精品解析：河北省保定市定州市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）每小题给出的4个选项中只有一个符号题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内． 1. 下列图形，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查识别中心对称图形．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，7， B. ，7，1 C. 5，， D. 5，，0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵方程化成一般形式是， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、， 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤，进行配方后再进行判断即可． 【详解】解：， 移项，得： 配方，得：， 即：； 故选A． 【点睛】本题考查配方法．熟练掌握配方法的步骤：1化，2移，3配，是解题的关键． 4. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【详解】由于x=2是方程的一个根，故将x=2代入该方程得： 22-2a+2=0， 从而得到一个关于a的一元一次方程：6-2a=0， 解之，得 a=3. 故本题应选A. 5. 将抛物线向右平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解答本题的关键．二次函数的平移法则是“上加下减，左加右减”．根据二次函数的平移法则，即得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为． 故选：C． 6. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 7. 已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的根，则第三边的长为（ ） A. 6 B. 11 C. 6或11 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，经检验即可得到第三边长． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 解得：或， 当时，三边长为4，6，7，符合题意； 当时，三边长为4，7，11，不合题意舍去， 则第三边长为6． 故选A． 【点睛】考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（　　） A. 35° B. 70° C. 110° D. 140° 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形对边互补的性质求出∠A,再根据圆心角对应圆周角的一倍求出∠BOD. 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°， 故选：D． 【点睛】本题考查圆与多边形的综合,关键在于对概念和定义的理解. 9. 如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折变换求出OD=CD=3，OC=6，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D， ∴OD=CD=×9=3，OC=OD+CD=6， ∵OC⊥AB，OC过圆心O， ∴∠ACO=90°，AC=BC，即AB=2AC， 连接OA， 由勾股定理得：AC= =3， 即AC=BC=3， ∴AB=AC+BC=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出AC=BC是解此题的关键． 10. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，根据表中的信息，可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用3月份的收入=1月份的收入×1+月收入的增长率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）把答案直接写在题中的横线上． 13. 一元二次方程的根为________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及提公因式法因式分解解一元二次方程，由题中所给的一元二次方程的结构特征，提公因式因式分解求解即可得到答案，熟练掌握提公因式法因式分解解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即，解得，， 故答案为：，． 14. 已知，如图⊙O的半径OA=5cm，弦CD=5cm，则弦CD所对圆心角为________ ． 【答案】60° 【解析】 【分析】首先连接OC，OD，由⊙O的半径OA=5cm，弦CD=5cm，可得△COD是等边三角形，则可求得∠COD的度数． 【详解】解：连接OC，OD， ∵⊙O的半径OC=OD=OA=5cm，弦CD=5cm， ∴OC=OD=CD， ∴△COD是等边三角形， ∴∠COD=60°， 即弦CD所对圆心角为60°． 故答案为60°． 【点睛】此题考查了圆心角与弦的关系以及等边三角形的判定与性质．注意证得△COD是等边三角形是关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点、，若，则的值为 __． 【答案】2 【解析】 【分析】设，，则，是方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系求出，，然后根据以及完全平方公式的变形得出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，，则，是方程的两个根， ，， 抛物线与轴正半轴交于点、， ，， ， ， ， ， ， ， ． 解得：（负数不合题意，舍去）， ， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线与x轴交点的横坐标与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系和已知条件列出关于m的方程是解题的关键． 16. 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边上一点，且点M的坐标为．将正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转，则旋转2022秒后，点M的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定此时点M对应的位置即点所在的位置，如图，过点M，分别作轴于点E，轴于点F，证明，得到，，由此求解即可． 【详解】∵正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴旋转8秒恰好旋转． ∵， ∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次． ∵， ∴此时点M对应的位置即点所在的位置， 如图，过点M，分别作轴于点E，轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， ∵点M的坐标为， ∴，， 又点在第二象限， ∴旋转2022秒后，点M的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2022秒后点M的位置是解题的关键． 三、解答题（本题共8个大题，满分72分）解答题应写出文字说明、解答过程． 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设，为方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：，，． ． ∵， ∴，即， ∴无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式,即可得出，结合可得出，进而可证出：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，熟练掌握以上知识解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 【答案】（1）如图， （2） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90∘后的对应点的位置，然后顺次连接即可． （2）在旋转过程中，C所经过的路程为下图中扇形的弧长，即利用扇形弧长公式计算即可． 【详解】（1）连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形． （2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长； 所以 【点睛】 本题考查了旋转作图以及扇形的弧长公式的计算，作出正确的图形是解本题的关键． 20. 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．问销售单价定为多少时，才能在半个月内获得最大利润？ 【答案】单价定为35元时，才能在半个月内获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题：先设销售单价为x元，销售利润为y元，每件盈利元，销售数量为件，列式化简计算，即可作答． 【详解】解：设销售单价为x元，销售利润为y元， 根据题意，得 ， 开口向下，在时，则有最大值， 当销售单价定为35元时，才能在半个月内获得最大利润． 21. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为. （1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. （2）一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】（1） （2）这辆货车能安全通过 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题． 【小问1详解】 解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点， 所以， 解得， ∴； 【小问2详解】 根据题意，把代入解析式，得． ∵， ∴这辆货车能安全通过． 22. 如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，连接，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为的直径，为弦，于点E， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）32 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理及其推论，圆周角定理，等量代换思想证明即可． （2）根据题意，得，结合为的直径，得到，继而得到，利用三角函数计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握垂径定理及其推理，圆周角定理，三角函数的应用是解题的关键． 23. 如图1，在中，，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，点H在线段上（不含端点），且，连接交于点N，判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵，， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） ，理由：如图2中，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵，，， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，再由旋转的性质得到，，则，据此证明，即可证明． （2）先证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是正方形，接着证明得到，则可证明，得到，最后证明，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边对等角，平行四边形的性质与判定、矩形的判定与性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，y的取值范围是，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； 【小问3详解】 存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）每小题给出的4个选项中只有一个符号题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内． 1. 下列图形，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，7， B. ，7，1 C. 5，， D. 5，，0 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A. B. C. D. 4. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 5. 将抛物线向右平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 7. 已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的根，则第三边的长为（ ） A. 6 B. 11 C. 6或11 D. 7 8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（　　） A. 35° B. 70° C. 110° D. 140° 9. 如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD=DC，则弦AB的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染．若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，根据表中的信息，可列方程为（ ） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10 12 14 A. B. C. D. 12. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）把答案直接写在题中的横线上． 13. 一元二次方程的根为________． 14. 已知，如图⊙O的半径OA=5cm，弦CD=5cm，则弦CD所对圆心角为________ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点、，若，则的值为 __． 16. 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边上一点，且点M的坐标为．将正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转，则旋转2022秒后，点M的坐标为________． 三、解答题（本题共8个大题，满分72分）解答题应写出文字说明、解答过程． 17. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）试证：无论取任何实数，方程都有两个不相等的实数根； （2）设，为方程的两个实数根，且，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 20. 某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．问销售单价定为多少时，才能在半个月内获得最大利润？ 21. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为. （1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. （2）一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 22. 如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，连接，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图1，在中，，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，点H在线段上（不含端点），且，连接交于点N，判断与的位置关系，并证明你的结论． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，y的取值范围是，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $