专题14.1 幂的乘法和乘方与积的乘方（7大考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题14.1 幂的乘法和乘方与积的乘方 目录 【典型例题】 1 【考点一 同底数幂相乘】 1 【考点二 同底数乘法的逆用】 2 【考点三 幂的乘方运算】 3 【考点四 幂的乘方的逆用】 4 【考点五 积的乘方运算】 5 【考点六 积的乘方的逆用】 6 【考点七 幂的混合运算】 7 【过关检测】 9 【典型例题】 【考点一 同底数幂相乘】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果等于 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法和有理数乘方的意义，解题的关键是掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此解答即可．也考查了符号化简的法则． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律、同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键的是掌握：同底数的幂相等，底数不变，指数相加；乘方符号的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【考点二 同底数乘法的逆用】 例题：（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）若，，则 ． 【答案】15 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算解答即可； 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：15． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的逆用，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 【考点三 幂的乘方运算】 例题：（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若，则 ． 【答案】63 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题考查幂的乘方及其逆运算、代数式求值，将变形为，再将代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：63． 2．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）若，则m的值为 【答案】3 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查幂的乘方 、同底数幂的乘法，先根据幂的乘方算出 ，然后根据同底数幂的乘法得出，即可求出m的值． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【考点四 幂的乘方的逆用】 例题：（24-25八年级上·山西·阶段练习）若m，n满足，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，幂的乘方及其逆运算，先求出，再根据幂的乘方及其逆运算法则得到原式，进一步根据同底数幂乘法计算法则得到原式，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】64 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题考查幂的乘法的逆用，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行化简，再利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：64． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，则 ．（请用含有，的代数式表示） 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，利用同底数幂乘法和幂的乘方的逆运算进行计算即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【考点五 积的乘方运算】 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】/ 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算； 【详解】解： 故答案为： 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试） ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查幂的运算，根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【考点六 积的乘方的逆用】 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【答案】3 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，正确变形再求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方的逆运算．根据积的乘方和幂的乘方的逆运算即可计算求值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【考点七 幂的混合运算】 例题：（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【详解】解：（1）原式． （2）原式 ． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）①若，求的值． ②已知，，求的值． 【答案】①14；②1． 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键． ①根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；②根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解； 【详解】解：① =， 当时，原式=； ② = = =， 当，时，原式=， ∵为偶数， ∴原式=1． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方，注意负数的奇次幂是负数． 根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得到答案． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不可以合并，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，解题的关键是正确掌握各计算法则． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）常见的“幂的运算”有：同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方．在“”的运算过程中，依次运用（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法等知识，分别利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法分别化简求出答案，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： （积的乘方运算） （幂的乘方运算） （同底数幂的乘法） 则依次运用了， 故选：． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】此题主要考查了积的乘方与同底数幂的乘法你运用，直接利用积的乘方与同底数幂的乘法法则将原式变形，即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：A． 5．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）若，则的值为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】A 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据题意可得，再将整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算（结果用幂的形式表示）： ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方．根据积的乘方以及同底数幂的乘法“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如果成立，那么 ， ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】此题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握其性质．先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较即可得出结论． 【详解】解：， ， ，， 解得：，， 故答案为：，． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，则 ． 【答案】6 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，进行计算即可解答．本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：6． 9．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方逆用，先化简再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·山东聊城·期中）若，，则代数式与之间关系是 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握以上知识点．利用幂的乘方和积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，关键是注意指数的变化，不能出错． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行同类项合并，即可得到结果； （2）先进行幂的乘方运算，再合并同类项，即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【知识点】整式的加减运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题关键． （1）先计算积和幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 【答案】（1）40；（2）；（3） 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂乘法与积的乘方及其逆用，熟练掌握同底数幂的乘法与积的乘方及其逆用是解题的关键； （1）由题意易得，然后可代入进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意可知，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴． 15．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【知识点】积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 16．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用幂的乘方法则变形为，结合题意得出，计算即可得解； （3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有和的式子，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴． 17．（22-23八年级上·福建莆田·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 【答案】(1)4， (2)见解析 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据积的乘方法则，结合定义计算． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：4；； （2）解：设，，， 则，，， ， ， ， 即． 18．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ， ， ∵， ∴， 即； （3）解：∵，， 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.1 幂的乘法和乘方与积的乘方 目录 【典型例题】 1 【考点一 同底数幂相乘】 1 【考点二 同底数乘法的逆用】 1 【考点三 幂的乘方运算】 1 【考点四 幂的乘方的逆用】 2 【考点五 积的乘方运算】 2 【考点六 积的乘方的逆用】 2 【考点七 幂的混合运算】 2 【过关检测】 3 【典型例题】 【考点一 同底数幂相乘】 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算的结果等于 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【考点二 同底数乘法的逆用】 例题：（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）若，，则 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）若，则 ． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，，则 ． 【考点三 幂的乘方运算】 例题：（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）若，则 ． 2．（23-24七年级下·宁夏中卫·期末）若，则m的值为 【考点四 幂的乘方的逆用】 例题：（24-25八年级上·山西·阶段练习）若m，n满足，则 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则的值为 ． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，则 ．（请用含有，的代数式表示） 【考点五 积的乘方运算】 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）计算： ． 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试） ． 【考点六 积的乘方的逆用】 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海·期中）计算： ． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，则 ． 【考点七 幂的混合运算】 例题：（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）①若，求的值． ②已知，，求的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）常见的“幂的运算”有：同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方．在“”的运算过程中，依次运用（    ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）若，则的值为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 二、填空题 6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算（结果用幂的形式表示）： ． 7．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如果成立，那么 ， ． 8．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，则 ． 9．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）若，则 ． 10．（22-23七年级下·山东聊城·期中）若，，则代数式与之间关系是 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 13．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）化简求值：，其中，． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 15．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 16．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若（m，n是正整数，且），则． 利用上面的结论，解答下面的问题． (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)已知，，用含p，q的式子表示． 17．（22-23八年级上·福建莆田·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 18．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较和的大小 解：∵，且 ∴，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较、、的大小 (2)比较、、的大小 (3)已知，，比较a、b的大小 学科网（北京）股份有限公司 $$