专题6.2 三角计算（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（重庆专用）

专题6.1 三角函数 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 6 考点一：两角和差公式与二倍角公式 6 两角和差公式 6 二倍角公式 6 考点二：正弦型函数的图象和性质 7 考点三：解三角形 8 【真题演练】 9 【考纲要求】 1．两角和差公式与二倍角公式 内容：两角和与差的正弦和余弦公式，二倍角公式。 要求：掌握两角和与差的正弦和余弦公式，二倍角公式，并能用以上公式完成简单三角函数式的恒等变形和求值。 2．正弦型函数的图象和性质 内容：正弦型函数的概念与图象；已知三角函数值求角。 要求：会求正弦型函数的最值和周期；能解决与三角函数相关的问题。 3．解三角形 内容：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式。 要求：掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，能用以上知识解决有关问题。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 两角和差公式与 二倍角公式 5 6 6 6 6 正弦型函数的 图象和性质 解三角形 6 6 6 6 6 考向预测 1、和角公式与二倍角公式。 2、正弦型函数的图象和性质。 3、解三角形 【考点导图】 【知识清单】 1．两角和与差的正弦、余弦、正切 和角公式 正弦 余弦 正切 差角公式 正弦 余弦 正切 辅助角公式 其中 ，角所在的象限由点确定 常用结论 (1)记忆以上公式可以借助顺口溜口诀：正弦，正余同余正；余弦，余余反正正． (2)利用和、差角公式变形时，常常利用特殊角转化，如：105°＝60°＋45°，α＝(α＋β)－β等 2．二倍角的正弦、余弦、正切 二倍角公式 正弦 ； 余弦 正切 ； 3．正弦型函数的概念与性质 正弦型函数 振幅(幅值) 频率 初相 定义域 值域 最大值 A 最小值 －A 最小正周期 正弦型函数的图象可以由正弦函数通过平移变换得到 1、会求三角函数的最小正周期与最值． 形如的三角函数，需通过辅助角公式转化为正弦型函数的形式求该三角函数的最值及最小正周期． 辅助角公式：(，角所在的象限由点确定)，， 4. 解三角形 类型 方法 注意事项 解直角三角形 (1)勾股定理： (2)两锐角互余：. (3)边角关系：，. 解斜三角形 (1)正弦定理：. 注意： ①已知两角和一边，求其余边角； ②已知两边和其中一边所对的角，求其余边角． (2)余弦定理及推论： ①； ②； ③. 注意： ①已知两边及夹角求第三边； ②已知三边求角． 三角形的面积公式 (1)． (2)． 【考点分类剖析】 考点一：两角和差公式与二倍角公式 两角和差公式 例1．（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的（    ） A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为 C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．（ ） A． B． C． D． 二倍角公式 例2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．已知点为角终边上的点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．化简，下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．当时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．下列各式中，值不为的是（    ） A． B． C． D． 8．已知角终边上一点，则（    ）． A． B． C． D． 9．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 考点二：正弦型函数的图象和性质 例3．函数的最小值是（    ）． A．1 B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D．向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 2．为了得到函数，的图象，只需将函数，的图象上的所有点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 3．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 4．下列函数最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 考点三：解三角形 例4．在中，若，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式探究】 1．在中，已知，则∠B=（    ） A． B． C． D．或 2．在中，已知内角A，B，C所对的边分别为.若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 4．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【真题演练】 1．（2020年高等职业教育分类考试数学第6题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A． B． C． D． 2.（2021年高等职业教育分类考试数学第7题）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,c=2,cosA=,则sinC=( ) A. B. C. D. 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第8题）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C.5 D. 4.（2023年高等职业教育分类考试数学第9题）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，则（ ） A. B. C. D. 5.（2024年高等职业教育分类考试数学第8题）在中,内角所对的边分别为,若,则（ ） A.-2 B. C. D.2 6．（2024年高等职业教育分类考试数学第9题）设函数,则的最小值为（ ） A. B. C.0 D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.1 三角函数 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 6 考点一：两角和差公式与二倍角公式 6 两角和差公式 6 二倍角公式 7 考点二：正弦型函数的图象和性质 12 考点三：解三角形 14 【真题演练】 17 【考纲要求】 1．两角和差公式与二倍角公式 内容：两角和与差的正弦和余弦公式，二倍角公式。 要求：掌握两角和与差的正弦和余弦公式，二倍角公式，并能用以上公式完成简单三角函数式的恒等变形和求值。 2．正弦型函数的图象和性质 内容：正弦型函数的概念与图象；已知三角函数值求角。 要求：会求正弦型函数的最值和周期；能解决与三角函数相关的问题。 3．解三角形 内容：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式。 要求：掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，能用以上知识解决有关问题。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 两角和差公式与 二倍角公式 5 6 6 6 6 正弦型函数的 图象和性质 解三角形 6 6 6 6 6 考向预测 1、和角公式与二倍角公式。 2、正弦型函数的图象和性质。 3、解三角形 【考点导图】 【知识清单】 1．两角和与差的正弦、余弦、正切 和角公式 正弦 余弦 正切 差角公式 正弦 余弦 正切 辅助角公式 其中 ，角所在的象限由点确定 常用结论 (1)记忆以上公式可以借助顺口溜口诀：正弦，正余同余正；余弦，余余反正正． (2)利用和、差角公式变形时，常常利用特殊角转化，如：105°＝60°＋45°，α＝(α＋β)－β等 2．二倍角的正弦、余弦、正切 二倍角公式 正弦 ； 余弦 正切 ； 3．正弦型函数的概念与性质 正弦型函数 振幅(幅值) 频率 初相 定义域 值域 最大值 A 最小值 －A 最小正周期 正弦型函数的图象可以由正弦函数通过平移变换得到 1、会求三角函数的最小正周期与最值． 形如的三角函数，需通过辅助角公式转化为正弦型函数的形式求该三角函数的最值及最小正周期． 辅助角公式：(，角所在的象限由点确定)，， 4. 解三角形 类型 方法 注意事项 解直角三角形 (1)勾股定理： (2)两锐角互余：. (3)边角关系：，. 解斜三角形 (1)正弦定理：. 注意： ①已知两角和一边，求其余边角； ②已知两边和其中一边所对的角，求其余边角． (2)余弦定理及推论： ①； ②； ③. 注意： ①已知两边及夹角求第三边； ②已知三边求角． 三角形的面积公式 (1)． (2)． 【考点分类剖析】 考点一：两角和差公式与二倍角公式 两角和差公式 例1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦两角和差公式即可得解. 【详解】. 故选：. 【变式探究】 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将角化为两角之和，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】. 故选：C． 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式结合特殊角的三角函数值直接计算即可. 【详解】 ． 故选：A. 3．已知函数，则函数的（    ） A．最小正周期为，最小值为 B．最小正周期为，最小值为 C．最小正周期为，最小值为 D．最小正周期为，最小值为 【答案】B 【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简变形，再结合正弦函数的性质求解. 【详解】函数， 根据正弦函数的性质可知，最小正周期，最小值为. 故选：B. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由利用诱导公式求出，再求出，最后将用正弦两角和公式展开计算即可. 【详解】因为，所以， ， 又因为，所以. 所以. 故选：. 5．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】 故选：A 二倍角公式 例2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把已知等式两边平方，利用同角三角函数的基本关系式及二倍角的正弦公式化简得，再利用平方关系即可求解. 【详解】因为， 所以， 故， 所以. 故选：D 【变式探究】 1．已知点为角终边上的点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据终边上的点结合正弦函数的二倍角公式和诱导公式即可解得. 【详解】由题，为终边上的点，则， 则， 故选：A 2．化简，下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦二倍角化简即可 【详解】 ； 故选：D. 3．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先运用二倍角公式化简，再由周期公式求值即可. 【详解】由函数可得， ， 其中，所以函数的最小正周期为. 故选：B. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知两边平方，利用同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式，化简可求解. 【详解】将两边平方，可得 ， 所以， 即， 解得. 故选：A 5．当时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正、余弦二倍角公式和辅助角公式对进行三角恒等变换，再根据三角函数的图象求的值域即可. 【详解】 因为， 所以，所以， 所以. 即的取值范围为. 故选：C. 6．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】 故选：A 7．下列各式中，值不为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式和余弦公式、两角和的余弦公式、两角和的正切公式即可求解. 【详解】A符合，； B不符合，； C不符合，； D不符合，. 故选：A 8．已知角终边上一点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的定义、二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由角终边上一点得， . 故选：C 9．已知函数，则（   ） A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 【答案】B 【分析】利用余弦二倍角公式化简解析式，然后根据余弦函数性质求最值周期即可. 【详解】根据题意有， 所以函数的最小正周期为， 当时取得最大值， 最大值为， 故选：B. 考点二：正弦型函数的图象和性质 例3．函数的最小值是（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】运用辅助角进行化简得出的值即可得出的最小值. 【详解】由， 可知，所以函数的最小值为. 故选：D. 2．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将函数化为正弦型函数，再由正弦型函数的性质求解单调递增区间即可. 【详解】因为 ， 故由，， 得，， 所以函数的单调递增区间为. 故选：D. 【变式探究】 1．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D．向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的相位变换、周期变换即可求解. 【详解】将函数图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到， 再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，所以选项A正确. 故选：A. 2．为了得到函数，的图象，只需将函数，的图象上的所有点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据三角函数的自变量与函数值的变化关系求解. 【详解】函数的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 即可得到y＝4sin的图象， 故选：A． 3．函数是（    ） A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的奇函数 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图像和性质即可求解判断. 【详解】∵， 函数的定义域为实数集R，关于原点对称， 又=， 所以函数是奇函数， 所以函数的周期为，且为奇函数. 故选：C. 4．下列函数最小正周期为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的周期性即可选出正确答案. 【详解】对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B：的最小正周期，故B正确； 对于C：的最小正周期，故C错误； 对于D：的最小正周期，故D错误； 故选：B. 考点三：解三角形 例4．在中，若，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和，可得，再利用余弦定理及已知条件，可得，据此可判断结果. 【详解】由，可得，解得. 在中，则有， 由代入上式，可得， 整理得，所以. 故是等边三角形. 故选：A 【变式探究】 1．在中，已知，则∠B=（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合三角形的特征即可求解. 【详解】由题意得，，即，解得. 在中，因为，所以，则. 故选：B. 2．在中，已知内角A，B，C所对的边分别为.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数间的关系和正弦定理即可解得. 【详解】由题，，则， 由正弦定理可得，即，解得， 故选：D 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理和同角三角函数之间的关系即可解得. 【详解】由余弦定理得， 又，所以． 故选：D. 4．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求，利用大边对大角小边对小角，判定角为锐角，然后利用同角三角函数基本关系式可求 【详解】，，， 由正弦定理得，即，； 因为，由大边对大角小边对小角可知为锐角； 即； 故选：C. 5．在中，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的内角和定理可得，再根据正弦定理可求解. 【详解】因为在中， ， 所以. 由，可得. 故选：D 6．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】∵在中，，，， 而根据正弦定理可知，， 代入得到，即. 故选：C. 7．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得，，即， 解得. 故选：C. 【真题演练】 1．（2020年高等职业教育分类考试数学第6题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，所以，，所以 故答案为：B 2.（2021年高等职业教育分类考试数学第7题）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,c=2,cosA=,则sinC=( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3,c=2,cosA=所以，，，所以 故答案为：C 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第8题）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C.5 D. 【答案】A 【解析】 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，所以，，所以 故答案为：A 4.（2023年高等职业教育分类考试数学第9题）在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，，所以，，， 故答案为：C 5.（2024年高等职业教育分类考试数学第8题）在中,内角所对的边分别为,若,则（ ） A.-2 B. C. D.2 【答案】C 【解析】 在中，内角、、所对的边分别为、、，由余弦公式得： 化简得：，所以 故答案为：C 6．（2024年高等职业教育分类考试数学第9题）设函数,则的最小值为（ ） A. B. C.0 D. 【答案】B 【解析】对于函数 ， ，，所以 故答案为：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$