第2章 素养提升课(一) 匀变速直线运动的推论-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一物理必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（鲁科版2019）

素养提升课(一)　匀变速直线运动的推论 [学习目标]　 1．理解匀变速直线运动中中间时刻瞬时速度公式、中间位置瞬时速度公式、逐差相等公式。2．会应用匀变速直线运动中中间时刻瞬时速度公式、中间位置瞬时速度公式、逐差相等公式。3．掌握初速度为零的匀加速直线运动的推论及应用。 一　平均速度公式的应用 1．平均速度公式：＝v＝。 意义：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，等于这段时间初、末速度矢量和的一半。即＝v＝。 2．公式推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v。 由s＝v0t＋at2得，平均速度＝＝v0＋at① 由v＝v0＋at知，当t′＝时，v＝v0＋a·② 由①②得＝v 又v＝v＋a·③ 由②③得v＝ 综上所述，有＝v＝。 3．＝与＝的区别 (1)＝是平均速度的一般表达式，适用于任何形式的运动。 (2)＝表示某段过程的平均速度等于初、末速度的平均值，该式只适用于匀变速直线运动。 (2022·山东潍坊高一检测)物块以初速度v0沿水平地面向右匀减速滑行并开始计时，第5 s内的位移是6 m，第6 s内的位移是4 m，(第6 s末仍然向右运动)选向右为正方向，则该物块(　　) A．加速度为－1 m/s2 B．加速度为－2 m/s2 C．第7 s内的位移是3 m D．第6 s末的速度是5 m/s B　[设第5 s的初速度为v0′，第5 s末的速度为v1，第6 s末的速度为v2，T＝1 s。 由平均速度公式可知v1＝，v1＝m/s＝5 m/s；由s2＝v1T＋aT2，解得a＝－2 m/s2，故A错误，B正确；由s2＝T得v2＝3 m/s，故6 s末的速度是3 m/s，故D错误；设7 s末的速度为v3，因为a＝－2 m/s2，故v3＝1 m/s，则第7 s内的位移s3＝×T，s3＝2 m，故C错误。] 运动学公式的“巧选” 运动学公式中常涉及v0、v、a、t、x五个物理量，根据已知量和待求量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果。 题目的条件 优先选用的公式 无位移s，也不需求位移 速度公式：vt＝v0＋at 无末速度v，也不需求末速度 位移公式：s＝v0t＋at2 无运动时间t，也不需要求运动时间 速度与位移公式：vt2－v02＝2as 没有加速度a，也不涉及加速度 平均速度公式法：s＝t 针对练1． 2020年1月31日，我国新一代海洋综合科考船“科学”号完成西太平洋综合考察，船上搭载的“发现”号遥控无人潜水器下潜深度可达6 000 m以上。潜水器完成作业后上浮，上浮过程初期可看作匀加速直线运动。测得潜水器相继经过两段距离为8 m的路程，第一段用时4 s，第二段用时2 s，则其加速度大小是(　　) A．m/s2 B．m/s2 C．m/s2 D．m/s2 A　[ 根据中间时刻的速度等于平均速度可知：v1＝2 m/s；v2＝4 m/s，再根据加速度的定义可知：a＝＝m/s2，故A符合题意。] 针对练2． 一物体在水平地面上由静止开始先匀加速前进10 m后，物体又匀减速前进50 m才停止。求该物体在这两个阶段中运动时间之比t1∶t2。 解析：　设物体做匀加速运动的时间为t1，匀加速运动的末速度为v，它也是匀减速直线运动的初速度，物体做匀减速直线运动的时间为t2。 由s＝ t，＝＝可知 10 m＝t1① 50 m＝t2② 联立①②式有t1∶t2＝1∶5。 答案：　1∶5 二　中点位置瞬时速度公式的理解及应用 1．推导 如图所示，前一段位移v2－v02＝2a·，后一段位移v2－v2＝2a·，所以有v2＝·(v02＋v2)，即有v＝ 。 2．中点位置的瞬时速度公式：v＝，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方均根”值。 3．适用条件：公式v＝ 只适用于匀变速直线运动。 (多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论中正确的有(　　) A．物体经过AB位移中点的速度大小为 B．物体经过AB位移中点的速度大小为 C．若为匀减速直线运动，则v3<v2＝v1 D．在匀变速直线运动中一定有v3>v4＝v5 BD　[由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝ ，时间中点的速度为v4＝，A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有v3>v4＝v5，若物体做匀加速直线运动，则v1<v2，若物体做匀减速直线运动，则v1>v2，故D正确，C错误。] 针对练．(2021·江西南昌高一上月考)(多选)光滑斜面的长度为l，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是(　　) A．物体运动全过程中的平均速度大小为 B．物体在时刻的瞬时速度大小为 C．物体运动到斜面中点时瞬时速度大小为 D．物体从斜面顶端运动到斜面中点所需的时间为 ACD　[物体运动全过程中的平均速度大小＝＝，A正确；在时刻，物体的瞬时速度大小等于全程的平均速度大小，B错误；设物体末速度的大小为v，则＝，v＝，故物体运动到斜面中点时瞬时速度大小v中＝＝，C正确；设物体的加速度大小为a，到达中间位置时用t′，则l＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正确。] 三　逐差相等公式的应用 1．逐差相等公式 匀变速直线运动，在连续相邻相等时间内的位移之差是定值，即Δs＝aT2。 2．公式推导：如图所示 s1＝v0T＋aT2，s2＝v0·2T＋a·T2， s3＝v0·3T＋a·T2，… 所以sⅠ＝s1＝v0T＋aT2，sⅡ＝s2－s1＝v0T＋aT2，sⅢ＝s3－s2＝v0T＋aT2，… 故sⅡ－sⅠ＝aT2，sⅢ－sⅡ＝aT2，… 所以Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝aT2。 (1)公式中“T”具有任意性。 (2)对于不相邻的任意两段位移： sm－sn＝(m－n)aT2。 (3)推论只适用于匀变速直线运动。　　 3．应用 (1)判断物体是否做匀变速直线运动： 如果Δs＝sⅡ－sⅠ＝sⅢ－sⅡ＝…＝sN－sN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 (2)求加速度：利用Δs＝aT2，可求得a＝。 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a。 思路点拨：　(1)画出该物体的运动过程如图所示。 (2)B是由A到C的中间时刻。 解析：　方法一：基本公式法 由位移公式得s1＝vAT＋aT2，s2＝vA·2T＋a(2T)2－，vC＝vA＋a·2T，将s1＝24 m，s2＝64 m，T＝4 s代入以上各式，联立解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。 方法二：平均速度公式法 连续两段时间T内的平均速度分别为1＝＝ m/s＝6 m/s，2＝＝ m/s＝16 m/s。设A、B的中间时刻为D，B、C的中间时刻为E，则vD＝1，vE＝2。由于B是A、C的中间时刻，则1＝，2＝，vB＝，又vB＝，联立以上各式，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2 。 方法三：逐差相等公式法 由Δs＝aT2，可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，又s1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。 答案：　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2 一题多解、优中选优 运动学问题一般具有多种分析方法，在解题时应培养自己用多种方法进行分析及解答的能力，找出最优解法，以便快速解题。 　　 针对练1．(2022·北京东城区高一联考)一辆汽车行驶在平直公路上，从t＝0时开始制动，汽车在第1 s、第2 s、第3 s前进的距离分别是9 m、7 m、5 m，如图所示。某同学根据题目所提供的信息，猜想汽车在制动后做匀减速直线运动。如果他的猜想是正确的，可进一步推断，汽车开始制动时的速度大小为 (　　) A．4 m/s B．6 m/s C．8 m/s D．10 m/s D　[汽车制动的加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，根据s＝v0t－at2，则9 m＝m，解得v0＝10 m/s，故选D。] 针对练2．如图所示，汽车在平直的公路上以72 km/h的速度匀速行驶，前方有一个收费站，汽车经过距收费站400 m的A点时开始减速，到达收费站时刚好停下，设汽车整个减速过程为匀减速直线运动。在减速运动过程中，观察到汽车通过中途的BC和CD两个连续区间所用时间均为4 s，且测得B、C相距40 m，求： (1)汽车减速过程的加速度大小； (2)CD间的距离； (3)D点离收费站的距离。 解析：　(1)已知汽车初速度v0＝72 km/h＝20 m/s， 汽车末速度v＝0，位移s＝400 m，根据匀变速直线运动的速度—位移公式有0－v02＝2as， 代入数据解得汽车加速度为a＝－0.5 m/s2，负号表示加速度方向与初速度方向相反，加速度的大小为0.5 m/s2。 (2)根据匀变速直线运动连续相等时间内的位移差Δs＝aT2知CD－BC＝aT2， 代入数据解得CD＝32 m。 (3)因为经过BC段时间和CD段时间相等，故C点是BD段的时间中点，根据匀变速直线运动某段过程中间时刻的瞬时速度等于该过程的平均速度得vC＝＝ m/s＝9 m/s， 根据匀变速直线运动的速度—位移公式有vC2－v02＝2a·AC， 代入数据解得AC＝319 m， 则D点离收费站的距离d＝s－AC－CD＝400 m－319 m－32 m＝49 m。 答案：　(1)0.5 m/s2　(2)32 m　(3)49 m 四　初速度为0的匀加速直线运动的推论 1．等分时间(以T为时间单位)的情况 (1)1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比： v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n (2)1T内、2T内、3T内…位移之比： s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶4∶9∶…∶n2 (3)第一个T内、第二个T内、第三个T内…位移之比： sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…∶sN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1) 2．等分位移(以s为单位)的情况 (1)通过s、2s、3s…所用时间之比： t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶ (2)通过第一个s、第二个s、第三个s…所用时间之比： t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－) 2020年3月19日举办了世界女子冰壶锦标赛循环赛。如图甲所示为比赛中的运动员推出冰壶的动作。如图乙所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零。求： (1)冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比； (2)冰壶穿过每个矩形区域所用的时间之比。(冰壶可看成质点) 解析：　(1)把冰壶的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，冰壶通过两矩形区域位移相等，由推论可知从右向左穿过矩形的速度之比为1∶，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比为v1∶v2＝∶1。 (2)把冰壶看成从右向左做初速度为零的匀加速直线运动，由推论知通过每个矩形区域的时间之比为1∶(－1)；则冰壶实际穿过每个矩形区域所用的时间之比为t1∶t2＝(－1)∶1。 答案：　(1)∶1　(2)(－1)∶1 利用匀变速直线运动比例关系解题的技巧 (1)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例快速解题。 (2)对于初速度和末速度均不为零的匀变速直线运动。可以掐段应用比例，如位移之比5∶7∶9∶11。　　 针对练1．(多选)如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为(　　) A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1 B．v1∶v2∶v3＝∶∶1 C．t1∶t2∶t3＝1∶∶ D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1 BD　[逆向思维成子弹由右向左依次“穿出”3个木块的速度之比为1∶∶。则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1∶v2∶v3＝∶∶1，故B正确；子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为1∶(－1)∶(－)，则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1，故D正确。] 针对练2．(多选)一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时(设每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计)(　　) A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶∶∶…∶ B．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1∶2∶3∶…∶n C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1) D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶2∶3∶…∶n AC　[设每节车厢长为l，由v2＝2ax得第一节车厢末端经过观察者时v1＝，同理，第二节车厢末端经过观察者v2＝，…，第n节车厢末端经过观察者时vn＝，所以有v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶，选项A正确；由推论知相等时间里的位移之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)，又每节车厢的长度相同，车厢间间隙可以不计，故相等时间里经过观察者的车厢数之比是1∶3∶5∶…∶(2n－1)，选项C正确。] 课时精练(七)　匀变速直线运动的推论 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础达标] 1．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2 s曝光一次，轿车车身总长为4.5 m，那么这辆轿车的加速度为(　　) A．1 m/s2 B．2.25 m/s2 C．3 m/s2 D．4.25 m/s2 B　[根据匀变速直线运动规律有Δs＝s2－s1＝aT2。轿车总长为4.5 m，可知图中每一小格为1.5 m，由此可算出s1＝12 m和s2＝21 m，又T＝2 s，则a＝＝ m/s2＝2.25 m/s2，B正确。] 2．做匀加速直线运动的质点，在第一个3 s内的平均速度比它在第一个5 s内的平均速度小3 m/s，则质点的加速度大小为(　　) A．1 m/s2　　　　　　　　 B．2 m/s2 C．3 m/s2 D．4 m/s2 C　[第1个3 s内的平均速度即为1.5 s时刻的瞬时速度v1，第1个5 s内的平均速度即为2.5 s时刻的瞬时速度v2，a＝＝＝＝3 m/s2。故选C。] 3．2020年11月10日，中国“奋斗者”号载人潜水器(如图)在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度为10 909米。潜水器从海平面由静止开始向下做匀加速直线运动的过程中，第1个3 s、第2个3 s和第4个3 s内的位移大小之比为 (　　) A．1∶4∶25 B．1∶3∶7 C．1∶9∶49 D．1∶3∶9 B 4．做匀减速直线运动的物体经4 s停止；若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是(　　) A．3.5 m　　　　　　　　 B．2 m C．1 m D．0 B　[根据初速度为零的匀加速直线运动在相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7∶…可知，该物体做匀减速直线运动在第1 s内的位移与第4 s内的位移之比为7∶1，即＝，s1＝2 m，故选B。] 5．某物体由静止开始以恒定加速度运动，经时间t速度达到v，则在这段时间内，物体在中间时刻的速度与物体位于中点位置时的速度大小之比为(　　) A．1∶2 B．1∶ C．∶1 D．∶1 B　[中间时刻的速度v＝，中间位置时的速度v＝ ＝，所以v∶v＝1∶，故选B。] 6．地铁有效率高、运量大、无污染等特点，已成为人们不可或缺的城市公共交通工具。某次列车进站时，匀减速通过静止在站台上等车的某同学，列车停止时该同学恰好正对着最后一节车厢的最末端。该同学发现列车共有6节，若每节车厢的长度均相同，从第1节到第6节车厢通过该同学的时间分别为t1、t2、t3、t4、t5、t6，则以下正确的是 (　　) A．t1∶t2＝1∶(－1) B．t5∶t6＝∶1 C．t6∶t1＝(＋)∶1 D．t3∶t4＝(－)∶(－1) C　[末速度为零的匀减速直线运动，根据逆向思维，可以看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，根据比例t1∶t2∶t3∶t4∶t5∶t6＝(－)∶(－)∶(－)∶(－)∶(－1)∶1，可知A、B、D错误，C项正确。] 7．(2021·河北沧州市联考)(多选)高铁进站近似看成做匀减速直线运动，依次经过A、B、C三个位置，已知AB＝BC，测得AB段的平均速度为30 m/s，BC段的平均速度为20 m/s。则下列说法正确的是(　　) A．高铁经过AC段的平均速度是24 m/s B．高铁经过AC段的平均速度是25 m/s C．高铁经过位置B的速度是25 m/s D．高铁经过位置B的速度是26 m/s AD　[由平均速度公式得＝30 m/s ，＝20 m/s，因为AB＝BC，由位移中点速度公式得vB＝ ，由以上三式解得vA＝34 m/s，vB＝26 m/s，vC＝14 m/s，对全程由平均速度公式得vAC＝＝24 m/s，A、D项正确。] 8．一物体从斜面上A点由静止开始做匀加速直线运动，经过3 s后到达斜面底端B点，并在水平地面上做匀减速直线运动，又经9 s停在C点。物体在斜面上的位移与在水平地面上的位移大小之比是(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．3∶1 C　[设物体到达斜面底端时的速度为v，则物体在斜面上的平均速度1＝，在斜面上的位移s1＝1t1＝t1，在水平地面上的平均速度2＝，在水平地面上的位移s2＝2t2＝t2，所以s1∶s2＝t1∶t2＝1∶3，故选C。] 9．(多选)物体自O点由静止开始做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用时间相等。下列说法正确的是(　　) A．可以求出物体加速度的大小 B．可以求得CD＝4 m C．可求得OA＝1.125 m D．可求得OA＝1.5 m BC　[设物体做匀加速运动的加速度为a，通过AB、BC及CD的时间均为T，则有Δs＝aT2＝1 m，可以求得CD＝4 m，而B点瞬时速度vB＝，所以O与B间的距离sOB＝＝3.125 m，O与A之间的距离sOA＝sOB－AB＝1.125 m，即B、C正确。] [能力提升] 10．一个质点正在做匀加速直线运动，用固定的照相机对该质点进行闪光照相，闪光时间间隔为1 s，分析照片得到的数据，发现质点在第1次、第2次闪光的时间间隔内移动了0.2 m；在第3次、第4次闪光的时间间隔内移动了0.8 m，由上述条件可知(　　) A．质点运动的加速度是0.6 m/s2 B．质点运动的加速度是0.4 m/s2 C．第1次闪光时质点的速度是0.05 m/s D．第2次闪光时质点的速度是0.3 m/s C　[由sm－sn＝(m－n)aT2可得，质点的加速度为a＝ m/s2＝0.3 m/s2，故A、B项错误；第1次闪光和第2次闪光之间的平均速度为12＝＝0.2 m/s，故第1次闪光时的瞬时速度为v1＝12－a＝0.05 m/s，故C项正确；第2次闪光时的瞬时速度为v2＝12＋a＝0.35 m/s ，故D项错误。] 11．(多选)如图所示，我国的“复兴号”列车正在飞驰运行，列车在做匀加速直线运动过程中，从计时开始，通过第一个60 m所用时间是10 s，通过第二个60 m所用时间是6 s。不计列车长度。则 (　　) A．列车的加速度为0.5 m/s2，接下来的6 s内的位移为78 m B．列车的加速度为1 m/s2，接下来的6 s内的位移为96 m C．列车计时开始的速度为3.5 m/s D．列车计时开始的速度为2.5 m/s AC　[第一个60 m内中间时刻的瞬时速度v1＝＝6 m/s，第二个60 m内中间时刻的瞬时速度v2＝＝10 m/s，则列车的加速度a＝＝0.5 m/s2。根据Δx＝aT2得，接下来6 s内的位移s3＝s2＋aT2＝60 m＋0.5×36 m＝78 m，故A项正确，B项错误；列车的初速度v0＝v1－a＝6 m/s－0.5× m/s＝3.5 m/s，故C项正确，D项错误。] 12．(2022·四川邻水实验学校高一期中)如图所示，在一个倾斜的长冰道上方，一群孩子排成队，每隔1 s有一个小孩往下滑。一游客对着冰道上的孩子拍下一张照片，照片上有甲、乙、丙、丁四个孩子。他根据照片与实物的比例推算出乙与甲、乙与丙间的距离分别为13.5 m和18.5 m。求： (1)小孩下滑的加速度大小a； (2)拍照时最下面的小孩丁的速度大小是多少？ (3)拍照时，在小孩甲上面的冰道上下滑的小孩不会超过几人？ 解析：　(1)根据匀变速直线运动的推论Δs＝aT2，得a＝＝ m/s2＝5 m/s2 故小孩下滑的加速度大小为5 m/s2。 (2)小孩乙的速度等于甲、丙的平均速度，v乙＝＝ m/s＝16 m/s 根据匀变速直线运动的速度时间公式有v丁＝v乙＋a·2T＝(16＋5×2) m/s＝26 m/s 故最下面的小孩丁的速度大小是26 m/s。 (3)小孩乙已下滑的时间为 t乙＝＝ s＝3.2 s 知乙上面小孩的个数不会超过3个， 则小孩甲上面的冰道上下滑的小孩子不会超过2个。 答案：　(1)5 m/s2　(2)26 m/s　(3)2人 学科网（北京）股份有限公司 $$