62.利用函数的极值求参数-高中数学全部题型大总结（全国版）

62.利用函数的极值求参数 1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江·阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的图像如图所示，是的极值点，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·广西柳州·阶段练习）若函数在区间上的最大值为0，则（    ） A．0 B． C．1 D．e 6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，且是函数的极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·吉林·模拟预测）若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东珠海·一模）若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高三上·湖南·阶段练习）若函数在处有极小值，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．1 10．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ）    A． B． C． D．的解集为 11．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）若函数在处取得极大值，则（    ） A．，或 B．的解集为 C．当时， D． 12．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数：，现添加一个条件，使得的极大值点同时为其零点，则这个条件可以是：（     ）. A． B． C． D． 13．（21-22高二下·安徽马鞍山·期中）已知函数，是函数的极值点，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）若函数，则（    ） A．可能只有1个极值点 B．当有极值点时， C．存在，使得点为曲线的对称中心 D．当不等式的解集为时，的极小值为 15．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数在处有极小值，则实数 ． 16．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，从①的极小值为；②曲线在处的切线的斜率为中选择一个作为已知，则当时，的最小值为 ． 17．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 18．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数在处取得极小值，则 . 19．（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）已知m为常数，函数有两个极值点，则m的取值范围是 . 20．（24-25高三上·四川达州·开学考试）已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是 ． 21．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）若是函数的两个极值点，则的取值范围为 ；若，则的最小值为 ． 22．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）函数的极小值点为，则实数的值为 . 23．（24-25高三上·重庆·期中）已知函数. (1)当时，函数的极值为10，求和的值； (2)设，若，对于任意的，都有恒成立，求的最小值． 24．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数有两个极值点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 25．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，，是常数. (1)若在存在单调递减区间，求的取值范围. (2)若函数在处有极大值，求的值. 26．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若，设函数，在上的最大值为2，求的取值范围. 27．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线过原点的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围. 28．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值； (2)若是的极大值，求实数的取值范围； (3)当时，证明：对于任意的，有. 29．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数. (1)若函数在处有极小值，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 30．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值大于，求a的取值范围． 31．（23-24高二下·湖南·期末）已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 32．（2022·海南·模拟预测）已知函数与函数的图象关于直线对称. (1)若存在，使得成立，求的取值范围； (2)若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，求的值. 33．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有极小值，且极小值大于0，求a的取值范围． 34．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若在处取得极值，求的值． 35．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)若是函数的极小值点，求实数a的取值范围. 36．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数在时取得极值，且满足． (1)求函数的解析式； (2)若存在实数，使得成立，求整数的最小值． 37．（2024高三上·江苏南京·学业考试）已知函数. (1)若函数在处有极值，求的值； (2)若函数在内单调递减，求b的取值范围． 38．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数，在时取得极小值10. (1)求函数的解析式; (2)求函数在区间上的最值. 39．（2024·四川雅安·三模）已知函数. (1)若函数有极值，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 40．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数． (1)当时，若存在极大值，且存在极小值，求的取值范围； (2)证明：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A A D D A C ACD 题号 11 12 13 14 答案 BCD BD AC BCD 1．A 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】根据题意结合导函数和一元二次函数性质得，解该不等式组即可得解. 【详解】由题意可得在上有下穿变号零点，无上穿变号零点， . 故选：A. 2．B 【难度】0.65 【知识点】三角函数图象的综合应用、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、函数极值点的辨析 【分析】根据伸缩变换规则可得，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果. 【详解】由题可知， 当时，， 若在上只有一个极大值点， 则由的图像可得， 解得， 因为，所以的最大值为3. 故选：B. 3．B 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据图象先确定函数解析式，在利用导函数及韦达定理计算即可. 【详解】由函数的图象可知：， 解得， 所以，可得， 由韦达定理及极值点的定义得， 所以. 故选：B. 4．A 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围. 【详解】因为 ，∴ ， 由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解 即和有两个交点， ， ∴当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故， 而 时， ， 时，； 大致图象如下： 若和有两个交点只需. 故选：A. 【点睛】极值点个数问题，一般转化为方程解的问题，再通过适当的变量分离转化为对应函数值域问题. 5．A 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】首先求函数的导数，讨论和两种情况，判断函数的单调性，讨论函数的最大值，即可求，并代入求的值. 【详解】，当时，，在上单调递增，无最大值． 当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，有最大值，最大值为，所以，所以． 故选：A 6．D 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求导判断函数单调性，再通过讨论，和分类讨论即可. 【详解】. 令，则， 由和都是增函数， 易知在上单调递增，. 当时，则，存在，使得， 当，则， 当，则， 且符合是函数的极大值点； 当时，则，存在，使得， 当，则， 当，则， 当，则， 不符合是函数的极大值点； 当时，， 当，则， 当，则， 不符合是函数的极大值点. 综上，的取值范围为. 故选：D 7．D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据极值求参数 【分析】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8．A 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将原不等式转化为对一切恒成立，设，则后者可转化为恒成立即为函数的极大值，故可求参数的范围或取值，故可得正确的选项，或者将原不等式转化为，根据左右两侧对应的函数的图象位置关系可求参数的范围. 【详解】法一：不等式对一切恒成立即为 不等式对一切恒成立， 今，则有； 故不等式对一切恒成立等价于恒成立， 所以为的最大值点. 显然，，否则时，，与题设矛盾. 又，此时 若，存在区间，是否且，总有， 这与为的最大值点矛盾，故不成立， 同理也不成立，故，则， 当时，当时，，当时，， 故在上递增，上递减，符合题意； 当时，当时，， 当时，， 故在上递减，上递增，上递减， 而当时，， 故即，故恒成立，故符合题意. 综上，，因此. 法二：不等式可化为， 令， 当时，，此时，直线恒过点， 故只需直线为在点处的切线即可， ，此时. 当时，亦恒过点， 为使对一切恒成立， 需开口向下，且在点处与有公切线即可， 故，此时. 综上，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】思路点睛：多变量不等式恒成立问题，可将原不等式作适当变形，从而将恒成立问题转化为图象的位置关系，或者根据不等式的特征将不等式恒成立问题转化为函数的极值问题. 9．C 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】对函数求导并根据处有极小值可解得，经检验符合题意. 【详解】由函数可得， 函数在处有极小值，可得，解得． 当时，， 当时，时， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以在处有极小值，符合题意．所以． 故选：C． 10．ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值求参数、函数图象的应用、导数定义中极限的简单计算 【分析】设，分析可知的极值点为、，以及为奇函数，可求 得，，根据函数的单调性可得出，逐项分析可得出合适的选项. 【详解】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、， 设，则，可得， 由奇函数的定义可得，即， 所以，可得，则， 由题意可得，可得，则， 由图可知，函数的单调递增区间为， 故不等式的解集为，所以， 对于A选项，由题意可知，， 由导数的定义可得，故A正确； 对于B选项，，， 由，，所以，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，由， 可得，解得或， 因此，不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD 11．BCD 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、根据极值求参数、高次不等式、比较函数值的大小关系 【分析】A选项，由题可得，据此得的可能值，验证后可判断选项正误；B选项，由A分析，可得表达式，解相应不等式可判断选项正误；C选项，由A分析结合，大小关系可判断选项正误；D选项，由A分析，验证等式是否成立可判断选项正误. 【详解】A选项，由题，则， 因在处取得极大值，则或. 当时，，令；. 则在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极小值，不合题意； 当时，，令；. 则在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，满足题意； 则，故A错误； B选项，由A可知，，则. 故B正确； C选项，当，则，则，由A分析，在上单调递增， 则，故C正确； D选项，令，由A可知，. 则 ， 又，则，故D正确. 故选：BCD 12．BD 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】用“穿针引线法”作三次函数的图像，得出的关系，再判断选项是否能推出相应结论，A、B选项利用不等式即可判断，C选项利用圆判断，D选项利用函数图像判断. 【详解】令，则的零点为， ①且，用“穿针引线法”可以得到函数大致图像如下： 与题意不符； ②且，用“穿针引线法”可以得到函数大致图像如下： 与题意相符，此时或； ③且，用“穿针引线法”可以得到函数大致图像如下： 与题意不符； ④且，用“穿针引线法”可以得到函数大致图像如下： 与题意相符，此时 综上所述：存在关系、、符合题意. 对A项：，时，则，则故A错误； 对B项：，当时，或，当时，，故B正确； 对C项：即， 即为圆心为半径的圆内，即，故C错误. 对D项：，函数和函数的图像如下： 由图像得：、，故D正确. 故选：BD. 13．AC 【难度】0.65 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】将函数求导并利用零点存在定理可得，将代入的表达式可得恒成立，即可知AC正确. 【详解】易知函数的定义域为， 且，又是函数的极值点，所以； 令函数，易知在时恒成立， 即在上单调递增，易知， 当趋近于0时，趋近于， 利用零点存在定理可得在上存在零点，即在上存在零点，即，所以A正确，B错误； 由可得， 易知，即C正确，D错误. 故选：AC 14．BCD 【难度】0.4 【知识点】判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】A项，根据判别式分类讨论可得；B项，有极值点转化为，结合A项可得；C项，取，验证可得；D项，由不等式解集结合图象可知，1和2是方程的两根且，解出系数，代入函数求解极值即可判断. 【详解】， 则，令， . A项，当时，，则在上单调递增，不存在极值点； 当时，方程有两个不等的实数根，设为，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 故在处取极大值，在处取极小值，即存在两个极值点； 综上所述，不可能只1个极值点，故A错误； B项，当有极值点时,有解，则， 即.由A项知，当时，在上单调递增，不存在极值点； 故，故B正确； C项，当时，， ，所以， 则曲线关于对称， 即存在，使得点为曲线的对称中心，故C正确； D项，不等式的解集为， 由A项可知仅当时，满足题意. 则且，且在处取极大值. 即，则有， 故， ， 又， 解得， 故， 则， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 故在处有极大值，且极大值为； 在处有极小值，且极小值为； 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解决关键在于D项中条件“不等式的解集为”的转化，一是解集区间的端点是方程的根，二是在处取极值，从而. 15． 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数 【分析】通过对函数求导，根据函数在处有极小值，可知，解得的值，再验证即可求出的值． 【详解】因为，所以， 所以，而函数在处有极小值， 所以，故，解得或， 当时，， 令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 此时在处有极大值，不符合题意，排除， 当时，， 令，，令，， 故此时在上单调递增，在上单调递减， 此时在处有极小值，符合题意， 故答案为：. 16．/ 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】【分析】先求出的导函数，若选①，由导函数可知仅存在使得导函数为0，再根据极小值求出；若选②，根据在处的切线斜率即为导数值求出；构造函数，求导判断的单调性，再求出最小值. 【解析】， 若选择条件①： 当时，;当时，; 所以，由导函数可知仅存在使得导函数为0， 故，解得； 若选择条件②：当时，，解得． 所以令，则， 令，则， 则当时，;当时，; 所以在区间内单调递减，在上单调递增， 所以． 故答案为： 17． 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】对进行分类讨论，得到时，方程有两解，构造函数，利用导数研究的性态，进而进行求解即可. 【详解】由，得. 当时，易知在上单调递增，最多有一个极值点， 当时，无极值点； 时，方程有两解，即， 令，则，再令， 则在上递减，又， 所以，单调递增； ，单调递减，所以， 又，解得. 故答案为：. 18． 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】求得，根据，求得的值，结合实数的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为处函数极小值，可得，解得或， 若时，可得， 当时，；当时，；当时，， 此时函数在单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，不符合题意，（舍去）； 若时，可得， 当时，；当时，；当时，， 此时函数在单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数取得极小值，符合题意， 综上可得，实数的值为. 故答案为：. 19．． 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】首先求函数的导数，讨论，并结合零点存在性定理，根据极值点的个数为2得出参数范围. 【详解】由题可得设，， ①当时，递增，且，所以有一个变号零点， ②当时，在上递增，在上递减，且， 当时，即时，所以无变号零点； 当，即时，， 由，取，则，所以有两个变号零点； 当时，有1个极小值点和1个极大值点； 故答案为： 20． 【难度】0.65 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】根据题意可得在上单调递增，则得，从而可得存在极小值点，从而可求解. 【详解】由题意可得在时有最小值，即在上有极小值即可， 因为在上单调递增，所以只需 即解得， 这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是． 故答案为：. 21． 【难度】0.4 【知识点】根据极值点求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据题意，转化为与有两个不同的交点，令，利用求得函数的单调性与极值，结合图象，求得的取值范围；由，转化为，令，再令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数有两个极值点，即是的两个根， 当时，方程不成立，所以与有两个不同的交点， 令，可得， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，其中， 函数的图象如图所示， 要使得与有两个不同的交点，则满足， 即实数的取值范围为. 由图象可知，，且，因为，即， 由，可得，所以， 令，所以， 令，可得， 令，可得， 所以在区间上单调递减，所以， 所以在区间上单调递减，， 所以，又由，可得， 所以在上单调递减，则，所以实数的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 22．2 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】对求导，得到，由题设可得或，再进行检验，即可求解. 【详解】因为，得到， 由题知，解得或， 当时，， 由，得到或，由，得到， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时是极大值点，不合题意， 当时，，由，得到或，由，， 则f(x)在上单调递增，在上单调递减， 此时是极小值点，符合题意， 故答案为：. 23．(1)， (2) 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用求出即可； （2）转化为对于任意的，恒成立，令，求出的最大值可得答案. 【详解】（1）， 因为当时，函数的极值为10， 所以，解得， 即，； （2）， 若，对于任意的，都有恒成立， 即对于任意的，恒成立， 令，则， 对于在上单调递减， 所以在上的最小值为， 可得，所以在上单调递增， 所以在上的最大值为， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是转化为对于任意的，恒成立问题. 24．(1)； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）由题得有两个根，令，问题转换成是方程的两个正根，再利用一元二次方程的判别式大于零和韦达定理即可得解. （2）令后求导，再次构造函数令求导后得到导数小于零恒成立可得的单调性，然后结合零点存在定理分析的单调性，再求出的最大值，最后由对勾函数的单调性得出最大值的取值范围即可； 【详解】（1）由题得有两个根， 令，则有两个正根， 令，则是方程的两个正根， 则，解得. （2）证明：令， 则. 令，则， 则在上单调递减. 又， 故存在，使，即，则当时，； 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 则. 又，则， 故，即. 所以. 25．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、根据极值求参数 【分析】（1）即在上有解，即可求出求的取值范围. （2）求导因式分解后可得当时，有极大值，故此时，所以. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，或. 若，当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由题意，在存在单调递减区间， 所以在上有解， 在上单调递减，所以， 解得，或，即. 若，当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则在不存在单调递减区间. 若，，在上单调递增，不存在减区间. 综上所述，的取值范围是. （2）因为. 当，即，或时，函数可能有极值. 由题意，当时，函数有极大值，所以. 由（1）知，当时，有极大值，此时，所以. 当时，， 令，可得：或， 令，可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处有极大值. 26．(1) (2)答案见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，结合切点即可求得； （2）将函数求导后，根据参数的范围分别讨论导函数的正负，即得函数的单调性； （3）利用（2）的函数单调性结论，结合给定区间，将参数分类讨论，分别判断函数在上的最大值情况，得到不等式，求解即得. 【详解】（1），， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）函数的定义域为， 令，解得， ①当时，，在上单调递增，（或单增区间为）； ②当时，由可得，，或，由可得，， 此时，单调递增区间为，；单调递减区间是. ③当时，由可得，，或，由可得，， 此时单调递增区间为，；单调递减区间是. 综上可得：当时，，在上单调递增； 当时，单调递增区间为，；单调递减区间是； 当时，单调递增区间为，；单调递减区间是 （3）由（2）可知：若，单调递增区间为，；单调递减区间是. ①当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减， 因，则， 因在上的最大值为2，则有，解得，故有； ②当时，即，此时在上递增，在上递减，在上递增， 因，则， 因，，， ，，，且， 则只需使，，解得，故有. 综上可得,的取值范围是. 27．(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、根据极值求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）把代入，设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过的点求得答案. （2）求导，按和分类讨论，并求出极小值，再建立不等式求解即得. 【详解】（1）当时，，求导得，设切点坐标为，则， 于是得切线方程为，而切线过原点，则，解得， 所以所求切线方程为，即. （2）函数的定义域为R，且， 当时，恒成立，即函数在R上单调递增，无极值，不合题意； 当时，由，解得；由，解得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 依题意，，则，解得， 所以a的取值范围为. 28．(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据极值求参数、比较对数式的大小、已知切线（斜率）求参数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）先求导函数，再根据斜率得出参数,最后应用点在切线和函数上得出; （2）先求导函数，再根据是的极大值，得出的左右单调性不同且先增再减，得出; （3）先写出函数解析式，再做差化简，再结合定义域范围得出差小于零即可. 【详解】（1）, 根据切线方程为，所以，可得, 点在上，可得，所以. （2）, 当时，单调递减，单调递增，是的极小值，不合题意； 当时，单调递减，单调递增，是的极小值，不合题意； 当时，所以单调递增，单调递减，是的极大值， 综上可得. （3）当时，, 对于任意的，有 因为,所以即得； 所以,进而得出 所以 所以. 【点睛】方法点睛：分四种情况分别结合导函数的正负得出函数的单调性判断是否是极大值即可解题. 29．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、函数不等式恒成立问题、三元基本（均值）不等式 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性与极值，计算并验证即可； （2）分类讨论与，结合分离参数得，构造函数判定其单调性结合三元均值不等式计算两侧函数最值即可. 【详解】（1）由题意可知，， 若函数在处有极小值，则或， 当时，令，令， 即在上单调递增，在上单调递减， 即在处有极小值，符合题意； 当时，同上可知在上单调递增，在上单调递减， 即在处有极大值，不符合题意； 综上所述：. （2）当时，恒成立，即； 当时，，即恒成立， 令，显然定义域上单调递增， 所以， 令， 由三元均值不等式知， 当且仅当，即时取得等号，即， 则； 综上所述：实数的取值范围为. 30．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值求参数 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）根据有极小值，且极小值大于列不等式，根据函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）的定义域是， ，在上单调递增， 令，解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以在处取得极小值， 依题意，， 即，函数在上单调递增，且当时，， 所以. 31．(1) (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）求得，根据，求得，此时，结合导数求得函数的单调性，结合函数极值点的定义，进行验证，即可求解； （2）当时，得到，得出，此时无零点；当时，求得的值，结合和两种情况讨论，得出结论；当时，转化为函数零点个数等于零点个数，转化为，令函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，进而得到结论. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为是的极大值点，则，解得， 当时，可得， 当时，，令，则， 所以在上单调递减，则，即， 此时在上单调递增； 当时，令，可得，则， 故即单调递减， 又因为，所以当时，单调递减， 所以，当时，是的极大值点，符合题意. （2）（I）由函数， 当时，，，此时无零点； （II）当时，可得， ①若，即时，， 此时不是的零点； ②若，即时，， 此时是的零点； （III）当时，，零点个数等于零点个数， 显然是的一个零点； 当时，可转化为， 令，则， 由（1）知，， 所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，， 可得，函数的图象所示： ①当或或时，有1个零点； ②当或时，有2个零点； ③当时，无零点. 综合（I）（II）（III）得： 当或时，有2个零点； 当或或时，有3个零点； 当或时，有4个零点. 【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的零点个数，以及函数零点个数求参数的取值范围问题的求解： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； 2、分离参数法，先分离参数，构造新函数，直接把问题转化为函数的单调性与最值问题，从而求出参数的取值范围； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 32．(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用分离参变量思想，即可求出函数的最小值，从而可得存在性问题的参数范围；         （2）利用导数思想求两条切线方程，再利用系数对应相等，得到方程组，再用消元思想,即可求出参数的值. 【详解】（1）由题意：得：， 则. 存在，使得成立， .                而， 当，即时，取得最小值， 故. （2）函数与函数的图象关于直线对称， 与互为反函数，得.                设直线与曲线的切点坐标为， 与曲线的切点坐标为， 由的导数为，结合上面假设可知， 即此时的切线方程，整理得：， 又由的导数为，同样结合上面假设可知， 即此时的切线方程，整理得：， 由于这两条切线是同一条直线，所以有，， 由于可得：， 则上面两式消得：， 整理得：， 又由于，代入可得：， 由于，可得， 解得. 33．(1)答案见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）求出函数的导数，再按值分段讨论的正负即可. （2）由（1）的信息，结合极小值情况，求解不等式即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递增区间为，无递减区间； 当时，函数的递减区间为，递增区间为. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，无极值， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值， 整理得，令，函数， 函数在上单调递增，，由，解得，即， 所以a的取值范围是. 34． 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先应用除法运算求导函数，再应用导函数正负得出函数的单调性，最后结合极值点导函数值为0求参即可. 【详解】解析，因为在处取得极值，所以， 即，所以． 当时，． 令，即，得； 令，即，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以在处取得极大值，符合题意． 所以． 35．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，由求解即可； （2）求导，由，，分类讨论即可. 【详解】（1）（1）当时，，     ，     由解得，     所以函数的单调递减区间为. （2），时，或.     ①若， 当或时，， 当时，， 因此时，函数取极小值；     ②若， 当或时，， 因此不是函数的极值点；     ③若， 当或时，， 当时，， 因此时，函数取极大值.     综上，a的取值范围是. 36．(1) (2)5 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求出函数的导数，结合题意列出方程，即可求得答案； （2）将原问题转化为恒成立，令，，利用导数求解函数最值，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知的定义域为，， 由于函数在时取得极值，且满足， 故，且， 解得，则， 经验证函数在时取得极小值，适合题意 故； （2）由题意存在实数，使得成立， 即恒成立； 令，，则， 令，则在上恒成立， 故在单调递增， 又， 故存在唯一的使得，即， 则当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得，故整数的最小值为5. 37．(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、根据极值求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）对函数进行求导，结合在处的极值为列方程组，解方程组即可求得的值. （2）将原问题转化为在上恒成立，结合参变分离思想即可求得b的取值范围. 【详解】（1）函数，求导得， 依题意，，即，解得或， 当时，恒成立， 在R上单调递减，无极值； 当时，，当时，， 当时，， 函数在处取极大值，满足题意， 所以. （2）依题意，在上单调递减， 则在上恒成立，因此在上恒成立， 而当时，，则， 所以b的取值范围是. 38．(1) (2)； 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）根据函数在处有极小值10，列出方程组求解即可，注意需要验证； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值. 【详解】（1）由，得， 因为函数 在 时取得极小值10， 所以，解得或， 当时，，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以为函数的极小值点，所以符合题意， 所以； （2）由（1）可得当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以，. 39．(1) (2). 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值求参数 【分析】（1）先对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，结合函数单调性与极值的关系即可求解. （2）由已知变形为恒成立，构造函数，分类讨论研究函数的单调性，利用最值列不等式求解即可. 【详解】（1）依题意，，令，得， 因为，所以当时，在上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 当时，有变号零点，此时函数存在极值； 综上. （2）依题意，由， 得，即， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，在内单调递减，，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 40．(1)或 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数证明不等式、根据极值求参数、导数的加减法 【分析】（1）利用导数研究函数的极值，结合判别式计算即可； （2）直接得出导函数，利用余弦函数的有界性及二次函数的性质证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 因为存在极大值，且存在极小值， 所以必须有两个不同的零点， 所以， 所以或． （2）当时，， 定义域为， 所以， 当时，， 所以， 当且仅当时，取等号， 因为无解， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$