专题14.2 整式的乘法（11大考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题14.2 整式的乘法 目录 【典型例题】 1 【考点一 计算单项式乘多项式】 1 【考点二 计算多项式乘多项式】 1 【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 2 【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 2 【考点五 多项式乘法中的规律性问题】 3 【考点六 多项式乘多项式与图形面积】 5 【考点七 幂的乘除混合运算】 6 【考点八 幂的乘除逆运算】 6 【考点九 整式运算中的先化简再求值】 7 【考点十 多项式除以单项式】 7 【考点十一 整式运算中的新定义型问题】 8 【过关检测】 9 【典型例题】 【考点一 计算单项式乘多项式】 例题：（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）计算:（1） .（2） ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）计算 计算： ． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：（1） ．（2） ． 【考点二 计算多项式乘多项式】 例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2) (3) 【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③_________； ④_________． 规律总结：（2）_________． 应用规律：（3）①若，求的算术平方根； ②若的结果不含的项，求的立方根． 【考点五 多项式乘法中的规律性问题】 例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 观察下列各式： ； ； ； …… 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得_______________； (2)请你利用上面的结论解答下列小题： ①若，求的值． ②计算的值．（结果用幂表示） 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【考点六 多项式乘多项式与图形面积】 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 【考点七 幂的乘除混合运算】 例题：（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）计算： (1) (2) 【考点八 幂的乘除逆运算】 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，，： (1)求证：； (2)求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，； (1)当时，求a的值； (2)求的值． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ． 【考点九 整式运算中的先化简再求值】 例题：（2024·广西桂林·一模）先化简，再求值：，其中，． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【考点十 多项式除以单项式】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们可以用竖式进行演算，即先把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．例如：计算的结果． 故． 请你用竖式计算：． 【考点十一 整式运算中的新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为 请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值． (3)若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（北京二中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷）已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（    ） A． B．3 C． D．0 3．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）按如图程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（   ） A．156 B．231 C．198 D．262 5．（24-25六年级上·上海·期中）在矩形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1．图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用涂色表示．设图1中涂色部分的面积为，图2中涂色部分的面积为，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）若对任意的x恒成立，则n的值是 ． 8．（24-25六年级上·上海·期中）等式成立，则 ， ． 9．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则 ． 10．（24-25八年级上·北京·期中）如图①是某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字型框在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． （1）用含的代数式表示： ； （2） ． 三、解答题 11．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 13．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 14．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 15．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的附属系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的附属多项式． (1)关于的二次多项式的附属系数对为_________； (2)有序实数对的附属多项式与有序实数对的附属多项式的差中不含一次项，求的值． 16．（24-25八年级上·北京·期中）观察下列各式，回答问题： ①； ②； ③； …… (1) ； (2)按此规律，第n个等式是：                                    ； (3)的值的末位数字是 ． 17．（北京二中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)多项式除以商式为______，余式为______； (3)多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 18．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.2 整式的乘法 目录 【典型例题】 1 【考点一 计算单项式乘多项式】 1 【考点二 计算多项式乘多项式】 2 【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 4 【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 7 【考点五 多项式乘法中的规律性问题】 11 【考点六 多项式乘多项式与图形面积】 14 【考点七 幂的乘除混合运算】 17 【考点八 幂的乘除逆运算】 18 【考点九 整式运算中的先化简再求值】 20 【考点十 多项式除以单项式】 22 【考点十一 整式运算中的新定义型问题】 25 【过关检测】 30 【典型例题】 【考点一 计算单项式乘多项式】 例题：（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）计算:（1） .（2） ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式、单项式乘多项式，解题的关键是熟练的掌握相关的运算法则． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）计算 计算： ． 【答案】 / 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】此题考查了积的乘方和单项式乘以单项式运算，单项式乘以多项式运算，应用积的乘方和单项式乘以单项式运算法则进行计算；利用单项式乘以多项式运算法则求解即可． 【详解】 ； ． 故答案为：，． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：（1） ．（2） ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式乘法， （1）根据单项式乘法法则计算； （2）根据单项式乘以多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：（1）；（2）． 【考点二 计算多项式乘多项式】 例题：（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、计算多项式乘多项式 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． （1）运用多项式乘以多项式的法则运算即可求解； （2）先根据整式的乘法运算，然后合并即可求解； 【详解】（1）解： ； （2） 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式的乘法： （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可； （3）根据多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 例题：（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）若的乘积中不含项，求n的值． 【答案】4 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．先根据整式的乘法运算算出结果，然后令项前面的系数为零，求出n的值． 【详解】解： ， ∵乘积中不含项， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)12 【知识点】积的乘方的逆用、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，积的乘方的逆运算． （1）将展开，根据结果不含与项，即含与项的系数为0进行求解即可； （2）将（1）所求值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 的积中不含与项， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值． (2)先化简再求值． 【答案】(1)， (2)35 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘以多项式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是可得，，求解即可获得答案； （2）根据多项式乘以多项式运算法则将原式化简，然后将，的值代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， 解得，； （2）原式 ， ∵，， ∴原式 ． 【考点四 (x+p)(x+q)型多项式乘法】 例题：（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【详解】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期中）观察下列多项式的乘法计算，回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)计算__________； 根据你发现的规律，猜想__________； (2)若，求的值． 【答案】(1)；； (2)n的值为 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （2）利用（1）的猜想先求出，再根据得关于m、n的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 根据上面的计算，可发现： 故答案为：；； （2）解：由（1）的规律知：， ∵， ∴． ∴，． ∴． 答：n的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． 2．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法”的结果的一般性规律问题： 观察发现：（1）①； ②； ③_________； ④_________． 规律总结：（2）_________． 应用规律：（3）①若，求的算术平方根； ②若的结果不含的项，求的立方根． 【答案】（1）③；④；（2）；（3）①4；②1． 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，立方根，算术平方根，求代数式的值，利用多项式乘多项式法则发现规律得到猜想是解决本题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算即可得解； （2）观察各①②③④小题结果的二次项系数、一次项系数及常数项，发现规律得猜想； （3）①利用猜想得，，，从而代入求解即可；②由（2）的规律知：，进而求得，即可得解． 【详解】解：观察发现：（1）③， 故答案为：； ④， 故答案为：． 规律总结：（2）①； ②； ③； ④； 根据上面的计算，可发现： 故答案为： ； 应用规律：（3）①， ∴，， ∴， ∴的算术平方根为； ②由（2）的规律知：， ∵的结果不含的项， ∴， ∴， ∴的立方根为1． 【考点五 多项式乘法中的规律性问题】 例题：（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 观察下列各式： ； ； ； …… 请根据你发现的规律完成下列各题： (1)根据规律可得_______________； (2)请你利用上面的结论解答下列小题： ①若，求的值． ②计算的值．（结果用幂表示） 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】计算多项式乘多项式、多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）①根据（1）中发现的规律即可解决问题．②根据（1）中发现的规律即可解决问题． 本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，能根据题意得出为正整数）是解题的关键． 【详解】（1）解：因为； ； ； ， 所以． 故答案为：． （2）①由（1）中结论可知， ， 所以， 则， 所以， 则． ②由（1）中结论可知， ， 所以． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知． (1)根据以上式子计算： ①； ②． (2)请你进行下面的探索： ①____________； ②____________； ③____________． 【答案】(1)①；② (2)①；②；③ 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘，以及规律的探索，解题的关键是总结所给式子的特点，从而进行解题． （1）①直接利用题中的结论代入数值计算；②中，把按升幂进行排列，把化为，然后套用规律进行解答，需要处理好符号； （2）仿照所给等式的规律即可直接写出答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①； ②； 同理可知： ③ 故答案为∶①；②；③． 2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1)6项，； (2)共有（）项，系数和为； (3)1； (4)三． 【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 则的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 【考点六 多项式乘多项式与图形面积】 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积． 【答案】平方米 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】该题主要考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．根据题意列式化简即可． 【详解】解：根据题意，可得停放自行车的面积 平方米． 故停放自行车的面积为平方米． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为米、宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材． (1)求安装健身器材的区域面积； (2)若，，求篮球场的面积． 【答案】(1)安装健身器材的区域面积为平方米； (2)篮球场的面积为420平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，代数式表示式，求代数式的值，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据“安装健身器材的区域面积长方形场地面积篮球场面积”列式计算，即可解题； （2）根据长方形面积列出代数式，再将，代入式子中计算，即可解题． 【详解】（1）解：安装健身器材的区域面积为： 平方米； （2）解：由题知，篮球场的面积为：， 当，时， 篮球场的面积为：（平方米）， 答：篮球场的面积为420平方米． 2．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的面积是4400平方米． 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）把，代入（1）中的代数式，即可得到结论． 【详解】（1）解：该观景区草坪的面积平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：草坪的面积是4400平方米． 【考点七 幂的乘除混合运算】 例题：（24-25八年级上·福建福州·期中）计算： 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂乘法和除法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海闵行·期中）计算：． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 2．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用同底数幂的乘法和除法，以及积的乘方运算法则进行计算，再合并同类项即可解题； （2）利用多项式除以多项式的运算法则进行计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ． 【考点八 幂的乘除逆运算】 例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，，： (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到，即可解题； （2）根据幂的运算得到，代入计算即可解题． 【详解】（1）证明：， ， 即， ； （2）解：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）已知，； (1)当时，求a的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）逆用同底数幂相除法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法及其逆用、幂的乘方及其逆用，推出，把转化为，计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方直接解答即可； （2）根据幂的乘方与同底数幂的除法进行解答即可； （3）根据可得即可得出结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵，，，而， ∴， ∴， ∴， ∴字母a、b、c之间的数量关系为：． 【考点九 整式运算中的先化简再求值】 例题：（2024·广西桂林·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【知识点】多项式除以单项式、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用多项式除以单项式、平方差公式进行计算，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，； 【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查整式的化简求值，根据多项式的乘法除法法则直接计算化到最简，再将数字代入求解即可得到答案； 【详解】解：原式 当，时， 原式． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】，30 【知识点】整式四则混合运算、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，直接利用整式的乘除运算法则化简，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【考点十 多项式除以单项式】 例题：（24-25八年级上·全国·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 【答案】(1)能，理由见解析 (2) (3) 【知识点】多项式除以单项式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题是阅读材料题，考查了，多项式的乘法运算，多项式除以多项式，关键是读懂材料提供的方法，并能灵活运用方法解决问题． （1）按照材料中的竖式方法进行即可； （2）按照材料中的竖式方法进行，根据题意余式要为0，则余式的各项系数均为0，从而可以求得a与b的值，最后求得结果． （3）由长方形B的周长是A周长的2倍可得，再分别求解长方形，的面积，结合多项式除以多项式可得答案． 【详解】（1）解：能，理由如下： 列竖式如下： （2）解：列竖式如下： 由题意得： ∴且 ∴，， ∴． （3）解：∵长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 而长方形B的周长是A周长的2倍， ∴， ∴， ∴长方形的面积为： ； ∵长方形B的面积比C的面积大76， 长方形的面积为：， ∴， ∴长方形C已知边长的邻边长为：． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们可以用竖式进行演算，即先把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．例如：计算的结果． 故． 请你用竖式计算：． 【答案】 【知识点】多项式除以单项式、整式四则混合运算 【分析】本题主要考查的是多项式除多项式，两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按同一字母的降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的办法用竖式进行计算． 【详解】解：竖式计算如下： ∴． 【考点十一 整式运算中的新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·重庆·期末）定义：对于一组关于x的多项式，，，（a．b，c，d是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，，，，因为，所以多项式，，，是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式，，，是一组黄金多项式，其列式为 请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式，，，（n是有理数）是一组黄金多项式，求n的值． (3)若多项式（m为有理数），，是一组黄金多项式，且黄金因子为5，请直接写出m的值． 【答案】(1)12 (2)的值为或8或2 (3)的值为 【知识点】新定义下的实数运算、计算多项式乘多项式、多项式乘多项式——化简求值 【分析】（1）根据整式的四则混合运算法则计算，根据“黄金因子”的定义即可解答； （2）分三种情况，分别计算①②；③，根据“黄金多项式”的定义即可解答； （3）分三种情况，分别计算①，②，③，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答． 本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 这组黄金多项式的黄金因子是； （2）解：若多项式，，，是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． 这是一组黄金多项式， ， ； ② ． 这是一组黄金多项式， ， ； ③ ． 这是一组黄金多项式， ， ， 综上所述，的值为或8或2； （3）解：① ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，不合题意，舍去； ② ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，不合题意，舍去； ③ ， 这是一组黄金多项式， ， ， 黄金因子为，符合题意， 综上所述，的值为． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂除法的逆用 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 2．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：．    请解答下列问题： (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)24 【知识点】新定义下的实数运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解： ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴ ． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法运算、合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，合并同类项和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据同底数幂乘除法计算，合并同类项和幂的乘方分别计算对比，即可选出正确答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（北京二中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷）已知式子的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查了多项式的乘法，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可． 【详解】解：； ∵结果中不含的一次项， ∴， 解得：； 故选C． 3．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 4．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）按如图程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是（   ） A．156 B．231 C．198 D．262 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了代数式求值，根据程序进行输入3，计算，直到大于100，即可得结果． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，． 故选：B． 5．（24-25六年级上·上海·期中）在矩形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1．图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用涂色表示．设图1中涂色部分的面积为，图2中涂色部分的面积为，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列代数式、整式四则混合运算 【分析】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是根据割补法表示阴影部分面积，以及掌握整式的运算法则． 用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算进行化简得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）若对任意的x恒成立，则n的值是 ． 【答案】1 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘法去括号，得出关于m的关系式进而求出m的值，进一步求出n的值． 【详解】解：∵ 而 ∴ ∴， ∴ 故答案为：1． 8．（24-25六年级上·上海·期中）等式成立，则 ， ． 【答案】 1 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、合并同类项 【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴， ∴，． 故答案为：1，． 9．（23-24六年级下·山东泰安·期末）新定义一种运算，其法则为，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】此题考查了新定义下运算，幂的乘方，同底数幂的乘除运算，原式利用题中的新定义计算即可求出值．按照题干定义的运算法则，列出算式，再按照幂的乘方，同底幂除法运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·北京·期中）如图①是某年某月的月历，用如图②所示的“凹”字型框在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为． （1）用含的代数式表示： ； （2） ． 【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，整式的加减运算．熟练掌握列代数式，多项式乘多项式，整式的加减运算是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）解：由题意知，，，，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂的除法运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则，整式的除法的法则运算即可； 先算多项式乘多项式，单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，平方差公式，先利用平方差公式，多项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 13．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查求代数式的值，多项式乘多项式，单项式乘多项式， （1）根据已知得，再将化简，再整体代入即可； （2）根据已知得，，然后整体代入即可； 整体代入法的灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ， ∴的值为； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 14．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】（1），；（2），； 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的化简求值： （1）先根据乘法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； （2）先根据乘除法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）原式 ， 当，时， ∴原式， ． 15．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的附属系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的附属多项式． (1)关于的二次多项式的附属系数对为_________； (2)有序实数对的附属多项式与有序实数对的附属多项式的差中不含一次项，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式系数、指数中字母求值 【分析】（1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义先表示出两个多项式，再根据题意进行计算即可． 【详解】（1）根据题意可得，多项式的附属系数对为， 故答案为：； （2）根据题意得，有序实数对所对应的多项式为， 有序实数对所对应的多项式为， ∵两个多项式的差中不含一次项， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义的表示和多项式的运算，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 16．（24-25八年级上·北京·期中）观察下列各式，回答问题： ①； ②； ③； …… (1) ； (2)按此规律，第n个等式是：                                    ； (3)的值的末位数字是 ． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【知识点】数字类规律探索、计算多项式乘多项式、有理数的乘方运算 【分析】本题考查等式和数字的规律探索， （1）观察已知的3个等式，即可确定出所求式子的结果； （2）观察一系列等式得到一般性规律，即可确定出所求式子的结果； （3）先根据（2）得出的规律求出它的值，再根据末位数字的循环规律即可得解； 解题的关键是根据已知式子确定一般规律． 【详解】（1）解：依题意，得： ， 故答案为：； （2）∵， ， ， ， …… 再结合（1）的结论，得： 第n个等式是：（为正整数）， 故答案为：（为正整数）； （3）解： ， ∵，末位数学是， ，末位数学是， ，末位数学是， ，末位数学是， ，末位数学是， …… ∴结果的末位数学有一个循环的规律，即，，，这四个数字依次循环， ∵， ∴的末位数字是， ∴的值的末位数字是． 故答案为：． 17．（北京二中教育集团2024—2025学年上学期八年级数学期中考试卷）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)多项式除以商式为______，余式为______； (3)多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 【答案】(1)2， (2)， (3) 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 故答案为：2； （2）解： 故答案为：；； （3）解： ∴， 故答案为： 18．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$