63.利用导数求函数最值-高中数学全部题型大总结（全国版）

63.利用导数求函数最值 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知关于x的方程在区间上有解，则实数a的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数，关于的不等式有且只有三个正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知矩形的两个顶点在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则当矩形的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数，点在曲线上，则（   ） A．有最大值为，最小值为1 B．有最大值为0，最小值为 C．有最大值为0，无最小值 D．无最大值，有最小值为 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）设函数，下列判断正确的是（   ） A．函数的一个周期为； B．函数的值域是； C．函数的图象上存在点，使得其到点的距离为； D．当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数，若存在实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 8．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最大值为，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 9．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，若不等式对任意都成立，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知函数，则（ ） A．在上最大值为2 B．有两个零点 C．的图像关于点对称 D．的图像关于轴对称 11．（24-25高三上·山东聊城·期中）已知，且.若，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川雅安·一模）定义：已知函数的导函数为，若是可导函数且其导函数记为，则曲线在点处的曲率．据此，曲线（其中）的曲率K的最大值为 ． 13．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 . 14．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数在区间上存在零点，则的取值范围为 . 15．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 16．（2024·北京·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 17．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的最大值 ． 18．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数的最小值为1，则实数a的最小值为 ． 19．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）若，则的最小值为 . 20．（2024·湖南衡阳·一模）函数的值域为 ． 21．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数，则的最小值为 ；设函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是 . 22．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知函数，则的最大值是 . 23．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数和． (1)当时，直线l为曲线过点的切线，求直线l的方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若当，函数和有相同的最小值，求a的值． 24．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知． (1)若在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，函数，若恒成立，求实数a的取值范围． 25．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数 (1)求函数在点处的切线方程 (2)求函数在上的极值和最值 26．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数（其中）． (1)当时，证明：是增函数； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值． 27．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)当时，求零点的个数； (3)当时，，求的取值范围． 28．（22-23高三下·山东济宁·开学考试）已知函数， (1)设，求的极小值； (2)对于任意的，都有，求的取值范围. 29．（22-23高二下·陕西渭南·期中）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B D A C A AC AC 题号 11 答案 AC 1．B 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令，方程转化为，结合单调性得，然后分离参数，利用导数求得最大值． 【详解】令，则是上的单调增函数， 原方程整理得，即， 若，则，若，则都不成立， 所以， 所以在上有解，整理得， 设，则， 时，，递增，时，，递减， 所以，即的最大值是. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求最值，解题关键是引入函数，方程变形为，利用函数的单调性方程化简为，这样分离参数后利用导数求得最大值即可． 2．D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，求导可得，即可得到当时，恒成立，将原不等式化简可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而，故当时，恒成立， 不等式， 当时，或，由，得， 原不等式的整数解有无数个，不符合题意； 当时，或，由，得，无正整数解， 因此原不等式有且只有3个正整数解，等价于不等式有且只有3个正整数解， 3个正整数解只能是，因此，即， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 3．D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设，则，则矩形面积，利用导数求得当时，取得最大值，即可求得. 【详解】 设，则， 所以矩形面积， 所以，令，解得． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，此时． 故选：D． 4．B 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】首先利用导数求出函数的值域，即为的取值范围，再利用，令，转化为求的最值. 【详解】由，则， 设，， 当时，，在区间单调递增， 当时，，在区间单调递减， 所以当时，取得最大值，， 且时，，， 所以当时，，即，函数在区间上单调递增， 当时，，即，函数在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 当时，，当时，， 所以函数的值域是， 由题意可知，，所以， 设，， 当时，， 所以当时，，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，， 当时，，且，所以函数的值域是， 所以的取值范围是， 故选：B． 【点睛】关键点睛：由点在曲线上，即，因此本题的关键是将求的最值转化为求的最值. 5．D 【难度】0.4 【知识点】函数的周期性的定义与求解、由导数求函数的最值（不含参）、求cosx(型)函数的值域、用两点间的距离公式求函数最值 【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断A；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断B；利用，结合两点间距离公式可判断C；结合解，根据解的情况判断D，即得答案. 【详解】对于A，，， 故不是函数的一个周期，A错误； 对于B，， 需满足，即， 令，，则即为， 当时，在上单调递增，则； 当时，， （，故） 此时在上单调递减，则， 综上，的值域是，B错误； 对于C，由B知，， 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离； 当时，, 满足此条件下的图象上的点到的距离， 当且仅当且时等号成立， 而时，或， 满足此条件的x与矛盾，即等号取不到， 故函数的图象上不存在点，使得其到点的距离为，C错误； 对于D，由B的分析可知，则，即， 又，故当且仅当时，， 即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，D正确． 故选：D 【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解. 6．A 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、根据极值点求参数、已知函数最值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，得到有两个变号的零点，二次求导，分和两种情况，得到单调性，得到，结合函数图象走势，得到，求出答案. 【详解】，因为有两个极值点，所以有两个变号的零点， 令，则， 当时，单调递增，至多有一个零点，不符合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 又时，时，，所以要使有两个变号零点， 只需，即0，即． 故选：A 7．C 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据可得，构造函数和，求导即可根据函数的单调性求解最值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 设函数，则， 设，由于均为上的减函数，易知在区间内单调递减，且， 故当时，；当时，． 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以，故． 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 8．A 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可求出. 【详解】的定义域为， 当时，单调递增，无最大值，不合题意； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 所以，即， 又在上单调递增，， 所以． 故选：A. 9．AC 【难度】0.4 【知识点】画出具体函数图象、由导数求函数的最值（不含参）、函数不等式恒成立问题 【分析】根据给定条件，按分类作出函数和的图象，结合图象可得当，，成立时，恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解. 【详解】依题意，函数的图象恒在的图象及上方， 作函数和的图象， 当时，如上左图所示，观察图知在上不恒成立，不合题意； 当时，如上右图所示，观察图知，当且仅当，成立时，恒成立， 即当时，，令，，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， 因此，所以实数的取值范围是，的值可以为AC. 故选：AC 【点睛】关键点睛：分类作出函数和的图象，结合图象确定求解条件是关键. 10．AC 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、由导数求函数的最值（不含参）、函数奇偶性的定义与判断、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据题意，求导即可判断A，将零点问题转化为函数图像交点问题即可判断B，根据对称中心的定义即可判断C，将问题转化为判断是否为偶函数即可判断D 【详解】对于，， 在上单调递增， ，故正确； 对于的零点个数即方程的实根个数， 即方程的实根个数，即与图像的交点个数. 在同一坐标系中画出与图像如图所示： 两个函数图像只有一个交点，故B错误； 对于，若的图像关于点对称， 则有对任意恒成立. 恒成立， 的图像关于点对称，故正确； 对于，定义域为R, ， 则的图像不关于轴对称，故D错误. 故选：AC. 11．AC 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】利用导数分别求出函数的单调性与最值，结合合理转化，转化为 函数，利用的单调性与最值，逐项判断，即可求解. 【详解】由，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为. 因为，，， 所以， 由，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为. 因为，，， 所以， A：要证，即证， 又在上单调递减，所以， 由，即证，即证， 设，则， 令，得， 所以函数单调递减，且，所以，即， 所以在上单调递减，得，即，所以，故A正确； B：由题意知，，所以， 得，又在上单调递增，所以，即，故B错误； C：由，，所以， 又在上单调递减，所以，即，故C正确； D：令， 得，所以函数在上单调递减，且， 又，得，即， 所以，得，所以，即，故D错误.. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数求出函数的单调性与最值后，注意到，进而合理转化为函数的最值问题. 12．/ 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】根据曲率的定义得到曲率K，再应用导数求解曲率K的最大值即可. 【详解】解：因为，所以，， 所以曲线（其中）的曲率 ， 所以 ， 由，可得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时， 故答案为：. 13．/ 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到、，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为，应用换元法及导数研究其最大值即可. 【详解】由，则，， 所以或，而，且，即， 所以，且，即， ， 令，则，， 当时，则在上递增； 当时，则在上递减； 故为的极大值点， 的最大值为. 故答案为：. 14． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据函数有零点转化为，构造函数，求导数，利用单调性得出值域即可. 【详解】 ， 令， 当时，，当时， 在上单调递减，在上单调递增， ，， 则，所以. 故答案为： 15． 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】原不等式可化为，利用为上的增函数可得对任意恒成立，结合参变分离可求的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 也就是， 因为均为上的增函数，故为上的增函数， 故原不等式即为，故对任意恒成立， 故对任意恒成立， 设，则， 设，则， 故在上为减函数，而， 故当时，即，故在上为增函数； 当时，即，故在上为减函数， 故，故， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：对于由指数函数和对数函数构成的较为复杂函数，我们可以利用指对数的运算法则对原有的不等式同构变形，从而把原不等式转化为简单不等式. 16．2 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】变形函数，换元构造函数，再利用导数分段探讨单调性求出最小值. 【详解】函数，令，令， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 因此当时，，所以当时，取得最小值2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用对数运算法则变形，再换元构造新函数是解决本题的关键. 17．e 【难度】0.4 【知识点】简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】等价变形给定的不等式，构造函数，由单调性可得，再构造函数并求出最小值即得. 【详解】依题意，对任意， 恒成立， 而，当时，，不等式成立， 当时，令，求导得，函数在上单调递增， 原不等式等价于， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以实数m的最大值为e. 故答案为：e 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 18． 【难度】0.4 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】由，且，将问题化为与图象有交点，利用导数研究的最值，即可得参数范围. 【详解】由， 对于函数，有， 当，则，在上递减； 当，则，在上递增； 所以． 若，则有解，即与图象有交点． 由，令，解得． 当，，在上递增；当，，在上递减． 所以当时，．当，， 所以取值范围为， 所以，即． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：函数化为，并将问题化为与图象有交点． 19． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令，则，可得，求导求得最小值即可. 【详解】令，则， 所以，所以， 令，则， 所以在上为增函数，即在上为增函数，又， 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以函数. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用换元法，通过二次求导，求函数的最小值是一种常用方法，在平时的学习中应多体会. 20． 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由导数求函数的最值（不含参）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先求出函数的周期及对称中心，把研究范围缩小到的值域，再利用导函数研究函数的单调性，结合周期的性质得出到的值域即可求解． 【详解】， ， 则， 周期，且关于点对称，故只要考虑的值域， 设，，满足，， 可知，或时，，单调递增， ，，单调递减，且， 由且，， 由，， ，故由图象关于点对称，可知在上， ，，由周期性可知在上值域为， 故答案为：． 21． 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】空1，直接求导利用的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可. 【详解】由题可知定义域为 显然，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以的最小值为； 由题可知， 所以 由题可知恒成立， 当，显然当时，，故不成立； 当时，，因为，所以，故成立； 当时，由恒成立，得恒成立， 即 不妨令，所以 所以显然当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即 综上所述： 故答案为：； 【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算. 22． 【难度】0.4 【知识点】对数的运算、简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】化简可得，构造，通过导数研究其单调性即可得其最值. 【详解】 ， 由题可得，故， 令，， ， 由，则， 则当时，， 当时，， 即在上单调递减， 在上单调递增， 故， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将原函数变形后，构造，利用导数研究其单调性，难点在于复合函数的求导计算. 23．(1) (2) (3)1 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）设切点，利用求导得到切线方程，代入点，求得，回代即得切线方程; （2）利用参变分离法将问题转化为函数与有两个交点，结合函数图象即可求得； （3）由题意先求出参数的范围，利用导数分别求函数和在上的最小值，构造函数，判断其单调性，结合即可求得参数的值. 【详解】（1）当时，，， 设切点为，则， 故切线方程为：， 因直线l经过点，即得， 整理得：，因，则， 故直线l的方程为； （2）因的定义域为， 由可得， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 则时，有极大值为， 且当；当. 作出函数的图象如下: 则函数有两个零点等价于函数与有两个交点， 由图知，需使，即； （3）因，则， 当时，，即在上为增函数， 此时函数无最小值，故. 由解得；由解得， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 故在时有唯一的极小值即最小值，为； 因，，则. 由，可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故在时有唯一的极小值即最小值，为. 由题意，，即， 设，则. 再设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 故， 即，故在上单调递减， 又，故是在上的唯一零点. 则由可得，即a的值为1. 【点睛】方法点睛：对于由函数的零点个数求参问题，一般可以考虑参变分离法，利用两函数的交点情况解决；也可利用导数讨论在参数的不同取值范围下，分析函数的图象变化趋势求得. 24．(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合给定的切线方程求出. （2）把代入，分离参数得恒成立，构造函数并利用导数探讨最小值即可. 【详解】（1）由及，得，即， 由，求导得，又， 于是，且，解得， 所以实数a，b的值分别为. （2）当时，，， 由恒成立，得，令， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，因此， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，得，则， 因此，，从而， 所以实数a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 25．(1) (2)的极小值为，无极大值， 最小值为，最大值 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）对求导，进而求得与，利用点斜式可求切线方程； （2）令，可得，可求在的单调性，即可求出在区间上的极值与最值. 【详解】（1）由，得， 所以，所以函数在点处的切线斜率为， 又，所以函数在点处的切线方程为：，即； （2）令，可得，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以在有极小值，无极大值， 又，， 所以在上的最小值为，最大值. 26．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再判断导数值为正即可. （2）利用中心对称的定义，计算推理即得. （3）求出函数及其导数，再按分类讨论并求出的最小值，建立不等式，构造函数，利用导数求出最小值即得. 【详解】（1）函数的定义域为R，当时，， 求导得，所以是增函数． （2）依题意， ， 所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形. （3）依题意，，其定义域为，求导得， 当时，在上单调递增， 当时，，的取值集合为， 因此当时，函数的取值集合为，不符合题意； 当时，由，得在上单调递增； 由，得在上单调递减， 函数在处取得最小值，且， 由对任意的恒成立，得，即成立， 因此，设， 当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， 则，即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 27．(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数研究函数单调性，极值，最值即可； （2）法一、令，将原函数分解成两个函数的乘积，分区间讨论结合零点存在性定理求函数的零点即可；法二、直接解方程分析即可； （3）构造差函数，由特殊点分类讨论确定时不符合题意，再在的情形下取特殊值，构造函数，利用不等式恒成立得出一个必要条件，再证充分性，变换主元构造，得其单调递增，从而只证时满足题意，利用多次求导判定即可. 【详解】（1）时，此时，， 令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故有唯一极小值点即为最小值点． 则． （2）解法一：令，则， ①当时，，则， ②当时，， ③当时，，当时，， 当时，，即为的一个零点， 综上所述，共有两个零点． 解法二： 令，则或，即或， 因为时，，故， 故有两个零点. （3）时，等号两边成立，满足题意， 令， ①当时，由（2）知，不符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，， 则必然存在使得，即在上单调递减， 而，则在上为负，不符合题意； ④当时，，不符合题意； ⑤当时，首先应当满足，即， 令，则在该定义域内恒成立， 即单调递增， 又注意到，至此，我们得到了满足题意的一个必要条件． 下面我们证明其充分性： 记， 即对于一个给定的单调递增， 从而证明的情形即可，此时， 令，，解得， 得到在上单调递减，上单调递增， 又可知为的极小值点， 又可知对任意恒成立，充分性证毕， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】思路点睛：第三问先利用导函数研究函数的单调性结合特殊点依次讨论排除的情况，再利用特殊点时满足不等式恒成立从而确定一个必要条件，下面去证充分性，利用构造函数与变换主元，多次求导判定即可. 28．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出，分别令求得的范围，可得函数的增区间，令求得的范围，可得函数的减区间，结合单调性可求得函数的极小值； （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，.讨论当时，当时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数的取值范围. 【详解】（1），. 令，∴， ∴在上为增函数，又. ∵当时，；当时，， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为， ∴. （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， ∴. 当时，，在上单调递增，，满足条件； 当时，. 又∵， ∴，使得， 此时，，；，， ∴在上单调递减，，都有，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 29．(1)，； (2) 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求导，令，进而可判断函数的单增区间与单减区间，进而可求极值； （2）利用导数，分或两种情况讨论，可求的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 令，解得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，； （2）由，可得， 因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立， 当时，由，可得， 当，由，可得，所以， 又在上单调递减，所以，所以， 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$