠BAQ＝∠AQD′.∴BQ＝AB＝10.在Rt△BCQ中，CQ＝ ＝6，∴DQ＝CD－CQ＝4.②当点Q在DC的延长线上时，如解图2，同理，得BQ＝AB＝10.在Rt△BCQ中，CQ＝ ＝6，∴DQ＝DC＋CQ＝16.综上所述，DQ的长为4或16. 本章知识导图 5．在矩形ABCD中，BC＝2 ，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交射线DC于点F.若CD＝2CF，则AB的长为 ________. 本章知识导图 【解析】设CF＝x，∵CD＝2CF，∴CD＝2x.在矩形ABCD中，BC＝2 ，点E是AD的中点， AB＝CD＝2x，∠A＝∠D＝90°.由折叠的性质，得BG＝AB＝2x，EG＝AE＝DE＝ ，∠BGE＝∠A＝90°.①当点F在边CD上时，如解图1，连接EF.∵DE＝EG＝ ，EF＝EF，∴Rt△DEF≌Rt△GEF(HL)．∴GF＝DF＝x.在Rt△BCF 中，由BC2＋CF2＝BF2，得(2 )2＋x2＝(2x＋x)2， 解得x＝1(负值已舍去)．∴AB＝2. 本章知识导图 ②当点F在DC延长线上时，如解图2，连接EF.同理，得(2 )2＋x2＝(2x＋3x)2，解得x＝ (负值已舍去)．∴AB＝ .综上所述，AB的长为2或 . 本章知识导图 考法2　点在图形不同的边(或线)上 6．在矩形ABCD中，BC＝4，∠BDC的平分线交BC于点P，作点P关于 BD的对称点P′.若点P′落在矩形ABCD的边上，则AB的长为________. 本章知识导图 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠A＝90°，AD＝BC＝4.∵PD平分∠BDC，∴∠CDP＝∠BDP.作点P关于BD的对称点P′，当点P′落在AD边上时，如解图1，则∠ADB＝∠BDP.∴∠ADB∠BDP＝∠CDP＝30°.∴AB＝ AD.∴AB＝ .当点P′落在AB边上时，如解图2，易得△ADP′≌△CDP，四边形ABCD是正方形，此时AB＝BC＝4.综上所述，AB的长为 或4. 本章知识导图 7．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E是线段AD上一动点，以点E为直角顶点在EB的右侧作等腰三角形EBF，连接DF.当点F落在矩形ABCD的对角线上时，DF的长为________. 本章知识导图 考法3　三等分点 8．正方形ABCD中，AB＝6，E为BC边上一动点，F为AE的中点．当E为BC的三等分点时，DF＝________. 本章知识导图 考法4　距离定点(或线)为定长的点 9．如图，正方形ABCD的边长为6，E为边AB上一点，AE＝1，P为射线BC上一点．把△EBP沿EP折叠，点B落在点B′处．若点B′到直线AD 的距离为3，则BP的长为____________. 本章知识导图 【解析】过点B′作MN∥AB分别交AD，BC于点M，N，过点E作EH∥AD交MN于点H，则四边形ABNM是矩形，四边形AEHM是矩形．①如解图1，若点B′在AD下方，则B′M＝B′N＝3.∵MH＝AE＝1，∴B′H＝2.由折叠，可得EB′＝EB＝5.在Rt△EB′H中，EH＝ .∴BN＝AM＝EH＝ .设 BP＝B′P＝t，则PN＝ －t.在Rt△PB′N中，B′P2＝PN2＋B′N2，∴t2＝( －t)2＋32，解得t＝ . 本章知识导图 ②如解图2，若点B′在AD上方，则B′M＝3，B′N＝9.同理，可得EH＝ ＝3.设BP＝B′P＝t，则PN＝t－3.在Rt△PB′N中，B′P2＝PN2＋B′N2，∴t2＝(t－3)2＋92，解得t＝15.综上所述，BP的长为 或15. 本章知识导图 类型4　旋转背景下的分类讨论 10．如图，在□ABCD中，AB＝5，BC＝10，将线段CD 绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点P，连接AP，当点P在□ABCD的边上时， 恰好AB＝AP，则点A到直线BP的距离为________. 本章知识导图 11．(2024·洛阳二模)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5.将边AB绕点A逆时针旋转得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F(旋转角为α，0°＜α＜180°)，当点F，E，D三点共线时，线段BF的长为______. 1或9 本章知识导图 【解析】①如解图1，当点E在DF上时，连接AF.∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AEF(HL)．∴BF＝EF.设 BF＝EF＝x，则CF＝5－x，由旋转，得AE＝AB＝3.∵EF⊥AE，∴∠AED＝∠AEF＝90°.∵AD＝5，∴DE＝ ＝4.在Rt △DCF中，由勾股定理，得CF2＋CD2＝DF2，∴(5－x)2＋32＝(x＋4)2.∴x＝1.∴BF＝1.②如解图2，当点E在FD的延 长线上时，同理，可得EF＝BF，DE＝4，设EF ＝BF＝a，则DF＝a－4，CF＝a－5.∴(a－5)2 ＋32＝(a－4)2.∴a＝9.∴BF＝9.综上所述，BF的长为1或9. 本章知识导图 12．(2024·盐城)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，点D是AC的中点，连接BD，将△BCD绕点B旋转，得到△BEF.连接CF，当CF∥AB时，CF的长为________________. 本章知识导图 类型5　对应关系不确定产生的分类讨论 13．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，连接CF，点P为射线AE上一个动点，连接BP，若AD＝3，当△ABP与△BFC相似时，AP的长为__________. 本章知识导图 【解析】∵AB＝AC＝5，该三角形的两条高BD与AE交于点F，∴∠ADB＝∠BEF＝90°，∠BAE＝∠CAE，BE＝CE.∴AE垂直平分BC.∴∠FBE＝∠FCE.∵∠AFD＝∠BFE，∴∠FBC＝∠DAF＝∠BAF.∴∠BAF＝∠FCB＝∠FBC.①当点P在BC上方时，如解图1，△ABP∽△BCF， ∵BD＝ ＝4，设BF＝CF＝x，在Rt△CDF中，x2＝(4－x)2＋22，∴x＝ ，即BF＝CF＝ . 本章知识导图 本章知识导图 强化练习 1．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠B＝40°，D为边BC的中点，点E在边AB上，∠BDE＝15°，P是边AC上的一点，且DP＝DE，则∠EDP的大小为_____________. 150°或80° 本章知识导图 2．新定义　定义：有一组邻边相等，并且相等的邻边夹角是直角的凸四边形叫作等腰直角四边形．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是对角线AC上一点，且AP∶PC＝3∶4，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFP是只有一组邻边相等的等腰直角四边形， 则AE的长为________. 本章知识导图 本章知识导图 本章知识导图 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 ，AD＝4，取AD的中点E，将线段AE绕点A旋转得到线段AE′，在旋转过程中，当AE′⊥DE′时，BE′的长为____________． 本章知识导图 本章知识导图 本章知识导图 4．(2024·平顶山二模)如图，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝90°，M为BC的中点，点P 为平面内一动点，且PM＝BM，射线AP交BC于点D，在点P运动过程中，当△BPC为等腰三角形时，BD的长为_________. 本章知识导图 本章知识导图 本章知识导图 5．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，将∠BAD沿过点D的直线折叠，点A的对应点为点P，当点P落在CD的垂直平分线上时，AP的长为______________. 本章知识导图 6．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D，E分别是AB，BD的中点，将DE绕点D在平面内旋转，点E的对应点为点F，连接CF，BF，当C，D，F三点共线时，BF的长为_________. 本章知识导图 7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，D在边AB上，且AD＝2BD＝6，点E在线段BC上(不与点B，C重合)将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，当点F落在△ABC的中位线上时，BE的长为_____. 提示：MN∥BC的情况不存在 本章知识导图 或 2或2 或3 或3 或 3或 $$