66.利用导数解决函数的零点问题(一)-高中数学全部题型大总结（全国版）

66.利用导数解决函数的零点问题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·一模）已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东湛江·期中）已知，若关于的方程有两个不同的正根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东菏泽·期中）函数的零点个数为（   ） A．1 B．0 C．3 D．2 7．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，当时，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知函数，，若函数的图象与的图象在上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2020·全国·二模）已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）过点作曲线的切线，则这样的切线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 12．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数，2为的极大值点，则下列结论正确的有（    ） A． B．若4为函数的极小值点，则 C．若在内有最小值，则b的取值范围是 D．若有三个互不相等的实数解，则b的取值范围是 13．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，，，函数也有三个零点，，，则（   ） A． B．若，，成等差数列，则 C． D． 14．（2024·吉林·模拟预测）已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．函数有两个零点 B．恒成立 C．若方程有两个不等实根，则的范围是 D．直线与函数图象有两个交点 16．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数，则（   ） A．当时，是的极大值点 B．当时，有三个零点 C．若满足，则 D．当时，若在上有最大值，则 17．（24-25高三上·江西·阶段练习）若存在实数b使得方程有四个不等的实根，则mn的值可能为（    ） A． B．2025 C．0 D． 18．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，是函数的三个零点（，），则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·江西新余·模拟预测）关于的方程的实根个数可能为：（     ）. A． B． C． D． 20．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若过点作曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围是 ． 21．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为 . 22．（24-25高三上·山东聊城·期中）已知曲线，若曲线恰有一个交点，则实数的取值范围 . 23．（24-25高三上·贵州·阶段练习）若直线与曲线有个交点，则的取值范围为 . 24．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，则 ． 25．（24-25高三上·全国·阶段练习）方程有且仅有一个正根，则a的取值集合为 . 26．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，对于函数有下述四个结论： ①函数在其定义域上为增函数； ②有且仅有一个零点； ③对于任意的，都有成立； ④若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则必是的零点. 其中所有正确的结论序号是 27．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 28．（24-25高三上·山西吕梁·期中）已知函数． (1)证明：曲线是轴对称图形； (2)若函数在上有三个零点，求实数的取值范围． 29．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数有两个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证：； 30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，证明：存在唯一零点； (2)当时，证明：． 31．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 32．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数． (1)若为上的“凸函数”，求a的取值范围； (2)证明：当时，有且仅有两个零点． 33．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处切线的方程； (2)当时，试判断零点的个数，并说明理由； (3)是否存在实数，使是的极大值，若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由. 34．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求零点的个数． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A C A A D C A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 C AD ABD AC BCD AC AD ABD ABC 1．B 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，利用参变分离可求解. 【详解】由，，可得， 当时，，此时在单调递减； 当时，，此时在单调递增； 又因为，所以函数存在唯一的零点，即. 因为，解得. 即在上有零点， 故方程在上有解， 而， 因为，故，故， 所以，故 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答. 2．A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数图象及性质 【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线； 由关于x的不等式， 可知，当时，，即有； 当时，，即有； 作出函数图象如图： 要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个， 显然不能满足题意，故需满足，即， 解得，即的取值范围为， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案. 3．C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数画出的图象，结合的零点个数求得的取值范围. 【详解】当时，， 所以在区间上，当且仅当时， 所以函数在上单调递减，. 当时，，令解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，当时，，当时，， 由此画出、的大致图象如下图所示， 函数有三个零点，等价于与图象有三个交点， 所以的取值范围是. 故选：C.    【点睛】易错点睛：在通过图象判断函数零点个数时，容易由于图象的不准确或导数符号变化的错误判断，导致零点个数错误．在分析图象时，要特别注意极值点的准确位置. 4．A 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】由同构的思想可知，若有两个零点，则有两个解，即有两解，分离变量求导即可 【详解】解：由题意可知，若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解， 令，原式等价于有两个解， 即有两个大于零的解. 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，图像如图： 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解. 5．C 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】化简方程，利用换元法、构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，则， 令，显然在上单调递减， 故有两个不同的正根， 令，则，故当时，， 当时，， 故， 又时，时，， 故，解得. 故选：C 【点睛】方法点睛：换元法与构造函数法：通过换元将原方程转换为新的变量形式，再构造适当的函数进行分析，结合导数来判断函数的单调性和取值范围.换元法和构造函数法是处理复杂方程和不等式问题的有效方法. 6．A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合，即可判断出答案. 【详解】由，可得，即定义域为， 所以， 由于，故， 即，当且仅当时取等号， 即在上为单调递增函数，又， 所以仅有一个零点． 故选：A． 7．A 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】当时，不等式恒成立，设，，利用导数研究的零点，并由两个函数有相同零点结合韦达定理，经变形构造出函数，再利用导数求出最小值. 【详解】当时，原不等式化为恒成立， 令，，求导得， 由得，；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，，当时，， 则函数在上有两个零点，记为， 显然当或时，，当时， 要使恒成立，则也是的两个零点， 于是，由，得，即，因此， 令，求导得，由，得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：将原不等式恒成立转化为函数，在上有相同的零点是求解的关键. 8．D 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】取函数关于轴对称的函数为，可知在上恰有两个不同的实数根，同构可得，构建，结合单调性分析可知与在上恰有两个不同的实数根，结合的图象分析求解. 【详解】对于函数，其关于轴对称的函数为， 由题意可知：在上恰有两个不同的实数根， 对于，即， 整理可得， 令，可知在上恰有两个不同的实数根， 因为对任意恒成立， 可知在上单调递增，则，整理可得， 可知与在上恰有两个不同的实数根， 因为， 当时，，在上单调递减； 当时，；在上单调递增， 则， 且当趋近于或时，均趋近于，作出的图象如图所示： 由图可知：，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据同构可得，构建函数，根据函数单调性分析求解. 9．C 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】求导，分析函数的单调性，画出函数草图，数形结合可求的取值范围. 【详解】由，有， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 又时，， 如图可知之间存在三个不相等的实数，，， 使成立. 故选：C 【点睛】方法点睛：做出函数草图，数形结合，是快速解决该问题的关键. 10．A 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】利用多次求导及分类讨论判定函数的单调性及最值即可. 【详解】∵，令， ∴， 当时，此时在上单调递增； 当时，此时在上单调递减. 由，故可大致作出的图象如下， ∴， ∴当时，，，在R上单调递增，不成立； 当时，，在上单调递减，成立； 当时，有两个根（）， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立. 综上. 故选：A． 11．C 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】设出切点，根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程，根据切线过点，列方程，判断方程解的个数即可. 【详解】因为，所以（）. 设切点坐标为：，切线斜率为：（）. 所以切线方程为：. 又切线过点， 所以. 设（） 则， 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在和各有1个根. 所以方程：有且只有两个解. 故选：C 12．AD 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】先求得，然后根据函数的极值、最值、方程的解等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，， ，，则或，而，则， 令，得或；令，得； 在单调递增，单调递减，单调递增， 的极大值点为，，A对. 对于B，若4为极小值点，则，则，B错. 对于C在内有最小值，则在处取得最小值， ，， 即， ，，故C错误. 对于D有三个互不相等的实数解，， 则，故，故D正确； 故选：AD 【点睛】关键点睛：导数的准确求解与符号分析：通过求导并分析导数的符号变化，是判断函数单调性和极值点的关键步骤.确保每一步的符号处理准确，是得出正确答案的基础. 条件验证的完整性：对于多项选择题，通过完整地验证每个选项的条件，可以确保答案的准确性.尤其是涉及极值点和方程解的条件时，要特别注意每个条件的符号和数量判断. 13．ABD 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】对于A，由题意可得有两个不同实根，则由即可判断；对于B，若成等差数列，则为的对称中心，即可判断；对于C，结合图象，当和时，分类讨论即可判断；对于D，由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断. 【详解】因为， 则，，对称中心为， 对于A，因为有三个不同零点，所以必有两个极值点， 即有两个不同的实根， 所以，即，故A正确； 对于B，由成等差数列，及三次函数的中心对称性， 可知为的对称中心，所以，故B正确； 对于C，函数，当时，， 则与的交点的横坐标即为，，， 当时，画出与的图象， 由图可知，，，则， 当时，则，故C错误； 对D，由题意，得， 整理，得， 得， 即，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可. 14．AC 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，再分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，， ， 当时，单调递减， 当时，单调递增，又， 则函数存在唯一零点，即， ，即在有零点， ①若，即， 此时的零点为，显然符合题意； ②（i）若，即或， 若在只有一个零点，则； （ii）若在有两个零点， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答. 15．BCD 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根、求函数零点或方程根的个数 【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假. 【详解】对A：当时，；当时，；时，， 所以函数只有1个零点.A错误； 对B：欲证，须证在上恒成立. 设，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为，因为，所以.故B正确； 对C：. 设， 则，. 由；由. 所以在上单调递增，在单调递减. 所以的最大值为：，又当时，. 如图所示： 所以有两个解时，.故C正确； 对D：问题转化为方程：有两解，即有两解. 设，，所以. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的最大值为. 因为，，所以 所以. 且当且时，；时，. 所以函数的图象如下： 所以有两解成立，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法： （1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解. （2）转化为含参数的函数的极值问题求解. 16．AC 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、由函数对称性求函数值或参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求的值，故可判断C的正误. 【详解】对于A，， 当时，或时，；当时，， 故为的极大值点，故A正确； 对于B，当时，由A的分析同理可得： 当或时，；当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 而，， ，故只有一个零点； 对于C， ， 由题设可得恒成立， 故即，故C正确. 对于D，取，由B的分析可得： 在为增函数，在上为减函数，在为增函数， 而，，此时在无最大值， 故选：AC. 17．AD 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根 【分析】将问题转化为至少存在三个变号零点，利用导数研究其单调性，并讨论参数符号判断变号零点个数，即可确定参数符号，进而得答案. 【详解】令，则， 令，且该函数至少存在三个变号零点，且， 当时， 在上，，即递增， 在上，，即递减， 若，则，知至多有一个变号零点； 故； 当时， 在上，，即递增， 在上，，即递减， 若，则，知至多有一个变号零点； 故； 当时，，即在定义域上递增， 此时，至多有一个变号零点，不符合题意； 综上，只能为负数. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：问题化为至少存在三个变号零点，对应参数的符号即可. 18．ABD 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、导数的乘除法、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】因为函数有三个零点，所以极大值大于0，极小值小于0，可求的取值范围，判断A的真假；再根据零点和极值点的关系，结合零点存在性定理，可以判断B的真假；设，求导，假设，推导该结论成立的可能性，判断C的真假；表示出函数在3个零点出的导数，带入，整理，可判断D的真假. 【详解】因为，又， 由或，由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 因为函数有3个零点，所以，故A成立； 又，所以，且， 所以，故成立，即B成立； 因为函数有3个零点，所以可设， 则， 所以，，， 若有，则. 由B可知，可设，，（，） 则， 由，这与矛盾，所以不成立，故C错误； 因为：，故D成立. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：对C选项，因为容易判断ABD是正确的，所以估计C是错误的，第一个想法是令取特殊值，验证C不成立.但是该方法的难点是不知道令取多少才能计算零点，所以该问题采用了类似反证法的思想，先假设C是正确的，看看推导出来的结论有无矛盾即可. 19．ABC 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用函数得导函数判断函数的单调性，从而可确定函数图象与轴交点的个数，即方程的实根个数. 【详解】（曲线与方程）法一：构造函数：令，下探究的零点： ，设， 则，，所以单调递增， ，，故使， 即：， 当时，单调递减； 当时，单调递增，， ，所以， 因为，，比较与的大小， 可转化为与，即比较与的大小. 其中，所以总使：当时，，没有实数根； 当时，，有一实数根； 当时，，有两个实数根. 法二：根据题意知， 所以，对两边分别取对数，则可得， 设，则， 令，当，，所以单调递减， 当时，，单调递增，所以当时取得最小值， ， 当时，，没有实数根； 当时，，有一个实数根； 当时，，有两个实数根. 故选：ABC 20． 【难度】0.4 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、利用导数研究函数图象及性质 【分析】由题意，设切点，利用相切性质得到关于的关系式，将切线条数问题转化为关于的方程解的个数问题求解，再分离参数转化为函数的图象与直线的交点个数问题，构造函数研究函数的单调性与最值，数形结合求的范围即可. 【详解】设切点为，， 故切线方程为， 将代入切线方程得， ， 过点作曲线的切线有且仅有两条, 则关于的方程有两解， 可转化为直线与函数的图象有两个交点. 令，则 ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故的单调减区间，增区间是. 当时，，当时，， 且， 当与有且仅有两个交点时，， 故答案为：. 21． 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】由曲线与关于直线对称，将问题转化为曲线与有个交点，即方程有个不同的实根，进而转化为和有两个交点，利用导数求函数的大致图象，结合图象即可求解. 【详解】曲线与关于直线对称， 又点关于直线的对称点在曲线上， 曲线与有个交点，即有个不同的实根，即方程有个不同的实根， 设函数，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增， ，再根据当时，，当时，， 作出的大致图象，如图， 由于直线过定点，当直线与的图象相切时，设切点为，此时， 即，可得，此时切线的斜率为， 由图可知，时，直线与的图象有个交点， 实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22． 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】将交点问题转化为函数零点问题，导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解． 【详解】曲线，，若曲线，恰有一个交点． 即只有一个零点，， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 则当时，；则，即, 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；又， 由得，即，所以， 当时，， 则存在，使得， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 由得当时，，，所以， 此时， 存在，使得， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，. 23． 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】令，分析可知函数在上有个零点，且，对实数的取值进行分类讨论，分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】解：令，由题意可知，函数在上有个零点，且， 且，令，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，分以下几种情况讨论： （1）当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 此时，函数在上单调递增，则函数只有个零点，不合乎题意； （2）当时，且当时，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则， 此时，函数在上没有零点， 当时，， 由（1）知，在上单调递增， 因为，， 所以，存在，使得， 当时，，此时，函数单调递减，则， 当时，，此时，函数单调递增，则函数在上至多个零点， 从而可知，当时，函数在上至多个零点，不合乎题意； （3）当时，， 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以，存在，使得， 且当时，，则函数在上单调递减， 则当时，， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，所以，存在，使得， 此时，函数在上有唯一零点， 因为函数在上单调递减，， 当， 令，， 令，其中，则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 因为，，， 所以，存在，使得，可得， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 所以，， 因为函数在上单调递减，则， 即， 故当时，，即， 即存在，使得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时，，且， 因为， 所以，存在，使得， 此时，函数在上也存在唯一零点， 故当时，函数在上有且只有个零点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 24．1 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】求导，利用导数判断的单调性，结合单调性可得，由题意可知是方程的根，即可得结果. 【详解】由题意可知：， 令，解得：或， 当时，恒成立，可知在上单调递增，不合题意； 当时，则， 当，；当，； 可知在，上单调递增；在上单调递减； 当时，则， 当，；当，； 可知在，上单调递增；在上单调递减； 综上所述：，且的两个极值为，. 若有三个零点，则， 即， 若的取值范围恰好是， 可知是关于a的方程的根， 代入可得，解得， 若，不等式即为， 整理可得，解得，符合题意， 综上所述：. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：分析可知，结合不等式的解与方程的根之间的关系可知是方程的根，进而可得结果. 25． 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、基本不等式求和的最小值 【分析】构造函数和，通过分析得到和，根据题意有且只有一个正根得，计算的值. 【详解】令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴当时，. 令，则， 当即时等号成立，即时，. ∵方程有且仅有一个正根， ∴，即，∴， ∴，即， 由上可知，故的取值集合为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查构造函数解决方程根的个数问题，具体思路如下： （1）构造函数和，通过求导分析单调性求出，利用基本不等式得出； （2）原方程可转化为有且仅有一个正根，由（1）知原方程的根为，即，代入计算即可得到的值. 26．③④ 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、作差法比较代数式的大小 【分析】由反例判断结论①；利用导数得函数单调性，由零点存在定理求零点个数判断结论②；作差法比大小判断结论③；结论④利用导数求曲线在点处的切线，切线与相切于点，建立方程组证明是的零点. 【详解】对于①，的定义域为， 因为，，①错误； 对于②，因为，所以在和上单调递增， 又，，，， 所以在区间和上都存在零点， 又在和上单调递增， 即在区间和上各有一个零点，②错误； 对于③，因为，所以，所以， 即，所以③正确； 对于④，因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 得切线方程为，即， 设与相切于点，因为，所以切线斜率为， 得切线方程为，即， 所以，即， 消去得，整理得，即是的零点，④正确. 故答案为：③④ 【点睛】关键点睛： 本题结论④判断的关键在于利用导数求出两曲线的切线方程，利用方程为同一方程得到两切点坐标之间的关系，联立化简即可. 27．(1) (2)的极小值为，没有极大值 (3)或 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）先求得的导数，再代入即可得解； （2）利用导数与函数极值的关系直接求解即可得解； （3）根据题意，将问题转化为在上无解，构造函数，利用导数分析得其图象，再数形结合即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，解得. （2）由（1）知，又， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以有极小值，为，没有极大值. （3）令，得， 因为在区间上无零点，所以在上无解， 令，则与的图象没有交点， 而，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又当时，，则恒成立， 所以，则在上的大致图象如下， 数形结合可得或， 所以或. 【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图象的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 28．(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）证明，即可说明曲线是轴对称图形； （2）首先求出，然后将问题转化为与的图象在上有三个交点，结合的图象即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由函数，定义域为， 则， 因此可得， 故函数的图象关于，即曲线是轴对称图形. （2）由， 若函数在上有三个零点， 则方程在上有三个实根， 即在上有三个实根， 令，则与的图象在上有三个交点， 又， 当或时，， 则在和上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，， ，， 因此可得的图象如图所示， 结合图象，要使与的图象在上有三个交点， 则实数的取值范围为. 29．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）构造新函数，利用新函数的单调性和值域去求实数a的取值范围； （2）构造新函数并利用极值点偏移去证明； 【详解】（1） 又因为函数单调递增，且， 在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， ， ， 在上各有一个零点， 当时，的最小值为，且， 在内至多只有一个零点， 综上，实数的取值范围是. （2）设， 则 当时，， ， ， 在上单调递增， 当时，， 即当时， 又因为函数有两个零点， 由（1）知，， ， 又在单调上递减，， 即. 【点睛】方法点睛，利用导数证明不等式，常用方法有如下几种： 方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略； 方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明； 方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立. 30．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据，构造函数，求导，根据函数的单调性求解最值，即可求证1是的唯一零点， （2）构造，求导可判断在区间上单调递增，即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，注意到，即1是函数的零点， 下证1是的唯一零点， 易知1是函数的唯一零点， 设函数，则． 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以， 所以，所以单调递增，而， 所以1是函数的唯一零点， 所以1是函数的唯一零点，证毕． （2）设函数，则， 由（1）知，结合， 可得， 故，所以在区间单调递增， 又，所以当； 当时，． 综上所述，当时， 【点睛】方法点睛：利用导数求证不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 31．(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数并讨论参数a的范围研究导数的符号，即可判断单调性； （2）（i）结合（1）的单调性判断、的符号，排除，再在的情况下研究的单调性和最值，根据零点的个数求参数范围； （ii）由（i）有，分析法将问题化为证明，进而构造并利用导数研究其符号，即可证结论. 【详解】（1）由题设，且， 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 当时，在上，在上，在上， 所以，在、上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由， 若时，， 令且，则， 所以时，时， 故在上递增，在上递减，则， 所以， 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 又时，在上只有一个零点，不满足， 所以，此时，在上，在上， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 显然在上递减，且当时， 所以，时恒成立，即所求范围为； （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 不妨令，要证，即证，而， 由（i）知：在上单调递增，只需证， 由，则 令，且， 则 ， 所以，在上，即在上递增， 所以，即成立， 所以，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在，进而利用导数研究其最值求范围，再令，将问题转化为证是关键. 32．(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由“凸函数”定义可得在区间D上单调递减，令，则问题转化为在恒成立，分离参数后转化为求函数最值可得； （2）令，结合的单调性与三角函数的有界性，分区间讨论的单调性与函数值的符号变化即可. 【详解】（1）由，则. 由题意可知，为上的“凸函数”， 则在区间上单调递减，设， 则，所以在恒成立， 则在恒成立， 又当时，函数取最小值，且最小值为， 所以有，解得， 即a的取值范围为. （2）当时，由得 . 令，其中， 则，其中. ①当时，则，， 所以，则在单调递增， 则恒成立，即在无零点； ②当时，令，其中， 由在单调递增， 又， 故存在，使得， 故当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 由， 故存在，使，即， 故当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 又， 故当时，，即在无零点； ③当时，由，则， 故故在单调递增， ，且， 故由零点存在性定理可知在有且仅有一个零点； ④当时，， 故在无零点； 综上所述，有且仅有两个零点，其中，而另一个零点在内. 由，即将图象向左移1个单位可得的图象. 故也有两个零点，一个零点为，另一个零点在内. 故有且仅有两个零点，命题得证. 【点睛】关键点点睛：该题目属三角函数与导函数综合题型，解决本题目的关键在于利用导函数与三角函数的有界性分区间讨论函数值的符号变化.当时，，单调递增，而，无零点；当时，通过二次求导与零点存在性定理可得先减后增，而，也无零点；当时，，单调递增，而，有且仅一个零点；当，由三角函数有界性，恒有故无零点. 33．(1)； (2)1个，理由见解析； (3)存在，. 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数、根据极值求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解. （3）利用连续函数极大值的意义求出值，再验证即可得解. 【详解】（1）当时，，求导得， 则，而，于是切线方程是， 所以曲线在处切线的方程. （2）当时，， 求导得，函数在上单调递增， 又，所以函数有且仅有一个零点，是0. （3）由是的极大值，得，使得当时，且恒成立， 求导得， 因此是的变号零点，即，解得， 经检验，当时，， 则当时，当时，于是是的极大值，符合条件， 所以的取值集合为. 【点睛】结论点睛：函数是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：. 34．(1) (2)2 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）利用导数判断出函数的单调性，再构造函数利用导数判断的符号，根据零点存在性定理得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以切线方程为，即. （2），当，，， 所以，即在上单调递减， 令，， 当时，，在上单调递减，即在上单调递减； 又因为，当时，即在单调递增， 因此在单调递增，在单调递减． 当时，，；，因为在单调递增， 所以根据零点存在定理，在有唯一零点； 令，， 当时，，单调递增，且， 当时，，单调递减； 所以，即， 所以， 所以， 又因为在单调递减，根据零点存在定理在有唯一零点． 综上，在上有2个零点． 【点睛】关键点点睛：利用导数确定函数的单调性后，需要根据零点存在性定理确定零点个数，本题关键需要分析时，的极限，以及的符号，其中的符号需要构造函数，利用导数判断函数的单调性及最值确定，技巧性较强. 学科网（北京）股份有限公司 $$