精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高二上学期11月联考数学试题

高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一､二章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在正方体中，下列向量与平行的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 一条直线的方向向量是唯一的 B. 若直线的方向向量与平面的法向量平行，则 C. 若平面的法向量与平面的法向量平行，则 D. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 5. 直线在轴､轴上的截距之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 10 6. 在正四面体中，为棱的中点，，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 7. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 不存在实数，使得 D. 与直线之间的距离为 10. 已知几何体为长方体，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. 在方向上的投影向量为 C. 在方向上的投影向量为 D. 在方向上的投影向量为 11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆与圆外切，则或 B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 C. 若圆与圆关于点对称，则 D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知直线经过定点，则点的坐标为__________. 13. 曲线的长度为__________，若直线与曲线有公共点，则的取值范围是__________. 14. 如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积__________，直线与平面所成角的正弦值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 已知直线，圆. （1）若，判断直线与圆的位置关系； （2）若，直线与圆交于两点，求. 17. 在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 18. 如图，平面分别为线段的中点，为线段上的点，且直线与平面所成角的正弦值为. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 已知圆，点在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称. （1）圆C在点Q处的切线的斜率为，直线QD，QG的斜率分别为，，证明：为定值. （2）过点Q作轴，垂足为E，，点D满足. ①直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点，，求r； ②证明：直线QG与圆C相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一､二章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在正方体中，下列向量与平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据正方体的性质可解. 【详解】如图，在正方体中，. 故选：A. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程可得斜率，再由斜率的定义计算倾斜角即可. 【详解】由得， 所以直线的斜率，即， 又，所以倾斜角. 故选：C. 3. 已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量夹角的公式计算即可； 【详解】由题意可得 所以. 故选：A. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 一条直线的方向向量是唯一的 B. 若直线的方向向量与平面的法向量平行，则 C. 若平面的法向量与平面的法向量平行，则 D. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 【答案】B 【解析】 【分析】平面法向量的概念及辨析、利用法向量判断线面、面面位置关系即可. 【详解】对于A:一条直线的方向向量不唯一，A错误； 对于B:若直线的方向向量与平面的法向量平行，则，B正确. 对于C:若平面的法向量与平面的法向量平行，则，C错误. 对于D:若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或，D错误. 故选：B. 5. 直线在轴､轴上的截距之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先化为截距式，得到截距，借助基本不等式计算即可. 【详解】可化为， 则直线在轴､轴上的截距之和为， 当且仅当时，等号成立，所以截距之和的最小值为. 故选：A. 6. 在正四面体中，为棱的中点，，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，由向量的加法和向量的数量积计算即可； 【详解】 因为为棱的中点，所以， 所以. 故选：B. 7. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别设出两点坐标，再由中点坐标公式得出两坐标之间的关系，将圆方程等式替换成点的坐标可得结果. 【详解】设，，则，，即，①. 因为点A在圆上运动，所以满足②. 把①代入②，得，即. 故线段OA的中点P的轨迹方程为. 故选：D 8. 已知点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点关于直线的对称点方法求出，再有三点共线求出最小值即可； 【详解】如图，设关于直线对称的点为，则 解得，则， 所以. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 不存在实数，使得 D. 与直线之间的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB：根据垂直列式求解即可；对于C：根据平行列式求解，并代入检验；对于D：根据平行线间距离公式运算求解即可. 【详解】对于选项AB：若，则，即，故A错误，B正确； 对于选项C：若，则，即， 此时，即与重合，故C正确； 对于选项D：与直线之间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知几何体为长方体，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. 在方向上的投影向量为 C. 在方向上的投影向量为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可. 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆与圆外切，则或 B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 C. 若圆与圆关于点对称，则 D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据两圆外切得圆心距等于半径之和，即可列式求解； 对于B，两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程； 对于C，由两圆关于点对称得两圆心关于点对称，根据中点坐标公式，即可求解； 对于D，根据过两圆交点的圆系方程即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确． 当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确． 若圆与圆关于点对称，则解得，C错误． 当时，圆：，圆：， 则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确． 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知直线经过定点，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】提出参数，消去参数即可. 【详解】由，得，令,得到,, 则点的坐标为. 故答案为：. 13. 曲线的长度为__________，若直线与曲线有公共点，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】将曲线方程进行等价转化，其为半圆，求半圆周长即可；数形结合求得直线与曲线有公共点的临界态对应的参数值，即可求得的范围. 【详解】由，得，则曲线表示圆的上半部分，半径为， 故曲线的长度为； 根据题意，作图如下： 因为圆的圆心到直线的距离，所以， 数形结合可知，当直线经过点时，， 故当时，直线与曲线有公共点. 故答案为：；. 14. 如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积__________，直线与平面所成角的正弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）运用台体体积公式计算即可； （2）借助空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）运用台体体积公式计算，. （2）建立如图空间直角坐标系，则，， 所以. 设平面的法向量为，则取， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程； （2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果. 【小问1详解】 由，可知， 故所求直线的方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 则所求直线的斜率为3， 故所求直线的方程为， 即. 16. 已知直线，圆. （1）若，判断直线与圆的位置关系； （2）若，直线与圆交于两点，求. 【答案】（1）相离 （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离与半径比较即可； （2）先求圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长即可； 【小问1详解】 圆的标准方程为， 圆心为，半径. 设圆心到直线的距离为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 由（1）知圆心到直线的距离， 所以. 17. 在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接，， 因为，所以. 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，进而.因为，所以. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 因为，所以，则，， 又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由题意可得，可证，，建立空间直角坐标系，利用向量法可证平面. （2）求得平面平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. 易得平面的一个法向量为. 设二面角的大小为，则， 由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18. 如图，平面分别为线段的中点，为线段上的点，且直线与平面所成角的正弦值为. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由线面位置关系的向量表示即可求证； （2）由点到面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，所以.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示. ， ， . 设平面的法向量为， 则令，得，得. 因为，所以，故平面. 【小问2详解】 连接.因为，都在平面内， 所以平面，又在平面内，则， 又，所以. 因为是的中点，所以，都在平面内， 所以平面，则为平面的一个法向量. 设，则. 根据题意可得 解得或（舍去）， 则.因为平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 已知圆，点在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称. （1）圆C在点Q处的切线的斜率为，直线QD，QG的斜率分别为，，证明：为定值. （2）过点Q作轴，垂足为E，，点D满足. ①直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点，，求r； ②证明：直线QG与圆C相切. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用两点式斜率公式表示出，即可证明. （2）①利用三角形中位线性质求得，然后利用直角三角形性质求得半径r； ②先求得点，然后求出直线QG的方程，利用原点O到直线QG的距离等于半径证明即可. 【小问1详解】 设，.，. 记坐标原点为O，直线OQ的斜率为，. . 综上，为定值，定值为. 【小问2详解】 ①在中，AD为斜边，OF为斜边上的中线，所以. 又因为，所以，. 因为，所以，解得. ②因为点在圆C上，所以. 直线AE的斜率为，直线AD的斜率为， 直线AD的方程为. 令，得，则，. 直线QG的方程为，即， 原点O到直线QG的距离 ， 所以直线QG与圆C相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $