86.三角恒等变换-给角求值-高中数学全部题型大总结（全国版）

86.三角恒等变换-给角求值 1．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）求值：（    ） A． B． C．1 D． 2．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·二模）（    ） A． B． C． D． 4．（2020高三上·河北·学业考试）（    ） A． B．-2 C．1 D．4 5．（22-23高一下·辽宁抚顺·期中）（    ） A．0 B． C． D． 6．（23-24高三上·河北·阶段练习）设，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·重庆沙坪坝·期末）（    ） A．1 B． C． D． 8．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·安徽·开学考试）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高一下·江苏苏州·期中）计算：（ ） A． B． C． D． 11．（2024·河北沧州·二模）化简（    ） A．1 B． C．2 D． 12．（2024·河南信阳·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·河南新乡·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 14．（21-22高三上·山东淄博·期末）（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·广东佛山·模拟预测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高一下·山西忻州·开学考试）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·江苏南京·期中）计算下列各式，结果为的是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一下·江苏连云港·期中）计算下列各式，结果为的是（    ） A． B． C． D． 22．（11-12高一·全国·课后作业） ． 23．（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ． 24．（21-22高一下·辽宁沈阳·阶段练习） . 25．（21-22高一下·全国·课后作业）求 . 26．（2024·河南·三模） ． 27．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）求值 ． 28．（18-19高一下·山西运城·期中）若为锐角，且，则 ． 29．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知函数的最大值为2，则= . 30．（23-24高一下·江苏泰州·期中）由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 31．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D A C B D D B C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B D C A A BCD BCD ABD AC AC 题号 21 答案 AB 1．A 【难度】0.4 【知识点】积化和差公式、和差化积公式、诱导公式五、六、半角公式 【分析】利用积化和差和和差化积公式，结合半角公式，诱导公式化简得到结果. 【详解】由积化和差公式可得 ， 故 ， 由和差化积公式可得 ， 故 所以. 故选：A 【点睛】和差化积公式：， ， ， 积化和差公式：， ， ， . 2．B 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、给角求值型问题 【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式. 【详解】原式 . 故选：B. 3．D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】利用切化弦的思想，结合诱导公式及二倍角的正余弦公式计算得解. 【详解】 . 故选：D 4．A 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、三角函数的化简、求值——诱导公式、sinxcosx的降幂公式及应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】直接通分利用辅助角公式、二倍角的正弦公式以及诱导公式即可得到答案. 【详解】 . 故选：A. 5．C 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、积化和差公式、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用两角和差的余弦公式和诱导公式化简即可. 【详解】 , 故选：C 6．B 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出，结合角的范围求得，即可求得答案. 【详解】由题意， 则，即， 故，即， 由于，所以， 则，即， 故， 故选：B 7．D 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】利用两角和与差的余弦公式将转化为，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可. 【详解】 故选：D. 8．D 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先由利用倍角公式得，再由同角平方关系得， 又，利用两角和的正弦公式可得. 【详解】， 因为，，又，所以， 故，故， ， 故选：D 9．B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误， 故选:B. 10．C 【难度】0.65 【知识点】给角求值型问题 【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可. 【详解】因为 ，所以原式 故选：C 11．B 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】将式中的非特殊角通过两角和与差的三角函数转变为特殊角和角即可进行化简. 【详解】. 故选：B. 12．D 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式 【分析】根据诱导公式以及正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由于，所以， 而, 因此， 故选：D 13．C 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、给角求值型问题、二倍角的正弦公式 【分析】先“切化弦”，再利用和角公式和倍角公式化简即可. 【详解】. 故选：C 14．A 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、sin2x的降幂公式及应用 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【详解】 . 故选：A. 15．A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】利用已知结合同角的三角函数关系化简求得，再由同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】因为， ，且，则或， 由，得， 即，解得， 则，则， 又，，故， 解得， 故选：A 16．BCD 【难度】0.65 【知识点】给角求值型问题、诱导公式二、三、四 【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项， . 故选：BCD. 17．BCD 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、二倍角的正弦公式 【分析】根据两角和差正切公式计算判断A选项，根据两角和差正弦公式计算判断B选项，应用同角三角函数结合诱导公式计算可得C选项，根据两角和差正弦公式结合二倍角正弦公式判断D选项. 【详解】对于A，，故A错误． 对于B，由 ，故B正确； 对于C，∵设， 则， 而，故即，故C正确． 对于D， ，所以D正确. 故选：BCD. 18．ABD 【难度】0.4 【知识点】cos2x的降幂公式及应用、逆用和、差角的正切公式化简、求值、积化和差公式 【分析】对于A，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于B，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案； 对于C，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于D，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：ABD. 19．AC 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可判断选项ABC，根据同角三角函数之间的基本关系将切化弦即可计算出选项D的结果. 【详解】根据二倍角的余弦公式可得，即A正确； 由可得，所以B错误； 因为，所以，即，所以C正确； 由于 ，所以D错误； 故选：AC 20．AC 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，因为， 可得， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 21．AB 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】根据辅助角公式即可求解A，根据正切的和差角公式即可求解BC，根据二倍角公式即可求解D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确． 对于C，，C错误； 对于D，，D错误； 故选：AB． 22． 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、给角求值型问题 【分析】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行化简，由此可求结果. 【详解】原式， 故答案为：. 23． 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、二倍角的正弦公式、给角求值型问题、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式及和差角公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 24．2 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式 【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可. 【详解】因为， ， ， 所以 故答案为：2. 25．/0.5 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、给角求值型问题、三角恒等变换的化简问题 【分析】首先切化弦，然后辅助角公式、诱导公式及二倍角公式化简求值即可. 【详解】 故答案为：. 26． 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两两角和差的正切公式，化简求值，即可得答案. 【详解】， 又， 所以， 所以 ， 故答案为： 27． 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、辅助角公式 【分析】利用切化弦，辅助角公式、和差角的正弦公式化简得到答案. 【详解】 ， 又 ， 故. 故答案为： 28．2 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 故答案为：2 29． 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、特殊角的三角函数值 【分析】利用辅助角公式可得，再求函数值即可. 【详解】函数，， 故函数的最大值为，由已知得，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 30．(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】三角函数新定义、用和、差角的余弦公式化简、求值、有条件的恒等式证明、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据，利用三倍角公式结合二倍角正弦公式，可得到关于的方程，即可求得答案； （2）先利用两角和差的余弦公式化简，即可利用三倍角公式得到结果； （3）根据方程的特征，令，利用三倍角公式可得，即可求得的值，继而可得的表达式，利用三角恒等变换公式化简，即可证明结论. 【详解】（1），所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. （2） ， 故 ； （3）证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 【点睛】难点点睛：本题考查了三倍角余弦公式的应用问题，解答的难点是第三问，要注意根据方程的特点，设，再结合三角恒等变换，将方程的解的问题，转化为利用三倍角公式，即可求解. 31．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用、辅助角公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得到，再利用余弦定理，即可求解； （2）根据条件，利用辅助角公式得到，进而得到，从而有，再利用正弦定理，即可求出结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理得. 因为，所以，. 化简得. 在中，由余弦定理得. 又因为，所以. （2）由，可得， 又，所以，得到，即， 所以， ，又， 由正弦定理得，得到， 解得，， 故的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$