专题06 一次函数易错必刷题型专训（66题22个考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题06 一次函数易错必刷题型专训（66题22个考点） 【易错必刷一 函数的概念】（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海·期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是（   ） A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数 C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）在关系式中，V随着t的变化而变化，其中自变量是 ，因变量是 ，当 时，． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察下图，回答问题： (1)说明哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数． (2)温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？ 【易错必刷二 函数解析式】（共3小题） 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）激光测距仪L发出的激光束以的千米/秒的速度射向目标M，t秒后测距仪L收到目标M反射回的激光束．则测距仪L到目标M的距离d（千米）与时间t（秒）的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）某水库的水位在6小时内持续上涨，初始水位高度为4米，水位以每小时米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时的函数关系式为 ． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）将若干张长为、宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为．    (1)根据下图，将表格补充完整： 白纸张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条总长度 40 75 110 … … (2)设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式是__________． (3)白纸粘合起来的总长度可能为吗？为什么？ 【易错必刷三 自变量取值范围】（共3小题）1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如果有意义，那么字母x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知函数，其定义域为 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知的边的长为．高的长为cm． (1)求的面积(单位：)与x之间的关系式； (2)写出关系式中的自变量与因变量； (3)当时，求的面积为多少? 【易错必刷四 函数图象】（共3小题） 1．（24-25七年级上·湖南长沙·开学考试）小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下图中能表示小明离家距离与时间关系的是（    ） A． B． C． 2．（23-24八年级下·北京延庆·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是 ．（填写序号） 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．    根据图象解答下列问题： (1)写出小何离家的最远距离； (2)小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？ (3)小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？ 【易错必刷五 动点问题的函数图象】（共3小题） 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图1，动点P从长方形的顶点A出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点C，的面积随运动时间变化的图像如图2所示，则的长是 ．    3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图所示，设点运动时间为（），的面积为（）． (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是__________，用含x的代数式表示线段的长是_________； (2)求变量与之间的关系式； (3)当点运动时间为时，求的面积． 【易错必刷六 正比例函数的定义、图象与性质】（共3小题） 1．（23-24八年级下·全国·期末）已知正比例函数的图象上两点，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ． 3．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）已知 与成正比例关系，当时，．求y与x的函数关系式． 【易错必刷七 根据一次函数的定义求参数】（共3小题） 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数．若这个函数是关于的一次函数，则 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【易错必刷八 一次函数解析式问题】（共3小题） 1．（2024·陕西·一模）已知直线与直线平行，且经过点，则的解析式为 （     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【易错必刷九 一次函数的象限问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）一次函数与，在同一平面直角坐标系中的图象应该是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）已知一次函数（a为常数）． (1)若，则这个函数图象不经过第________象限； (2)若这个函数的图象经过原点，求a的值． 【易错必刷十 已知函数经过的象限求参数范围】（共3小题） 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象不经过第一象限，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）已知一次函数，请解答下列问题： (1)为何值时，该函数的图象与直线平行？ (2)为何值时，随增大而增大？ (3)为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？ 【易错必刷十一 一次函数与坐标轴的交点问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时， 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）若直线 与 轴的交点为，则关于 的一元一次方程的解为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）画出的图象，根据图象回答下列问题 (1)y的值随x值的增大而 ． (2)图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ． (3)当x 时，y＞0． 【易错必刷十二 一次函数图象的平移问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，若一次函数的图象与三角形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知点在直线上． (1)求的值； (2)将直线向上平移4个单位，直接写出平移后的直线解析式． 【易错必刷十三 一次函数的增减性】（共3小题） 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）已知一次函数．当时，函数y有最大值，则a的值为 ． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知关于的一次函数为：． (1)若函数随增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，，求m的取值范围． 【易错必刷十四 比较一次函数值的大小】（共3小题） 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）已知，，是直线（为常数）上的三个点，则，，的大小关系（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）已知点都在直线（a为实数）上，则的大小关系为 ．（用“<”连接） 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【易错必刷十五 一次函数的规律探究问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）如图，在坐标轴上取点，作轴的垂线与直线交于点，作等腰直角三角形；又过点作轴的垂线交直线于点，作等腰直角三角形如此继续，则点的坐标是 ． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某中学数学兴趣小组对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当时，探究函数的性质． 当时，函数化简为________；当时，函数化简为________； 请你画出的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：_________；    (2)当时，探究函数的性质．你认为函数 与函数的图象有何关系，请把你的猜想写下来：_______； (3)已知函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点的坐标是，则求的大小． 【易错必刷十六 已知直线与坐标轴交点求方程的解】（共3小题） 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为 ．    3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交y轴于点，点在线段上（不与点重合），过点分别作和的垂线，垂足为，设点的坐标为． (1)请用含的代数式表示的长：___________，___________，___________． (2)若的长为时，求点P的坐标． 【易错必刷十七 一次函数的应用之方案分配问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．    根据以上信息，解决下列问题： (1)请直接写出，关于的表达式 ； (2)当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 3．（23-24八年级下·北京怀柔·期末）某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【易错必刷十八 一次函数的应用之最大利润问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)求（1）中函数的最大值． 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）为加强劳动教育，落实五育并举，某校准备在校内建立劳动实践基地，现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架共100个，已知甲种栽培架的单价为35元，乙种栽培架的单价为45元． (1)设购买这批栽培架所需费用为元，甲种栽培架购买个，求与之间的函数关系式． (2)若购进乙种栽培架的数量不少于甲种栽培架的，请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下： 饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 200 乙 300 已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同． (1)求的值； (2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件． ①求销售完这两种饰品的最大利润； ②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低元，甲种饰品的售价不变，为保证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【易错必刷十九 一次函数的应用之行程问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？ 2．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题： (1)甲船出发 小时后乙船才出发；乙船的平均速度为 千米/小时． (2)请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式． (3)问乙船出发多长时间赶上甲船？ 3．（2023·吉林松原·模拟预测）有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【易错必刷二十 一次函数的应用之几何问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点 B． (1)求 A， B两点的坐标； (2)求 的面积． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【易错必刷二十一 一次函数的应用之动点问题】（共3小题） 1．（23-24八年级上·陕西铜川·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为4．    (1)求，，三点的坐标； (2)若动点在线段和射线上运动，当时，求点的坐标． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，长方形中，，，动点Q沿着的方向运动至点B停止，设点Q运动的路程为x，的面积为y． (1)当点Q在上运动时，请写出y与x的关系式______； (2)当时，______； (3)当点Q在上运动时，请写出y与x的关系式______； (4)当时，______． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，点为直角边边上一动点，现从点出发，沿着的方向运动至点A处停止，设点运动的路程为的面积为．（点不与点重合） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当的面积等于面积一半时，求出点运动的路程的值． 【易错必刷二十二 一次函数的应用综合】（共3小题） 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数易错必刷题型专训（66题22个考点） 【易错必刷一 函数的概念】（共3小题） 1．（24-25八年级上·上海·期中）圆面积公式中，下面叙述正确的是（   ） A．是变量，S是的函数 B．是变量，S是的函数 C．是常量，S与成正比例 D．是常量，S与成正比例 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的基本概念，熟练掌握常量与变量及函数是解题的关键；因此此题可根据题意结合函数的基本概念进行排除选项即可． 【详解】解：由圆面积公式中，可知：是常量，S与成正比例； 故选C． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）在关系式中，V随着t的变化而变化，其中自变量是 ，因变量是 ，当 时，． 【答案】 t V 15 【分析】本题考查函数的相关概念，以及根据函数值求自变量，掌握自变量，因变量的定义，并将代入关系式中求解，即可解题． 【详解】解：关系式中，V随着t的变化而变化， 是自变量，是因变量， 当时，有，解得， 故答案为：，，． 3．（23-24八年级下·河北邢台·期末）豌豆苗的呼吸作用强度受温度影响很大，观察下图，回答问题： (1)说明哪个量是自变量，哪个量是自变量的函数． (2)温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？ 【答案】(1)温度是自变量，  呼吸作用强度是温度的函数； (2)温度在到范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强；在到范围内逐渐减弱． 【分析】本题考查了常量和变量，函数图象，正确的识别图象是解题的关键． （1）根据函数图象即可得到结论； （2）根据图象中提供的信息即可得到结论． 【详解】（1）解：此图反映的自变量是温度，呼吸作用强度是温度的函数； （2）解：由图象知，温度在到范围内时豌豆苗的呼吸作用强度逐渐变强；在到范围内逐渐减弱． 【易错必刷二 函数解析式】（共3小题） 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）激光测距仪L发出的激光束以的千米/秒的速度射向目标M，t秒后测距仪L收到目标M反射回的激光束．则测距仪L到目标M的距离d（千米）与时间t（秒）的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式．根据“路程=速度×时间”列式即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）某水库的水位在6小时内持续上涨，初始水位高度为4米，水位以每小时米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，关键是根据题中水位以每小时米的速度匀速上升列出关系式；根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）将若干张长为、宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为．    (1)根据下图，将表格补充完整： 白纸张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条总长度 40 75 110 … … (2)设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式是__________． (3)白纸粘合起来的总长度可能为吗？为什么？ 【答案】(1)145，355 (2) (3)白纸粘合起来的总长度不可能为，理由见解析 【分析】本题考查的是函数关系式及探索图形变化的规律性知识，结合图形理清数量之间关系是解决此题关键． （1）根据图形结合题意可得答案； （2）根据题意和所给图形可得出答案； （3）把代入（2）式时，看x的值是否为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得白纸张数每增加1张，纸条长度增加， 所以当白纸张数为4张时，纸条长度为； 当白纸张数为10张时，纸条长度为． 故答案为：145，355． （2）解：根据题意和所给图形可得出：． （3）解：不能．理由如下： 令得：， 解得：． ∵为整数， ∴不能使黏合的纸片总长为． 【易错必刷三 自变量取值范围】（共3小题） 1．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如果有意义，那么字母x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知函数，其定义域为 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零解题即可． 【详解】解：由题可知， 解得且， 故答案为：且． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知的边的长为．高的长为cm． (1)求的面积(单位：)与x之间的关系式； (2)写出关系式中的自变量与因变量； (3)当时，求的面积为多少? 【答案】(1) (2)是自变量，是因变量 (3)的面积为 【分析】本题考查用函数表示变量间的关系，自变量与因变量的定义． （1）根据三角形面积公式即可求解； （2）根据自变量和因变量的定义即可求解； （3）直接代入函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵的边的长为．高的长为cm，的面积为， ∴； （2）是自变量，是因变量 （3）当时，， ∴当时，求的面积为． 【易错必刷四 函数图象】（共3小题） 1．（24-25七年级上·湖南长沙·开学考试）小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下图中能表示小明离家距离与时间关系的是（    ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数与实际问题结合的应用，正确理解题意是解题关键．根据运动的路程与时间判断函数图像，注意几个时间段：去时20分钟，看报10分钟，回家15分钟． 【详解】解：根据题意可知，图像是先从原点出发，20分钟后到达了一个离家900米的报亭，表现在图像上为上升的线段， 看了10分钟的报纸在图像上表现为与轴平行的线段， 然后用了15分钟返回到家，表现在图像上为下降的线段， 所以，表示小明离家距离与时间关系的是： ． 故选：B． 2．（23-24八年级下·北京延庆·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是 ．（填写序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据变量与变量之间的关系结合函数图象逐项进行判断即可． 【详解】解：①往水池中匀速注水，水池中水的体积随时间均匀增大，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，水池中水的体积随时间均匀减小，直至放完，可以用图中的图象表示； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，设绳子的长度为a，则矩形的面积与一边长的关系式为：，所以此函数图象不能表示变量与变量之间的函数关系； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园时，小明离家的路程与行走时间均匀增大，从香苑公园匀速原路返回时，小明离家的路程与行走时间均匀减小，所以此函数图象能表示变量与变量之间的函数关系； 综上分析可知，在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了用图象表示函数关系，解题的关键是理解题意，弄清楚两个变量之间的关系． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．    根据图象解答下列问题： (1)写出小何离家的最远距离； (2)小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？ (3)小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？ 【答案】(1) (2)2次，0.5小时和1小时 (3) 【分析】（1）首先根据图象找到离家最远的距离，由此即可确定他到达离家最远的距离； （2）根据图象可以直接看出纵坐标表示离家的距离，从横坐标中找到时间点，即可得出答案； （3）根据返回时所走路程和使用时间即可求出返回时的平均速度． 【详解】（1）解：利用图象的纵坐标得出小何骑自行车离家的最远距离是； （2）根据图象得出有两段时间纵坐标不变，得出途中小何共休息了2次；利用横坐标得出休息时间为：0.5小时和1小时； （3）∵返回时所走路程为，使用时间为2小时， ∴返回时的平均速度为：． 【点睛】此题主要考查了看函数图象，解决本题的关键是读懂图意，然后根据图象信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题． 【易错必刷五 动点问题的函数图象】（共3小题） 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象．勾股定理的应用，根据函数图象，可知点表示时的面积为24，可以求出、的长，从而可以解答本题． 【详解】解：根据函数图象，可知点表示时的面积为24， ， ， ， 根据勾股定理． 故选：C． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图1，动点P从长方形的顶点A出发，在边、上沿的方向，以的速度匀速运动到点C，的面积随运动时间变化的图像如图2所示，则的长是 ．    【答案】5 【分析】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即表示面积发生改变的点的含义是解题的关键．由图可知，，，当点到达点时，的面积为，可得出等式求出的值，即可求得答案． 【详解】解：由题图2可知，，， 当点到达点时，的面积为， ∴， 即， 解得， 即的长为， 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图1，是的边上的高，且，，点从点出发，沿线段向终点运动，其速度与时间的关系如图所示，设点运动时间为（），的面积为（）． (1)在点沿向点运动的过程中，它的速度是__________，用含x的代数式表示线段的长是_________； (2)求变量与之间的关系式； (3)当点运动时间为时，求的面积． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积； （1）根据由图2可知，点沿向点运动的过程中的速度，根据速度、路程和时间的关系即可求得的长， （2）根据三角形面积公式求得与的关系式； （3）把代入关系式即可求得的值，根据与之间的关系式即可求解． 【详解】（1）解：由图2可知，在点沿向点运动的过程中，它的速度是，所以线段的长是； 故答案为：，． （2）根据三角形的面积公式得： （3）当时， 【易错必刷六 正比例函数的定义、图象与性质】（共3小题） 1．（23-24八年级下·全国·期末）已知正比例函数的图象上两点，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，由得出y随x增大而减小是解题关键，根据正比例函数增减性直接判断即可． 【详解】解：正比例函数中，， y随x增大而减小， ， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则比例系数k，m，n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据函数图象所在象限可判断出，，再根据直线上升的快慢可得，进而可得答案． 【详解】解：由图像可知，正比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵的图象比的图象上升得快， ∴， ∵的图象在二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）已知 与成正比例关系，当时，．求y与x的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，设，把，代入求解即可． 【详解】解：∵ 与成正比例关系， ∴设， 把，代入得：， 解得， ，即， 与的函数关系式为． 【易错必刷七 根据一次函数的定义求参数】（共3小题） 1．（23-24八年级下·四川内江·期中）若关于的函数是一次函数，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴ ∴ 即 故选：C 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数．若这个函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，解得：． 故答案为：0 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是关于的一次函数； (2)当，时，该函数是关于的正比例函数． 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴， 即当时，该函数是关于的一次函数； （2）解：由（1）知，， 由题意知：，所以， 即当，时，该函数是关于的正比例函数． 【易错必刷八 一次函数解析式问题】（共3小题） 1．（2024·陕西·一模）已知直线与直线平行，且经过点，则的解析式为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握平行直线的值相等．设此函数的解析式为，根据平行直线的值相等可得，然后把已知点代入直线解析式进行计算求解即可． 【详解】解：设此函数的解析式为， 直线与直线平行， ， 将点，代入得： ， 解得：， 的解析式为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质； 根据与y轴的交点坐标可得b的值，再根据两条直线平行，k值相等，求出k即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 又∵一次函数的图像与直线平行， ∴， ∴这个函数解析式为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·广西崇左·阶段练习）已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）设与的表达式为， 把时，代入得， 解得， ∴与的关系式为， 即； （2）∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质． 【易错必刷九 一次函数的象限问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）一次函数与，在同一平面直角坐标系中的图象应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象和性质，采用数形结合的思想是解决本题的关键．首先根据每个函数图象所在的象限，分别确定出各自a、b的符号，再根据各自a、b的符号是否相同逐项判定即可． 【详解】解：A．函数的图象经过第一、二、三象限，则，， 函数的图象经过第一、二、四象限，则，，故该选项错误； B．函数的图象经过第一、二、四象限，则，， 函数的图象经过第一、三象限且经过原点，则，，故该选项错误； C．函数的图象经过第一、二、四象限，则，， 函数的图象经过第第一、二、三象限，则，，故该选项错误； D．函数的图象经过第一、三、四象限，则，， 函数的图象经过第一、二、四象限，则，，故该选项正确； 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）直线经过第二、三、四象限，则直线的图象不经过的象限是 ． 【答案】第二象限 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键，据此求解即可． 【详解】解；∵直线经过第二、三、四象限， ∴， ∴， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：第二象限． 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）已知一次函数（a为常数）． (1)若，则这个函数图象不经过第________象限； (2)若这个函数的图象经过原点，求a的值． 【答案】(1)二 (2)2 【分析】本题考查了一次函数的图象性质： （1）把代入，再结合一次函数的性质，即可求解； （2）根据这个函数的图象经过原点，可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴这个函数图象经过第一、三、四象限，这个函数图象不经过第二象限； 故答案为：二 （2）解：∵这个函数的图象经过原点， ∴且， ∴． 【易错必刷十 已知函数经过的象限求参数范围】（共3小题） 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象不经过第一象限，则下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象不经过第一象限得出，，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴，， ∴，， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于一次函数，当函数图象经过一、二、三象限；当时，函数图象经过一、三、四象限；时，函数图象经过一、二、四象限；当时，函数图象经过二、三、四象限．依据一次函数的图象不经过第二象限，可得函数表达式中一次项系数大于0，常数项不大于0，进而得到m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）已知一次函数，请解答下列问题： (1)为何值时，该函数的图象与直线平行？ (2)为何值时，随增大而增大？ (3)为何值时，该函数的图象经过第二、三、四象限？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了两直线相交或平行的性质、一次函数图象与系数的关系，明确：①当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，②两直线平行时，一次项系数相等． （1）两直线平行，则一次项系数相等，常数项不等，列式求解即可； （2）根据y随x的增大而增大可知：，求解即可； （3）函数的图象经过第二、三、四象限可知：，求解即可． 【详解】（1）由题意得 解得； （2）由题意得， 解得； （3）由题意得 解得． 【易错必刷十一 一次函数与坐标轴的交点问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据一次函数图象与系数的关系可对进行判断，根据一次函数图象上点的坐标特征可对进行判断，根据一次函数的性质可对、进行判断． 【详解】解：A、∵一次函数， ∴该函数图象经过第一、二、三象限，故选项错误，不符合题意； B、当，则图象与轴交于点，故选项错误，不符合题意； C、由得函数值随自变量的增大而增大，故选项错误，不符合题意； D、当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）若直线 与 轴的交点为，则关于 的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，根据直线 与 轴的交点为，可得关于 的一元一次方程交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：直线 与 轴的交点为， 则关于 的一元一次方程交点的横坐标就是方程的解， 即， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·期中）画出的图象，根据图象回答下列问题 (1)y的值随x值的增大而 ． (2)图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ． (3)当x 时，y＞0． 【答案】(1)减小 (2)， (3) 【分析】令，；令，，得到直线上的两点坐标，，描出这两点，然后连接这两个点得到函数的图象，再根据图象直接判断出答案． 【详解】（1）解：令，；令，，得到，，描出并连接这两个点，如图， 由图象可得图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小； 故答案为：减小 （2）解：由图象可得图象与轴的交点坐标是，与轴交点的坐标是； 故答案为：， （3）解：观察图象得，当时，． 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数，，为常数）的性质．它的图象为直线，当，图象经过第一，三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，随的增大而减小；当，直线与轴的交点在轴上方；当，直线经过坐标原点；当，直线与轴的交点在轴下方．也考查了看函数图象的能力和直线与坐标轴的交点的坐标特点． 【易错必刷十二 一次函数图象的平移问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格点上，若一次函数的图象与三角形有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移，数形结合是解答本题的关键．求出直线经过点B和点C 时b的取值即可． 【详解】解：根据题意，由上到下平移直线，可知直线最先经过点，最后经过点，在此之间该直线与三角形都有两个交点． 当直线经过点时，得，解得； 当直线经过点时，得，解得， 故的取值范围为． 故选C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，正比例函数的定义，根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”可得平移后的函数图形，再根据正比例函数的定义及一般式“”即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度后的函数解析式为， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴， 解得，， 故答案为： ． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知点在直线上． (1)求的值； (2)将直线向上平移4个单位，直接写出平移后的直线解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将带入直线方程求解即可； （2）根据“上加下减”的法则即可得到平移后的直线方程． 【详解】（1）将代入中， ，解得： （2）根据“上加下减”的法则可知,所得的直线方程为． 【点睛】本题考查一次函数的图象及几何变换，熟知函数图象平移法则是解答此题的关键． 【易错必刷十三 一次函数的增减性】（共3小题） 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知函数，若y随x的增大而减小，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质．根据已知条件：y随x的增大而减小推出自变量x的系数小于0，然后解得即可． 【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级上·重庆·期中）已知一次函数．当时，函数y有最大值，则a的值为 ． 【答案】9.5 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得当时，函数取得最大值，进一步求解即可． 【详解】， 随着增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，， 即， 解得， 故答案为：9.5 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知关于的一次函数为：． (1)若函数随增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据一次函数的性质列不等式求解即可； （2）根据题意可得y随x增大而减小，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数为，y随x增大而增大， ∴，解得：． （2）解：∵， ∴ ∴y随x增大而减小， ∴， 解得：． 即m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数增减性和系数的关系是解答本题的关键． 【易错必刷十四 比较一次函数值的大小】（共3小题） 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）已知，，是直线（为常数）上的三个点，则，，的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的增减性分析判断即可． 【详解】解：对于直线， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）已知点都在直线（a为实数）上，则的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数中，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小．先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可． 【详解】解：直线，， 随的增大而增大， 又， ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数． (1)在图中画出该函数的图象； (2)若和是一次函数图象上的两点，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据解析式得出时，，时，，列表、描点，画出直线即可； （2）根据一次函数的性质，得出随的增大而增大即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， 列表如下： 描点，该函数的图象如下： （2）∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 【易错必刷十五 一次函数的规律探究问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，在轴的正半轴上取点，使得，过点作轴的垂线，交直线于点，依次这样作图，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到规律，再利用规律求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点的横坐标为1， ∵，，在直线的图象上， ∴纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴的纵坐标为的纵坐标为， ……， ∴点的纵坐标为． 故选：A． 2．（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）如图，在坐标轴上取点，作轴的垂线与直线交于点，作等腰直角三角形；又过点作轴的垂线交直线于点，作等腰直角三角形如此继续，则点的坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了坐标的探索规律题．根据点的坐标和直线解析式即可求出点的坐标，再根据等腰直角三角形的定义可得，并求出点的坐标，同理即可求出点，的坐标，找出规律即可归纳出点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：过点作轴的垂线与直线交于点， 将代入，解得， 点的坐标为， ， △是等腰直角三角形， ，点的坐标为，，，， 同理可得，点的坐标为，，，， ，点的坐标为，，，， 点的坐标为，， 的坐标为，． 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某中学数学兴趣小组对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当时，探究函数的性质． 当时，函数化简为________；当时，函数化简为________； 请你画出的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：_________；    (2)当时，探究函数的性质．你认为函数 与函数的图象有何关系，请把你的猜想写下来：_______； (3)已知函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点的坐标是，则求的大小． 【答案】(1)， ；图象关于轴对称或，随的增大而减小或时， 随的增大而减小或有最小值（答案不唯一） (2)函数的图象是由向右平移个单位； (3)． 【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； 将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接，图象比较即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案． 【详解】（1）当时，；当时，； 列表： 描点： 连线， 如图：    根据图象可知：图象关于轴对称或，随的增大而减小或时， 随的增大而减小或有最小值（答案不唯一）， 故答案为：图象关于轴对称或，随的增大而减小或时， 随的增大而减小或有最小值（答案不唯一）； （2）同上画出函数图象，如图，    函数的图象是由向右平移个单位， 故答案为：函数的图象是由向右平移个单位； （3）当时，，∴点， 当时，，解得：或，    ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数图象上点的特征，掌握绝对值的意义及数形结合思想是解题的关键． 【易错必刷十六 已知直线与坐标轴交点求方程的解】（共3小题） 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故选：C． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，勾股定理，先根据勾股定理求出，根据直线与x轴的交点的横坐标，即为关于x的方程的解，然后数形结合求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴方程的解是一次函数与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，一次函数的图象交轴于点，交y轴于点，点在线段上（不与点重合），过点分别作和的垂线，垂足为，设点的坐标为． (1)请用含的代数式表示的长：___________，___________，___________． (2)若的长为时，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意得出的横坐标为，根据点在一次函数上，求得的纵坐标，进而求得，根据一次函数与坐标轴的交点求得点的坐标，进而求得的长； （2）勾股定理结合题意求得的值，进而求得点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，轴，轴， ∴的横坐标为， ∵点在一次函数上， ∴， ∴ 由，令，得， ∴ ∴； 故答案为：，，； （2）解：∵，轴， ∴中，， 又∵的长为， ∴，则，， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，数形结合是解题的关键． 【易错必刷十七 一次函数的应用之方案分配问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ 【答案】(1)，， (2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、根据已知列出函数关系式、掌握并能运用一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题目中的数量关系列代数式即可； （2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台． 故答案为：，，． （2）解：设运输费为y百元，依题意得： ， ∵， ∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小， ∵；； ∴． ∴当时，，即y有最小值910． ∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为91000元． 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）暑假期间，小刚一家准备乘坐高铁前往青岛旅游，计划第二天到甲、乙两个租车公司租用新能源汽车去中山公园看樱花．甲公司：按日收取固定租金元，另外再按租车时间计费；乙公司：无固定租金，直接以租车时间计费，每小时的租金是元．设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，其关系如图所示．    根据以上信息，解决下列问题： (1)请直接写出，关于的表达式 ； (2)当租车时间为多少小时时，两个公司所需费用相同； (3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明直接写出选择怎样的出游方案更合理． 【答案】(1)； (2)租车时间为小时，两个公司所需费用相同 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的运用，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，即可． （1）设，，把，代入即可，把代入，即可； （2）当，求出，即可； （3）分类讨论：当，解出；当，解出；，解出，进行讨论，即可． 【详解】（1）解：设，， ∴把，代入， ∴， 解得：， ∴； 把代入， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：由函数图象可知，当时，两个公司所需费用相同， ∴， 解得：； 当租车时间为小时，两个公司所需费用相同． （3）解：当， ∴当租车时间为小时，两个公司所需费用相同； 当，， ∴当租车时间为小时，甲公司所需费用较高，选择乙公司比较划算； 当，， ∴当租车时间为小时，乙公司所需费用较高，选择甲公司比较划算． 3．（23-24八年级下·北京怀柔·期末）某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【答案】(1)，； (2)当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可； （2）根据x不同的取值范围，分别求出当、、时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：，， ∴， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【易错必刷十八 一次函数的应用之最大利润问题】（共3小题） 1．（23-24八年级下·广西河池·期末）某蔬菜批发市场规定，批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克．李叔叔携带现金1500元到这市场采购胡萝卜，并以批发价买进．设购买的胡萝卜为x千克，李叔叔付款后还剩余现金y元． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)求（1）中函数的最大值． 【答案】(1)， (2)1300 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一次函数的性质； （1）根据剩余的现金等于总现金减去购买费用可得函数解析式，再根据批发胡萝卜不少于50千克时，批发价为4元/千克，以及最大现金数的购买量可得自变量的取值范围； （2）根据一次函数的增减性可得答案 【详解】（1）解：由题意可得，y与x的函数解析式为：， 其中，x的取值范围是：； （2）解：由（1）可知， ∴随x的增大而减小， 当x取最小值时，y有最大值，即时，y值最大， 即， 答：函数的最大值为1300. 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）为加强劳动教育，落实五育并举，某校准备在校内建立劳动实践基地，现计划购进甲、乙两种规格的果蔬栽培架共100个，已知甲种栽培架的单价为35元，乙种栽培架的单价为45元． (1)设购买这批栽培架所需费用为元，甲种栽培架购买个，求与之间的函数关系式． (2)若购进乙种栽培架的数量不少于甲种栽培架的，请你说明学校应如何安排购买才能使购买费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1) (2)购买甲60个，乙40个，最少费用为3900元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据所需费用等于两种栽培架的总价的和，列出函数解析式，即可求解； （2）根据题意，先求出a的取值范围，再结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：根据题意得：， 解得：， 由（1）得：随的增大而减小， 当时，最小，最小值为（元） ∴方案为：购买甲60个，乙40个，最少费用为3900元． 3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下： 饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 200 乙 300 已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同． (1)求的值； (2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件． ①求销售完这两种饰品的最大利润； ②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低元，甲种饰品的售价不变，为保证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求的最大值． 【答案】(1)a的值为100 (2)①销售完这两种饰品的最大利润为41000元；②m的最大值为40 【分析】（1）由题意：用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论； ②设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴a的值为100； （2）解：①设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元， 由题意得：， 其中， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值y， 答：销售完这两种饰品的最大利润为41000元； ②设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元， 由题意得：， ∵， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y的最小值， 解得：， ∴m的最大值为40． 【易错必刷十九 一次函数的应用之行程问题】（共3小题） 1．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）如图，甲、乙两地相距，现有一辆货车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（时）表示货车行驶的时间，表示货车与甲地的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当货车行驶2.5小时的时候，货车离甲地的距离是多少？ 【答案】(1)，y是x的一次函数 (2)货车离甲地的距离是 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键理解题意； （1）根据路程=速度×时间可进行求解函数关系式，然后根据函数关系式可判断是否是一次函数； （2）根据（1）中函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 与之间的关系式是， ∴y是x的一次函数； （2）解：由（1）得：把代入，则有： ； 答：货车离甲地的距离是． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图表示甲乙两船沿相同路线从A港出发到B港行驶过程中路程随时间变化的图象，根据图象解答下列问题： (1)甲船出发 小时后乙船才出发；乙船的平均速度为 千米/小时． (2)请分别求出表示甲船和乙船行驶过程的函数解析式． (3)问乙船出发多长时间赶上甲船？ 【答案】(1)2， (2)甲船行驶过程的函数解析式为，乙船行驶过程的解析式为 (3)乙船出发小时赶上甲船． 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据可以计算出甲船和乙船的速度； （2）待定系数法求解析式即可求解； （3）设乙船出发小时赶上甲船，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由图象知，甲船出发2小时后乙船才出发； 甲船的速度为：千米/小时，乙船的速度为：千米/小时， 故答案为：2，； （2）解：设表示甲船行驶过程的解析式为， 将点代入得，， ∴甲船行驶过程的函数解析式为：， 设表示乙船行驶过程的解析式为：，将代入得， ， 解得： ∴乙船行驶过程的解析式为：； （3）解：设乙船出发小时赶上甲船， ， 得， 答：乙船出发小时赶上甲船． 3．（2023·吉林松原·模拟预测）有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【答案】(1)； (2)； (3)当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出、两点之间的距离； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）把代入（2）中解析式即可. 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 【详解】（1）解：由图象可得，、两点之间的距离是米， 故答案为：； （2）解：设线段所在直线的函数表达式为， ，， ， 解得， 线段所在直线的函数表达式为； （3）解：当时，， 当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【易错必刷二十 一次函数的应用之几何问题】（共3小题） 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）如图， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点 B． (1)求 A， B两点的坐标； (2)求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形， （1）令，，即可求出答案； （2）先求出，可求出答案． 【详解】（1）当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）由（1）可知， ∴． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点的坐标分别代入到，即可求得的取值范围； （2）将点的坐标分别代入到，即可求得的取值范围； 【详解】（1）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则． 直线与线段有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． （2）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 直线与有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键． （1）解析式联立，解方程组即可求得； （2）根据题意求得的长，从而求得的坐标； （3）根据题意得到，求得的值，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由， 解得， ∴点的坐标为； （2）∵直线与坐标轴分别交于两点， ∵点在轴上，且， ∴的坐标为或； （3）∵点在直线上，点横坐标为，且， ， ∴点的坐标为． 【易错必刷二十一 一次函数的应用之动点问题】（共3小题） 1．（23-24八年级上·陕西铜川·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为4．    (1)求，，三点的坐标； (2)若动点在线段和射线上运动，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】（1）先求出点A的坐标为，再利用待定系数法求出一次函数的解析式为，即可求出点B、C的坐标； （2）先求出，然后分两种情况讨论：当点M在线段上运动时，当点M在射线上运动时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ， ∴点A的坐标为， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴点； （2）解：由（1）得：， ∴， 当点M在线段上运动时，设点M的坐标为， ∵， ∴，即， 解得： ， ∴点M的坐标为； 当点M在射线上运动时，设点M的坐标为， ∵， ∴，即， 解得： ， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，长方形中，，，动点Q沿着的方向运动至点B停止，设点Q运动的路程为x，的面积为y． (1)当点Q在上运动时，请写出y与x的关系式______； (2)当时，______； (3)当点Q在上运动时，请写出y与x的关系式______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4)1或16 【分析】本题考查了动点在矩形上运动所形成的三角形面积的问题，需要利用面积公式表示出相关位置的函数关系式，并求特定取值的函数值． （1）用的长乘以x，再除以2即可． （2）将代入（1）中解析式，计算即可． （3）用含x的式子表示出的长，再用的长乘以的长并除以2，计算即可． （4）当时，Q点可能位于段或者段上，分别代入（1）和（3）中函数解析式，求得x值即可． 【详解】（1）． （2）当时，． （3）当点Q在上运动时， ． （4）当时，或， 或． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，点为直角边边上一动点，现从点出发，沿着的方向运动至点A处停止，设点运动的路程为的面积为．（点不与点重合） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当的面积等于面积一半时，求出点运动的路程的值． 【答案】(1) (2)或5 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，找到函数关系式是解题的关键． （1）分当时，当时，两种情况讨论求解即可； （2）根据（1）所求函数代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，点在上运动， ， ， ； 当时，点在上运动， ， ， ； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， 当时，则有； 当时，则有，解得：； 综上所述：当的面积等于面积一半时，则或5． 【易错必刷二十二 一次函数的应用综合】（共3小题） 1．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 温度 0 5 10 15 20 25 声音在空气中的传播速度V/(m/s) 331 334 337 340 343 346 (1)在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量； (2)从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ． (3)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为． (4)某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远? 【答案】(1)温度，声音在空气中的传播速度 (2)0.6 (3) (4)小乐与燃放烟花所在地大约相距 【分析】本题考查函数的表示方法，常量与变量及一次函数的应用，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案； （3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式； （4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； （2）由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高， 故答案为：0.6； （3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 故答案为：； （4）当时，， ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】（1）①图见解析，②一次函数，；（2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键． （1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数； ②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解． 【详解】解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图， ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数， 设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数表达式为：， 故答案为：一次函数，； （2）当时，， ∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米； 当时，则， 解得：， ∴供水时间为15小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午8：00， ， ∴当箭尺读数为厘米时是点钟． 2．（24-25八年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数，例如，在弹性限度内，弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加，当弹簧所受的外力过大时，会损坏它的弹性，使得弹簧被拉到最长且无法复原．某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究．    方案设计：“智慧小组”在探究弹簧测力器的“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时，多次改变砝码的质量x（单位：），测量得到弹簧的长度y（单位：），且通过实验记录得到的数据如表所示： 砝码的质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧的长度 2 3 4 5 6 7 如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象．    问题解决： (1)材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是________． (2)在弹性限度内，求弹簧的长度y与所挂砝码的质量x之间的关系式；当砝码的质量为时，求弹簧的长度． (3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过________． (4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象． 【答案】(1)砝码的质量 (2)，，， (3) (4)画图见解析 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）根据函数的定义可得自变量为砝码的质量； （2）根据表格信息，图象信息，判断函数的类型，再利用待定系数法求解函数解析式即可，再计算当时的函数值即可； （3）根据表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）根据表格信息，描点画图即可． 【详解】（1）解：材料中的数据表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是砝码的质量， （2）解：由题意可得：当时，设， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时，设函数为， ∴， 解得：， ∴函数关系式为：， 当时， ； 当时，， ∴当砝码的质量为时，弹簧的长度为． （3）解：由表格信息可得：在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过． （4）解：画图如下：    学科网（北京）股份有限公司 $$