专题03 椭圆的标准方程及其性质（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题03 椭圆的标准方程及其性质 题型一 椭圆的定义 1、（2023上·庆阳市·高二期末）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 2、（2023上·白银市·高二期末）已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由可得，所以， 设椭圆两个焦点分别为，，， 由椭圆的定义可知，即，所以， 所以到另一焦点的距离为， 故选：D. 3、（2023上·酒泉市·高二期末）班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解. 【详解】由椭圆定义可得， 由光学性质可知，为的角平分线， 所以. 故选：C 题型二 椭圆的标准方程 4、（2023上·酒泉市·高二期末）椭圆 的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 分析】直接利用计算焦距即可. 【详解】椭圆， ， ，故，焦距为. 故选：C 5、（2023上·兰州市·高二期末）焦点在轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得到椭圆焦点的位置，然后根据题中的数据求出后可得所求的标准方程． 【详解】由题意知椭圆的标准方程为， 且，所以， 所以， 又， 所以可得， 因此椭圆的标准方程为． 故选：C. 6、（2023上·白银市·高二期末）写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】不妨设椭圆的焦点在轴上，标准方程为，进而根据题意得，再令即可得到一个满足条件的椭圆方程. 【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，椭圆的标准方程为 因为长轴长等于离心率8倍，故，即 不妨令，则， 所以满足条件的一个椭圆方程为. 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题解题的关键在于再求解之前，需要考虑椭圆焦点所在轴，进而设出椭圆的标准方程，根据题意求解. 7、（2023上·酒泉市·高二期末）已知椭圆经过点，离心率为，焦点在轴上，求椭圆的标准方程。 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆过的点可确定a的值，根据离心率求出c，可求得的值，即可得答案. 【详解】由于椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为， 已知椭圆经过点，可得， 由离心率为，可得，可得，所以， 故椭圆的标准方程为 题型三 椭圆的顶点坐标 8、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由方程得出的坐标，再由距离公式求解即可 【详解】因为椭圆的左顶点为A，上顶点为B， 所以，， 所以． 故选：D 9、（2023上·酒泉市·高二期末）关于椭圆有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为3；丙：离心率为；丁：椭圆上的点到焦点的距离最大值为3.若只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】分情况判断当个命题为真时，其他命题的情况. 【详解】当命题甲乙为为真命题时，，，则，离心率为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为，不成立； 当命题甲丙为真命题时，，，故，，短轴长为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为，成立，故甲，丙，丁为真命题，乙为假命题； 当命题乙丙为真命题时，，，故，，，椭圆的长轴长为，椭圆上的点到焦点的距离最大值为； 当命题乙丁为真命题时，，，不存在； 故选:B. 题型四 椭圆的离心率 10、（2023上·庆阳市·高二期末）若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 记椭圆的焦距为，根据题中条件，得到，进而可求出离心率. 【详解】记椭圆的焦距为， 因为椭圆的短轴长是焦距的2倍， 所以，即，所以，即，即，所以， 因此椭圆的离心率为. 故选：B. 11、（2023上·兰州市·高二期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理计算即可. 【详解】设，则由条件及椭圆的定义可知：， 在中，根据余弦定理可知， 解之得或（舍去）， 则， 即 ， 解之得. 12、（2023上·陇南市·高二期末）在平面直角坐标系中,已知椭圆=与不过坐标原点的直线=相交于两点,线段的中点为,若的斜率之积为,则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【详解】设,联立直线与椭圆方程,消去y可得=,则=所以=,由题意可得==,又a2=b2+c2,所以椭圆的离心率为. 故答案为 点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力. 故答案为： 【点睛】思路点睛：椭圆中焦点三角形问题，可以联系到使用椭圆定义，大胆设元表示线段.结合焦半径之间具有确定的比例关系，可以两次使用余弦定理构造齐次式确定关系. 13、（2023上·兰州市·高二期末）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得，从而求得，进而结合正切的定义即可求解． 【详解】由题意可知，， 设，可得直线的斜率分别为，， 因为点在双曲线上，则，整理得，所以， 设点，可得直线，的斜率，， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即， 则，所以直线与关于轴对称， 又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴， 又，则， 所以， 整理得，即，解得，或（舍去）， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 14、（2023上·兰州市·高二期末）如图，已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足，，为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由，得到，再根据，得到，再由，得到，再解不等式，即可求出结果. 【详解】设，，又，， 所以，，又，得到， 即，得到，，所以， 因为，， 又，所以，整理得， 由，消得， 解得或，又，所以舍去， 所以，即， 整理得，解得，又， 所以， 故答案为：. 题型五 焦点三角形的面积 15、（2023上·陇南市·高二期末）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得. 【详解】由椭圆的方程可得，，，则， 所以 ， 当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大， 此时，. 故选：C. 16、（2023上·兰州市·高二期末）如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，从而求得的面积. 【详解】由已知，得， 则，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 由，得， 所以，化简解得， 所以的面积为. 故答案为：. 题型六 直线与椭圆的位置关系 ①直线与椭圆相交的定点定值问题 17、（2023上·庆阳市·高二期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，且，的面积为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，若直线，的倾斜角互补，求证：直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出，利用的面积为，点在椭圆上列方程组，解出a、b，写出椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，用“设而不求法”把直线，的倾斜角互补，表示为，求出k、m的关系，利用点斜式方程求出定点坐标. 【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，令，代入椭圆的方程可求． ∵，∴ 由的面积为，可得，有． 将点的坐标代入椭圆的方程，可得，解得． 联立方程组解得：，，， 故椭圆的标准方程为． （2）证明：设直线的方程为，点，的坐标分别为，， 联立方程，消去后整理为． 有， 有， 同理：， 所以 又， 由直线、的倾斜角互补，有， 有，通分整理后可得， 可得直线的方程为，即，可知直线过定点． 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. （3）证明直线过定点，通常有两类： ①把直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)； ②把直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) ． 18、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆的离心率为是上一点. （1）求椭圆的方程. （2）是的右顶点，过点的直线与相交于两点(异于点)，直线的斜率分别，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，且定值为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简计算出为定值. 【小问1详解】 由题可知，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 是定值.理由如下: 依题意可知，直线的斜率存在且不为， 则可设方程为. 联立方程组， 整理得， 则， . 因为，所以： . 故是定值，且该定值为. 【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及椭圆所过点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程. 19、（2023上·庆阳市·高二期末）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若．证明：为定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解方程组可得椭圆的方程； （2）先根据相切求出直线的斜率，结合可得，再逐个求解，，然后可证结论. 【小问1详解】 解：由题意，解得 故椭圆C的方程为. 【小问2详解】 证明：设直线的方程为，联立 得， 因为直线与椭圆C相切，所以判别式， 即，整理得， 所以，故直线的方程为， 因为，所以， 设直线的方程为， 联立方程组解得． 故点Q坐标为，． 联立方程组，化简得． 设点． 因为判别式，得． 又， 所以． 故 ， 于是为定值. 【点睛】直线与椭圆的相切问题一般是联立方程，结合判别式为零求解；定值问题的求解一般结合目标式中的项，逐个求解，代入验证即可. ②直线与椭圆相交求弦长 20、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（ ） A. B. C D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性可得出合适的选项. 【详解】由于椭圆关于原点、轴、轴对称. 对于A选项，直线与直线关于原点对称，则直线截椭圆所得弦长为，A选项合乎要求； 对于B选项，直线与直线平行，直线截椭圆所得弦长大于，B选项不合乎要求； 对于C选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，C选项合乎要求； 对于D选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，D选项合乎要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查直线截椭圆的弦长问题，考查椭圆对称性的应用，属于基础题. 21、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆的焦点是，，且，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，进而得到，求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据根的判别式得到，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式表达出弦长，得到方程，检验后求出答案 【小问1详解】 由题意得：，，解得， 故， 故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 联立与得，， ，解得， 设，则， 故 ， 又， 所以，解得，满足， 故实数的值为 22、（2023上·白银市·高二期末）已知椭圆的离心率为， （1）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程； （2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于、两点， ①当时，求的值； ②对于椭圆上任一点，若，求实数、满足的关系式. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由条件列式解得、、后求解， （2）①依题意可得椭圆方程为，直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出；②由向量的坐标运算得坐标后代入椭圆方程求解. 【小问1详解】 由题意得，，而， 解得、、，故椭圆方程为， 【小问2详解】 ①因为，，，故， 所以，， 故椭圆的方程可化为， 易知右焦点为，据题意有， 由，消去整理得， 设，，显然，所以，， 所以，. ②显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理， 对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，，使得等成立． 设，，，， 所以， 又，在椭圆上，故有，， 点在椭圆上，所以， 所以， 即， 即， 所以． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. ③直线与椭圆相交求斜率 23、（2023上·庆阳市·高二期末）设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据，设出，，，从而得到椭圆，直线：，联立椭圆和直线得到，，再求直线BC的斜率即可. 【详解】由题知：，，， ，设，则，， 则椭圆，直线：. 所以，解得，， 则. 因为，所以. 故选：C 24、（2023上·庆阳市·高二期末）已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点； 【解析】 【分析】（1）根据题意确定的值，即可求得椭圆方程； （2）设 ，直线 的方程为，联立方程可得根与系数的关系式，假设x轴上存在定点P，使平分，则可得 ，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论. 【小问1详解】 因为椭圆的长轴长为6，故， 椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点，则， 所以椭圆C的方程是 ； 【小问2详解】 设 ，直线的方程为， 将直线的方程与椭圆C的方程联立， 消去x得，因为M点在椭圆内，则必有， 所以，， 假设x轴上存在定点P，使平分，则直线的倾斜角互补， 所以 ， 设 ，则有 ， 将代入上式，整理得 ， 所以， 将 ，代入上式，整理得 ， 由于上式对任意实数m都成立，所以 ， 综上，存在定点 ，使平分 ． 题型七 椭圆的轨迹问题 25、（2023上·陇南市·高二期末）已知A、B是椭圆上两点，且．（O为坐标原点） （1）求证：为定值，并求△AOB面积的最大值与最小值； （2）过O作OH⊥AB于H，求点H的轨迹方程． 【答案】（1）证明见解析，△AOB面积最大值为1，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，先设出点的坐标，再结合为椭圆上的点，结合三角函数的性质，即可求解； （2）根据已知条件，结合等面积法，以及（1）中的结论，即可求解. 【小问1详解】 因为是椭圆上两点，且， 可设，即，其中， 则， 即，所以， 由面积为， 因为， 当时，取得最大值1，当时，取得最小值， 所以面积的最大值为1，最小值为. 【小问2详解】 因为，可得，又由， 所以，所以， 所以，所以点H的轨迹方程为． 题型八 椭圆中的最值问题 26、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆的焦点在轴上，且长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，直线与椭圆交于两点，求△面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件以及之间的关系即可求出椭圆的方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理以及三角形面积公式用表示出△的面积，利用换元法求出最值即可. 【小问1详解】 由题意可知，； 由可知，则， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 将联立得， 其中， ，， 设△的面积为，点到直线的距离， ， 所以， 令，则，则 其中函数在区间上单调递增，最小值为， 所以， 即△面积的最大值为. 【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设出直线方程以及交点坐标； （2）联立直线与圆锥曲线的方程得到关于（或）的一元二次方程，并计算出的值； （3）列出韦达定理； （4）将所求的问题或题中的关系转化为、（或或）的形式； （5）代入韦达定理求解. 27、（2023上·兰州市·高二期末）在平面直角坐标系中，圆与圆内切，且与圆外切，记动圆M的圆心的轨迹记为曲线C．直线与曲线C相交于P，Q两点． （1）求曲线C的方程； （2）若是一个与m无关的定值，求此时k的值及△OPQ的面积的最大值． 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据圆内切和外切的位置关系，以及椭圆的定义即可得解. （2）联立直线和椭圆的方程组，利用根与系数的关系表示出，写出关于k的表达式，再由弦长公式和点到直线的距离，表示出面积公式，由基本不等式得面积的最大值. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为， 由题意知，圆的标准方程为 ，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 因为圆与圆内切，所以， 圆与圆外切，所以， 则， 所以动圆M的圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，，，， 即曲线C的方程为. 【小问2详解】 设点，， 直线与曲线C的方程联立， 消去得， ，， 由韦达定理：，， ， 因为是一个与m无关的定值，则令， 解得，此时恒成立， 即当，时， 因为 ， 因为原点到直线的距离， 所以, , 当时，即时，面积最大. 题型九 椭圆中的证明问题 28、（2023上·白银市·高二期末）若椭圆：的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，设为坐标原点，点满足，设直线的斜率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆上一点，且点为△的重心，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设，可得，结合有，再由椭圆基本量的关系求参数，进而写出椭圆方程. （2）设直线为，联立椭圆方程应用韦达定理及已知可得，由点在椭圆上求值，由两点距离公式、弦长公式即可证明结论. 【详解】（1）设，，则，又，在椭圆上， ∴，两式作差，整理得：， ∴，又， ∴，，故椭圆的方程为； （2）设直线的方程为， 与椭圆联立并整理得：，， ∴，则， 又恰为△的重心，故坐标为，即 因为在椭圆上，即，解得， ∴， 而，， 故； ∴. 题型十 椭圆的综合问题 29、（2023上·白银市·高二期末）（多选）设椭圆的左､右焦点分别为，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 离心率 D. 以线段为直径圆与直线相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，可判定A正确，B不正确，C正确，结合直线与圆的位置关系的判定方法，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则，焦点，根据椭圆的定义知，所以A正确； 由椭圆的几何性质，可得的最大值为，所以B错误； 椭圆的离心率定义，可得离心率为，所以C正确； 由原点到直线的距离， 知以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确. 故选：ACD. 30、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（ ） A. B. C. 直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】得出两点的坐标，即可判断A；根据椭圆的定义结合点与椭圆的关系即可判断B；利用点差法即可判断C； 根据椭圆的定义可得，进而可判断D. 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点的坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 31、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（ ） A. 椭圆上的点到的最短距离为 B. 到直线距离的最大值为 C. 的最大值为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的性质即可判断A；结合图象分析点到直线距离即可判断B；利用焦点弦的含义即可判断选项C；设出直线方程，两点坐标，利用向量数量积的坐标表示即可判断选项D. 【详解】由题知，，， 则椭圆上的点到的最短距离为，A错； 到直线距离的最大时，， 且最大距离为，B正确； ， 则的最大时，最小， 最小时，为通径，且， 所以的最大值为，C正确； 由，设直线为， 若不存在，此时轴，， 所以， 若存在时， 联立得， ，， ， ， 对于函数来说， 在时是单调递增的， 所以当时，最小，且为， 当为时，最大， 即时，最小，且为， 不存在时，最大，且为， 所以的取值范围为，正确. 故选：BCD 32、（2023上·白银市·高二期末）已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的直线且分别与椭圆交于两点（异于点），设直线的斜率为，为坐标原点. （1）用表示点的坐标； （2）求证：直线过定点； （3）求的面积的取值范围. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1） 设直线的方程为，联立方程组，结合和是方程的两个根据，求得点坐标，同理可得点的坐标； （2）当，求得的方程点；当，求得直线的方程为，令，得到点，即可得证； （3）求得的面积，令，得到，结合函数的的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆，可得，则， 直线的斜率都存在且不为0，故可设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则和是方程的两个根据，可得， 解得，则，所以点， 同理可得点. 【小问2详解】 证明：当，即时，直线的方程为，经过点. 当，即时，直线的斜率为， 直线的方程为， 令，可得，直线也过点. 综上可知，直线恒过定点. 【小问3详解】 解：由题意，可得的面积， 令，当且仅当时，等号成立， 则，而在上单调递增， 的值域为，所以的面积的取值范围是. 【点睛】方法策略：解答圆锥曲线最值与范围问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围； 3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 椭圆的标准方程及其性质 题型一 椭圆的定义 1、（2023上·庆阳市·高二期末）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 2、（2023上·白银市·高二期末）已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 3、（2023上·酒泉市·高二期末）班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ） A. B. C. D. 题型二 椭圆的标准方程 4、（2023上·酒泉市·高二期末）椭圆 的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5、（2023上·兰州市·高二期末）焦点在轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 6、（2023上·白银市·高二期末）写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为______． 7、（2023上·酒泉市·高二期末）已知椭圆经过点，离心率为，焦点在轴上，求椭圆的标准方程。 题型三 椭圆的顶点坐标 8、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 9、（2023上·酒泉市·高二期末）关于椭圆有下面四个命题：甲：长轴长为4；乙：短轴长为3；丙：离心率为；丁：椭圆上的点到焦点的距离最大值为3.若只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 题型四 椭圆的离心率 10、（2023上·庆阳市·高二期末）若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 11、（2023上·兰州市·高二期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______． 12、（2023上·陇南市·高二期末）在平面直角坐标系中,已知椭圆=与不过坐标原点的直线=相交于两点,线段的中点为,若的斜率之积为,则椭圆的离心率为___________. 13、（2023上·兰州市·高二期末）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 14、（2023上·兰州市·高二期末）如图，已知椭圆的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足，，为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是______. 题型五 焦点三角形的面积 15、（2023上·陇南市·高二期末）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ） A. B. C. D. 16、（2023上·兰州市·高二期末）如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______. 题型六 直线与椭圆的位置关系 ①直线与椭圆相交的定点定值问题 17、（2023上·庆阳市·高二期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上，且，的面积为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，若直线，的倾斜角互补，求证：直线过定点． 18、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆的离心率为是上一点. （1）求椭圆的方程. （2）是的右顶点，过点的直线与相交于两点(异于点)，直线的斜率分别，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由. 19、（2023上·庆阳市·高二期末）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点． （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若．证明：为定值． ②直线与椭圆相交求弦长 20、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（ ） A. B. C D. 21、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆的焦点是，，且，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值. 22、（2023上·白银市·高二期末）已知椭圆的离心率为， （1）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程； （2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于、两点， ①当时，求的值； ②对于椭圆上任一点，若，求实数、满足的关系式. ③直线与椭圆相交求斜率 23、（2023上·庆阳市·高二期末）设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（ ） A. B. C. D. 24、（2023上·庆阳市·高二期末）已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点 ． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 椭圆的轨迹问题 25、（2023上·陇南市·高二期末）已知A、B是椭圆上两点，且．（O为坐标原点） （1）求证：为定值，并求△AOB面积的最大值与最小值； （2）过O作OH⊥AB于H，求点H的轨迹方程． 题型八 椭圆中的最值问题 26、（2023上·兰州市·高二期末）已知椭圆的焦点在轴上，且长轴长为4，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，直线与椭圆交于两点，求△面积的最大值. 27、（2023上·兰州市·高二期末）在平面直角坐标系中，圆与圆内切，且与圆外切，记动圆M的圆心的轨迹记为曲线C．直线与曲线C相交于P，Q两点． （1）求曲线C的方程； （2）若是一个与m无关的定值，求此时k的值及△OPQ的面积的最大值． 题型九 椭圆中的证明问题 28、（2023上·白银市·高二期末）若椭圆：的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，设为坐标原点，点满足，设直线的斜率为，且. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆上一点，且点为△的重心，证明：. 题型十 椭圆的综合问题 29、（2023上·白银市·高二期末）（多选）设椭圆的左､右焦点分别为，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 离心率 D. 以线段为直径圆与直线相切 30、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（ ） A. B. C. 直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D. 的最大值为 31、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（ ） A. 椭圆上的点到的最短距离为 B. 到直线距离的最大值为 C. 的最大值为 D. 的取值范围为 32、（2023上·白银市·高二期末）已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的直线且分别与椭圆交于两点（异于点），设直线的斜率为，为坐标原点. （1）用表示点的坐标； （2）求证：直线过定点； （3）求的面积的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$