精品解析：浙江省杭州闻涛中学2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷

2024学年第一学期期中教学质量检测 八年级数学试题卷 （考试时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题） 1. 在一些美术字中，有汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子：①-2≤0；②3x+2y＞0；③b=2；④m≠3；⑤x+y；⑥x+5≤6是不等式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（ ） A. 3，6，9 B. 3，5，9 C. 2，6，3 D. 4，6，9 4. 如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）． A. B. C. D. 5. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（ ） A. B. 8 C. D. 7. 如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是(　　) A B. C. D. 8. 如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ） A. 25 B. 16 C. 50 D. 41 9. 关于不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（ ） ①； ②若，则； ③连结，若，则； ④若平分，则 A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共6小题） 11. 命题“若，则”的逆命题是______． 12. 如图，，，则∠B=___________° 13. 如果，那么______（填“>”或“<”或“=”）． 14. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______°． 15. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为______________． 16. 如图，在△中，，，分别是，上的点，，，且，则_____． 三、解答题（共8小题） 17. 解不等式（组）： （1）； （2）； （3）； （4） 18. 已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，．求证：． 19. 已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点、点都在格点（正方形的顶点）上． （1）的面积等于______个平方单位； （2）画出关于直线的对称图形； （3）在直线上找一点，使的长最短． 20. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 21. 某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？ 22. 在中，．回答下列问题： （1）由勾股定理，易知______； （2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长． 23. （1）如图1，是等边三角形，点D为边上一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作等边，连接，线段与的数量关系是_______，________． （2）如图2，在中，，点D为上一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求解下列问题并说明理由的度数． ①的度数； ②线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，，连接，，若，请直接写出的值． 24. 如图1，在等腰三角形中，，是边上的高线，．点P是线段上的一点，作于点E，连接． （1）求________，________； （2）①当点P在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度． ②如图2，设交直线于点F，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期期中教学质量检测 八年级数学试题卷 （考试时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 下列式子：①-2≤0；②3x+2y＞0；③b=2；④m≠3；⑤x+y；⑥x+5≤6是不等式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：不等式有，，，共4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：， ，，，等． 3. 以下列长度的线段为边，能够组成三角形的是（ ） A. 3，6，9 B. 3，5，9 C. 2，6，3 D. 4，6，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成三角形，符合题意， 故选：D． 4. 如图，已知，欲证，还必须从下列选项中补选一个，则错误的选项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】全等三角形的判定定理有，根据定理逐个判断即可． 【详解】解：A、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； B、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，故本选项符合题意； D、符合定理，即根据即可推出，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有． 5. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：A、满足条件，也满足结论，故A不符合题意； B、不满足条件，故B不符合题意； C、不满足条件，也不满足结论，故C不符合题意； D、满足条件，不满足结论，故D符合题意． 故选：D． 6. 如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此即可求解； 【详解】解：∵．D为中点， ∴， 故选：C 7. 如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图过程可得，AF=AE，DF=DE，又AD=AD，根据“SSS”可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论． 【详解】连接CE、CD， 在△OEC和△ODC中， ， ∴△OEC≌△ODC（SSS）， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL． 8. 如图所示的图案是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中一直角三角形的斜边和一直角边长分别是13，12，则阴影部分的面积是（ ） A. 25 B. 16 C. 50 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理解得、，再根据正方形边长相等的性质得到，据此解题即可． 【详解】解：由勾股定理得， 阴影部分的面积是， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9. 关于的不等式组的整数解仅有5个，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解仅有5个， 不等式组的整数解有、、、、， ， ， 故选：B． 10. 如图，在中，，D，E分别为线段，上一点，且，连接、交于点G，延长交于点F．以下四个结论正确的是（ ） ①； ②若，则； ③连结，若，则； ④若平分，则 A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由“”可证，可得，可证，可得，则点是的中垂线上，由线段垂直平分线的性质可得，故①正确； 由全等三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故②正确； 由等腰三角形性质和三角形内角和定理可得，由，可得，故③正确； 由角平分线的性质可证点是角平分线的交点，可得点到三边距离相等，由面积法可求，故④正确；即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， 点是中垂线上， ， 点在的中垂线上， 垂直平分， ，故①正确； 若，则， ∵， ， ， 又， ，故②正确； 如图，连接， 若，则， ∵， ， ， 又， ， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， ， ，故③正确， 若平分， ， ，， ， 点是角平分线的交点， 点到三边的距离为的长， ，，， ， ， ， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共6小题） 11. 命题“若，则”的逆命题是______． 【答案】若，则 【解析】 【分析】根据逆命题的定义，直接解答即可得到答案； 【详解】解：∵命题是：“若，则”， ∴逆命题是：若，则． 故答案为：若，则． 【点睛】本题考查逆命题的定义，解题的关键是熟练掌握逆命题的定义． 12. 如图，，，则∠B=___________° 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和这一性质即可求解． 【详解】 ，， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，熟悉性质是解题的关键． 13. 如果，那么______（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时乘上或除以一个正数，不等式符号不变，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式的符号不变；若不等式两边同时乘上或除以一个负数，不等式符号改变，据此即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则， 即， 故答案为：． 14. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______°． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和，得出，，根据三角形内角和性质列式作答即可． 【详解】解：如图： 和分别垂直平分和， ，， ，， ，， ， 故答案为：90． 15. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰上的高的夹角为50度，则底角的度数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的高，然后根据三角形的形状分情况讨论，画出图形即可解答． 【详解】解：当是等腰锐角三角形时，如图： 由题意可得，，，， ， ∴，， ， ， ，即底角度数为； 当是等腰钝角三角形时，由于三角形的高是线段，钝角三角形的高不相交，没有交点，不符合题意； 当是等腰直角三角形时，两腰上的高是对应直角边，夹角为，不合题意； 综上所述：底角的度数为； 故答案为：． 16. 如图，在△中，，，分别是，上的点，，，且，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等，全等三角形的判定和性质，解题的关键正确的作出辅助线． 在上取一点，使，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，过点作于点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在上取一点，使， ， ， ， △△， ， 过点作于点， ， ， △就是等腰三角形， ，， ， ， 在△中，由勾股定理可得， 在△中，由勾股定理可得，， ， 故答案为：8． 三、解答题（共8小题） 17. 解不等式（组）： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）先移项，再将x的系数化为1即可； （2）首先去分母，两边同时乘以6，再移项、合并同类项，最后把x的系数化为1即可； （3）同（1）（2）解不等式的方法，求出每个不等式的解集，找出公共部分即可； （4）同（1）（2）解不等式的方法，求出每个不等式的解集，找出公共部分即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， 解得：； 【小问3详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是； 【小问4详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是 18. 已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 19. 已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点、点都在格点（正方形的顶点）上． （1）的面积等于______个平方单位； （2）画出关于直线的对称图形； （3）在直线上找一点，使的长最短． 【答案】（1）3 （2）见解析； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）用长方形面积减去周围三个三角形的面积即可得的面积； （2）分别作出A，B，C三点关于l的对称点D，E，C，即可得到所求三角形； （3）连接BD，交直线l于点P，此时的长最短． 【小问1详解】 ． 故答案为：3； 【小问2详解】 如图，即为所作； 【小问3详解】 如图，连接BD，交直线l于点P，点P即为所作； 【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换及线段最短问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 20. 如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】234 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．连接，勾股定理求得的值，进而根据，求得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴, ∴是直角三角形，且． ∴四边形的面积 ． 21. 某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元 （2）购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个，②购买排球28个，篮球22个，③购买排球27个，篮球23个 【解析】 【分析】（1）设每个气排球的价格是元，每个篮球的价格是元．根据“购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．”列出方程组，即可求解； （2）设购买气排球个，则购买篮球个，根据“总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，”列出不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个气排球的价格是元，每个篮球的价格是元． 根据题意得：， 解得： 所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元． 【小问2详解】 解：设购买气排球个，则购买篮球个． 根据题意得：， 解得， 又∵为正整数， ∴排球的个数可以为27，28，29， ∴购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个， ②购买排球28个，篮球22个， ③购买排球27个，篮球23个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 22. 在中，．回答下列问题： （1）由勾股定理，易知______； （2）如图，用尺规作图的方法作射线n交边于P，求线段的长． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质； （1）由勾股定理可得出答案； （2）由作图可知，平分，过点作于点，则，再利用的面积求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：由作图可知，平分， 过点作于点， ， ∵， ∴， ∴， 解得． 23. （1）如图1，是等边三角形，点D为边上的一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作等边，连接，线段与的数量关系是_______，________． （2）如图2，在中，，点D为上的一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求解下列问题并说明理由的度数． ①的度数； ②线段，，之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若D点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，，连接，，若，请直接写出的值． 【答案】（1），60；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3）68 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识； （1）由等边三角形的性质得，，，，再证，然后证，即可解决问题； （2）①由等腰直角三角形的性质得，，，，再证，即可解决问题； ②由①可知，，，再由勾股定理得，即可得出结论； （3）同（2）得，则，，再证，则，然后由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）∵和是等边三角形， ，，，， ， 即， 和中， ， ∴， ，， 故答案为：，60； （2）①，理由如下： ∵都是等腰直角三角形， ，， ∵，， ，， 即， 在和中， ， ∴， ，， ； ②，理由如下： 由①可知，，， 在中，由勾股定理得：， ； （3）同（2）得：， ，， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即的值为68． 24. 如图1，在等腰三角形中，，是边上的高线，．点P是线段上的一点，作于点E，连接． （1）求________，________； （2）①当点P在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度． ②如图2，设交直线于点F，连接，若，求的长． 【答案】（1）5， （2）①1或；② 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）由可得，由勾股定理可得、； （2）①分两种情况：当时，，根据直角三角形锐角互余得，进而得；当时，证得，进而得； ②连接，推出是等腰三角形，进而得，，再由勾股定理可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又， ∴， ， ， 故答案为：5，； 【小问2详解】 解：①当时，则， ， ， ∵， ， ， 当时，， 在和中， ， ， ， ， 综上，或； ②连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， 又∵ ， ∴， ； 综上，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$