77.三角函数-弦切互化求值-高中数学全部题型大总结（全国版）

77.三角函数-弦切互化求值 1．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·四川达州·阶段练习）化简的值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（22-23高三上·山东泰安·阶段练习）（    ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A．3 B． C．2 D． 5．（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·重庆永川·期中）已知，，则（    ） A． B． C．3 D． 7．（2023·广西南宁·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·广东汕头·一模）已知，，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（2023·浙江金华·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·湖北黄冈·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·福建莆田·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（），且小正方形与大正方形面积之比为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 13．（22-23高一上·浙江金华·阶段练习）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 14．（21-22高三上·山东烟台·期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·四川成都·期中）求值（    ） A． B． C．1 D． 16．（21-22高一上·山东聊城·期末）若为第二象限角，且，则的值是（    ） A．4 B．-4 C． D． 17．（2024·吉林白山·二模）若，则（    ） A． B．7 C． D． 18．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）若，则（    ） A． B．1 C． D．2 19．（2023·江苏常州·模拟预测）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·安徽·一模）已知，则 ． 21．（17-18高一上·浙江台州·期末）求值： ． 22．（2023高三·全国·专题练习）如果，那么 ， ， ． 23．（2023高一上·江苏·专题练习）化简： (1)－； (2)； (3)． 24．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知. (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 25．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值，并确定的大小. 26．（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知，. (1)求的值； (2)若角的终边与角关于轴对称，求的值. 27．（23-24高一上·江苏无锡·期末）（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 28．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知． (1)化简，并求的值； (2)若，求的值． 29．（22-23高一下·全国·课后作业）已知是关于x的方程的两个根（） (1)求a的值； (2)求的值； (3)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D B B B A C A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 A D D B D B B B AC 1．A 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】利用和差公式、二倍角公式及平方关系化简，再把正弦余弦转化为正切即可求解. 【详解】 . 故选：. 2．A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】先切化弦变形，再结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式化简求值即可. 【详解】 故选：A. 3．B 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、二倍角的正弦公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得. 【详解】 ， 故选：B. 4．D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、已知弦（切）求切（弦） 【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解. 【详解】. 故选：D. 5．B 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、由向量共线（平行）求参数 【分析】首先根据平面向量平行的坐标表示可知，再根据余弦二倍角公式化简、解方程可得,进而可得，再根据两角差的正切公式即可求出结果. 【详解】因为， 所以， ， ， 所以或， 又，所以， 所以， 所以， 故选：B. 6．B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由条件化简求得，将所求式子利用三角恒等变换化简再根据同角三角函数关系式转化为正切求得结果. 【详解】由，即， 又，解得， . 故选：B. 7．B 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】首先由切弦互换公式、二倍角公式结合已知求得，然后由两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，所以， 化简并整理得， 又因为， 所以，所以， 所以. 故选：B. 8．A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求正切型三角函数的单调性、逆用和、差角的正切公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据三角函数同角的三角函数关系以及二倍角公式和两角和的正切公式化简可得，结合正切函数单调性，可推得，即可判断答案. 【详解】由，，， 可得，即， 由于，，则， 故， 由于在上单调递增，故，即， 所以，故A正确，B错误， 由于得，则不可能成立，C错误， 由于不能确定是否等于，故也无法确定，D错误， 故选：A 9．C 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】首先由同角三角函数的基本关系式求得或，再将化为，代入的值即可得答案. 【详解】因为，所以， 则， 所以，即， 解得或. 又，将或代入， 均得到. 故选：C. 10．A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、数量积的坐标表示 【分析】利用向量数量积的坐标公式结合同角三角函数的基本关系化简即可. 【详解】，从而， 于是， 从而 ． 故选：A 11．A 【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据三角函数基本关系式的和带入即可求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以原式. 故选：A. 12．D 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦） 【分析】设大正方形的边长为，求出小正方形的边长，根据小正方形与大正方形面积之比得，再利用弦化切求解可得答案. 【详解】如图，设大正方形的边长为， 则小正方形的边长为， 所以小正方形与大正方形面积之比为， 化简得，且， 由， 解得. 故选：D.    13．D 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】先应用诱导公式化简，再弦化切代入计算即可. 【详解】由三角函数的定义可得， 则. 故选：D 14．B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法、万能公式、求某点处的导数值 【分析】先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果. 【详解】，当时，，所以，由万能公式得： 所以 故选：B 15．D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角恒等变换的化简问题、辅助角公式 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可. 【详解】因为； ； ， 所以 . 故选：D. 16．B 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式化简、同角公式化简再代入计算即可作答. 【详解】由得：，而为第二象限角，则有， 因此， 故选：B 17．B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正切公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】 根据两角和与差的余弦公式和同角三角函数的基本关系求得，然后利用二倍角的正切公式求得，再根据两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为，故， 则， 故. 故选：B. 18．B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、诱导公式五、六、辅助角公式 【分析】化切为弦，运用辅助角公式化简，逆用二倍角的正弦公式和诱导公式即得. 【详解】由 ，故. 故选：B． 19．AC 【难度】0.65 【知识点】由单位圆求三角函数值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】点代入单位圆的方程求出点可得，再由弦化切可得答案. 【详解】角的终边与单位圆交于点， ，，， 当时，； 当时，． 故选：AC. 20．或． 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】应用二倍角公式及两角差余弦公式化简最后由同角三角函数公式计算即可. 【详解】 当, 当. 故答案为：或. 21．1 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可. 【详解】 ． 故答案为：． 22． 1 /0.6 /0.6 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】空一：由齐次式将弦化切求值；空二、三：由正余弦的平方关系，将已知式中弦化切求值. 【详解】由，得， ， ． 故答案为：1，， 23．(1) (2)1 (3)． 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系进行化简； （2）利用完全平方公式和同角三角函数基本关系进行求解； （3）利用同角三角函数的基本关系进行化简. 【详解】（1）原式＝. （2）原式＝ （3）原式＝ 24．(1) (2) (3)答案见详解 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）运用诱导公式和化简即可； （2），再运用化弦为切的思想即可求解. （3）令，则，则有，用诱导公式可得，再用同角关系式联立即可求解. 【详解】（1） （2）由（1）得， 所以. （3）由（1）得，令，则， 则， ，又， 得，代入，计算得：， 当为第二象限角时，，即； 当为第四象限角时，，即. 25．(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】（1）由解得，由求出，利用两角差的余弦公式求解的值； （2）由，求出，再求，利用两角差的正切公式计算的值，并得到的大小. 【详解】（1），由，，， 又，，， . （2）由（1）可知，，， ， ，. 26．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用平方关系式求出和，再根据商数关系式求出； （2）根据角的终边与角关于轴对称，推出，，，，再根据诱导公式化简所求式子，代入可求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 由，得，得， 得，得或， 当时，由得，不符合题意； 当时，由得，所以. （2）若角的终边与角关于轴对称，则，，即，， 所以,,,, . 27．（1） ；（2） ． 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． （2）由且，得，从而，再由，能求出结果． 【详解】（1）解方程，得，， 是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则， （2），且， ，则，而， 则，故， 28．(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）将已知用诱导公式，和同角三角函数基本关系式化简. （2）在原式前两项除以，再在分子分母都除以，转化为正切代入求解. 【详解】（1） 则 （2）因为，所以. 所以 29．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）由韦达定理和同角三角函数关系结合判别式即可求实数的值； （2）用立方和公式把展开结合韦达定理即可求解； （3）切化弦后结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为是关于x的方程的两个根， 所以方程的判别式，解得：或， 且有，所以==， 即，解得（舍去）， 即a的值为. （2）因为 ， 所以的值为. （3）因为 . 故的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$