61.利用导数求函数的极值-高中数学全部题型大总结（全国版）

61.利用导数求函数的极值 1．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数（表示不超过的最大整数），，若对任意的，总存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有3个零点 3．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知三次函数的图象如图，则不正确的是（   ） A． B． C．的解集为 D．若，则 4．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）如图所示，棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥体积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（   ） A．时，若有3个零点，则实数的取值范围是 B．时，过可作函数的切线有两条 C．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 D．若存在极值点，且，其中，则 6．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．的极小值为 D．在上单调递增 7．（2024·四川南充·一模）设函数，，则下列结论中正确的是（    ） A．存在，使得 B．函数的图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 C．函数图象上的点与原点距离的最小值为 D．函数的极小值点为 8．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数，则（    ） A．是的极大值点 B．的图象关于点对称 C．有2个零点 D．当时， 9．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）三次函数叙述正确的是（    ） A．当时，函数无极值点 B．函数的图象关于点中心对称 C．过点的切线有两条 D．当时，函数有3个零点 10．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．函数既有极大值又有极小值 B．函数的极小值点为1 C．若函数有二个零点，则或 D．若，则 11．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．的极大值为1 C．当时， D．若，则 12．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．点是曲线的对称中心 B．函数有三个零点 C．函数只有一个极值点 D．当时， 13．（22-23高三下·福建福州·开学考试）设函数，则（    ） A．曲线是轴对称图形 B．函数有极大值为 C．若，则 D．若，且，则 14．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）设函数，若，则的最大值为 . 15．（24-25高三上·广东揭阳·阶段练习）已知函数的极大值点为，极小值点为，则等于 . 16．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)若恒成立，求的取值范围． 17．（24-25高三上·甘肃白银·期中）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若关于x的方程有两个不同的解，求a的取值范围. 18．（江苏省无锡市2024-2025学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题）已知函数. (1)若函数有两个不同的极值点，求的取值范围; (2)求函数的单调递减区间. 19．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)试确定函数的极大值与1的大小关系，并说明理由； (2)若函数有3个零点，求实数的取值范围. 20．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)若函数不具有单调性，求实数的取值范围． 21．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若函数，都有，求的取值范围． 22．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数为上的奇函数． (1)求； (2)若函数，讨论的极值． 23．（22-23高三上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知函数． (1)当时，设函数，求函数的单调区间和极值； (2)设是的导函数，若对任意的恒成立，求a的取值范围． 24．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间和极值； (2)若，求a的取值范围． 25．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数． (1)若函数在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围． 26．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）已知，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论是否存在，使函数有极小值？并说明理由． 27．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知集合，集合，且： (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 28．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知函数，设l为曲线在点处的切线，其中． (1)求直线l在y轴上的截距的取值范围： (2)设直线分别与曲线和射线（）交于M，N两点，求的最小值及此时a的值． 29．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知. (1)当时，求函数的极值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 30．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，函数，证明：有且只有一个零点. 31．（2024·四川南充·一模）已知函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)讨论方程的解的个数； (3)求证：. 32．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的极大值． 33．（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求证：当时，； (3)过原点是否存在曲线的切线，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由. 34．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在极小值，讨论与的大小关系. 35．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的极值； (2)当时，若函数在区间上的最小值为，求a的值． 36．（2024高三·全国·专题练习）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） (1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：； (3)若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C AD BD BD AC ABD ACD 题号 11 12 13 答案 AC ACD ACD 1．D 【难度】0.4 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、函数新定义 【分析】利用导数求函数的单调区间和极值，则在极小值和极大值之间，又，列不等式求的取值范围. 【详解】，， 解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 时，有极大值； 时，有极小值， 时，；时，， 若对任意的，总存在三个不相等的实数，，，使得， 则有， ，，即， 所以，解得. 故选：D. 【点睛】关键点点睛： 本题除了利用导数研究函数单调性和极值，关键点是理解的意义，得到和的结论. 2．D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导函数得出单调区间和极值，画出函数大致图像，由图像对选项做出判断. 【详解】 令，则 ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递减； 时，，单调递增， ∴有极大值：，极小值：，且， ∴大致图像如下： 对于选项A：若，则恰有1个零点，故A选项错误. 对于选项B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故选项B错误. 对于选项C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故选项C错误. 对于选项D. 若，则恰有3个零点，故选项D正确. 故选：D 3．D 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、导数（导函数）概念辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】由图象初步确定三次函数的解析式，然后根据解析式分析函数的性质逐项判断即可. 【详解】因为函数为三次函数，可设，. 由图可知：；. 所以设，. 所以，由，. 所以，， 又当时，. 对A: ,，因为，所以，故A正确； 对B：因为，而， 所以成立，故B正确； 对C：， 因为，所以或， 所以：不等式的解集为，故C正确； 对D：因为， 由， 所以，所以，所以，即.故D错误. 故选：D. 4．C 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、锥体体积的有关计算、求空间向量的数量积、点到平面距离的向量求法 【分析】先设边长建系设出点的坐标，再求出点到面的距离得出三棱锥的高，进而得出三棱锥的体积，最后应用导数得出体积的最大值. 【详解】设， 以分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，， 设平面的法向量为，又， 则，即， 令，则，所以， 又， 到平面的距离， ， 令单调递增， 当时，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，建立空间直角坐标系，利用空间向量法得到所求体积的表达式，从而得解. 5．AD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数极值点的辨析 【分析】求导后分析函数的单调性，利用极大值大于零，极小值小于零可得A正确；设切点，由导数的意义求出斜率，再由点斜式得到直线方程，然后由点在切线上代入解方程，由根的个数可得B错误；再次构造函数，从而求出对称中心点即可得C错误；根据函数存在极值点，再结合令，求出即可得D正确； 【详解】对于A，当时，，， 令，解得， 所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数， 若有3个零点，则极大值，极小值， 所以实数的取值范围是，故A正确； 对于B，当时，， 设切点为，则，所以切线的斜率， 切线方程为， 又点在切线上，且， 代入可得， 整理可得，解得或， 所以应该有三条切线，故B错误； 对于C，令，则，得，则三次函数的对称中心是. 当直线与曲线有3个不同的交点，，，且时， 所以点一定是对称中心，所以，故C错误； 对于D：若存在极值点，则，，， 令，得， 因为，于是， 所以， 化简得：， 因为，故，于是，即，故D正确； 故选：AD. 6．BD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】根据导数求值判断A，根据奇偶性的定义判断B，利用导数的正负判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误； 因为且，所以函数为奇函数，故B正确； 由，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极小值为，故C错误； 由C知，函数在上单调递增，故D正确. 故选：BD 7．BD 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】构造函数，进而结合导数分析单调性，得到恒成立，从而判断A；分析可得函数与互为反函数，图象关于直线对称，结合图象即可判断B；表示出函数图象上的点与原点距离，进而结合基本不等式求解判断C；令，进而结合导数分析单调性，从而判断D. 【详解】对于A，设， 则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即恒成立，故A错误； 对于B，函数，则，即， 所以函数与互为反函数，图象关于直线对称， 且直线为函数与唯一的公切线，故B正确；    对于C，函数图象上的点与原点距离为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数图象上的点与原点距离的最小值为，故C错误； 对于D，令， 则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数取得极小值，故D正确. 故选：BD. 8．AC 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析 【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D． 【详解】A．函数，，令，解得或， 故当时，当时，，当时， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极大值点，故A正确； B．， 所以的图象关于点对称，故B错误； C．，易知，的单调性一致，而， 故有2个零点，故C正确； D．当时，，而在上单调递增，故，故D错误． 故选：AC． 9．ABD 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导后由导数大于零恒成立可得A正确；由可得B正确；设切点，由导数的意义得到切线方程，求解可得C错误；求导后分析单调性，利用极大值大于零，极小值小于零可得D正确； 【详解】对于A，，，，单调递增，无极值点，故A正确； 对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C：设切点，则切线方程为， 因为过点，所以，，解得， 即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误； 对于D：，当时，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又有极大值为，所以若函数有3个零点， 则有极小值为，得到，故D正确． 故选：ABD． 10．ACD 【难度】0.4 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】求导，分类讨论可得函数既有极大值又有极小值，且极大值点为1，可判断AB；由函数有两个零点，可得则有两个不等的实根，可判断C；构知函数可得，计算可得，判断D. 【详解】由， 可得， 令，可得或， 当时，， 若时，，函数单调递增， 若时，，函数单调递减， 若时，，函数单调递增， 所以函数既有极大值又有极小值，为极大值， 当时，， 若时，，函数单调递减， 若时，，函数单调递增， 若时，，函数单调递减， 所以函数既有极大值又有极小值，为极大值，故A正确，B错误； 令，则可得， 若函数有二个零点，则有两个不等的实根， 则，解得，又， 所以或，故C正确； 令，则，所以在上单调递增， 所以，所以，所以， 若，， ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．AC 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数图象及性质 【分析】求导判断出函数的单调性可判断A正确，B错误；根据可知，再由单调性可得C正确，画出函数图象利用图象可得对应的解集为，即D错误. 【详解】易知函数的定义域为，则； 当时，，此时在上单调递减， 当或时，，此时在和上单调递增； 对于A，易知在处取得极大值，在处取得极小值， 即是的极小值点，所以A正确； 对于B，显然的极大值为，可知B错误； 对于C，当时，可知， 易知在上单调递减，在上单调递增，又， 因此可得，即C正确； 对于D，画出函数图象如下图所示： 由图可知对应的解集为，可得D错误. 故选：AC 12．ACD 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】选项A根据是奇函数，图象关于点对称可判断；选项B根据导数求得单调性和极值可判断；选项C根据导数判断函数的单调性进而可得；选项D先构造函数利用单调性判断，进而利用的单调性可得. 【详解】选项A：因为是奇函数，图象关于点对称， 所以的图象关于点对称，A正确； 选项B：因为，由解得或，解得， 所以在区间单调递增，单调递减，单调递增， 且，，，所以有两个零点，B错误； 选项C：因为，所以在区间单调递减，单调递增， 即只有一个极值点，C正确； 设，， 由解得，解得， 所以在区间单调递减，单调递增， ，所以， 因为在区间单调递增，所以由， 得，D正确， 故选：ACD． 13．ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式 【分析】A选项，计算即可判断；B选项，利用导数求导判断；C选项，，则，由，利用导数法求解判断；D选项结合B选项的单调性即可判断. 【详解】对A选项，因为，，所以函数关于对称，故A选项正确； 则对B选项，由， ，令 则，在单调递减，在单调递增；所以函数的极小值为，故B选项错误； 对C选项，因为，则，因为，， 所以， 由B选项可知，的极小值为，所以，故C选项正确； 对D选项，因为且，所以，即，由B选项可知，在单调递减，在单调递增； 所以，故D选项正确. 故选：ACD 14．/ 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题意函数，根据得，即， 令，通过导数求的最大值即可. 【详解】由题意，， 令，解得， 当时， 令，解得或， 令，解得，不满足,， 当时， 令，解得或， 令，解得，不满足，， 当时，函数成立，符合条件， 所以，即. 令， 则， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数判断函数的单调性并求最值，本题解题的关键是由得，即，再构造函数，通过导数求的最大值即可. 15． 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】对求导，得到，进而求出的解，再利用极值的定义，即可求解． 【详解】因为，则， 令，得到，解得，， 当时，，时，，时，， 即在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以是极大值点，是极小值点， 得到， 故答案为：. 16．(1) (2)极小值为，无极大值． (3)． 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （3）令，由，得，再结合的单调性可求得，然后再利用导数证明当时，即可. 【详解】（1）当时，， 故曲线在点处的切线方程为． （2）当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，无极大值． （3）令， 由得， 令，则在上单调递减， 又，故． 下面证明当时，． 易知． 设，则， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即 设，则， 当时，， 当时，， 故，则，即． 故，则． 故所求的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键构造函数，结合求出的取值范围再证明，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 17．(1)的极大值为，极小值为 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值 【分析】（1）根据导数判断函数的单调性，据此可得函数极值； （2）转化为方程在上有两个不相等的根，列出不等式组求解. 【详解】（1）. 当时，，为减函数；当和时，，为增函数. 故函数的极大值为，极小值为. （2）由，可知， 又由题意知函数的定义域为， 故方程在上有两个不相等的根， 因为图象的对称轴， 则需，解得. 18．(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，可得有两个大于的不等实根，进而可得，求解即可； （2）求导数，对分类讨论可求得单减区间. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 令，可得， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个大于的不等实根， 所以，解得. 所以的取值范围为； （2）， 求导得 ， 令，解得或， 当时，，由，可得， 函数在上单调递减， 当，，由，可得，函数无单调递减区间， 当，，由，可得， 函数在上单调递减， 当时，，由，可得，函数在上单调递减， 综上所述：当时，函数在上单调递减， 当时，函数无单调递减区间， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减. 19．(1)函数的极大值大于1，理由见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】函数极值的辨析、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而确定其极大值，结合单调性与比较大小即可； （2）根据（1）所得单调性，只需保证极小值即可求参数范围. 【详解】（1）函数的极大值大于1，理由如下： 由题设，令，解得， 当或时，单调递增， 当时，单调递减， 所以时取得极大值，由单调性知， 所以函数的极大值大于1. （2）由（1）知，当时有极大值，且极大值为， 因为，且当时有极小值， 要使函数有3个零点，应满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 20．(1)极大值为，无极小值； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数求出函数单调区间，进而求出函数的极值. （2）根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可推理得证. （3）根据给定条件，利用函数的导数有变号零点，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （2）令，， 求导得，函数在上单调递增， 因此，所以当时，. （3）显然函数在定义域R上的图象连续不断，而该函数不具有单调性， 则函数在R上有变号零点，由，得，令， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，即函数的值域为， 因此当时，函数存在变号零点， 所以实数的取值范围是. 21．(1)有极小值为，无极大值. (2) 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出后讨论其符号可得函数的极值； （2）原不等式即为，设，利用导数求出该函数的最大值后可求参数的取值范围. 【详解】（1），其中， 当时，，当时，， 故有极小值为，无极大值. （2）即为即， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，故. 22．(1) (2)极大值为；无极小值. 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】（1）由，解得，再代入检验即可； （2）利用导数求解即可. 【详解】（1）因为函数为上的奇函数， 由， 此时， 则， 所以为奇函数． 所以； （2）由（1）得：定义域为， ， 由，得；由，得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 极大值；无极小值. 23．(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）将代入可得，求导即可求得其单调区间和极值； （2）将对任意的恒成立转化为对任意的恒成立，构造函数并求得其最小值，解不等式即可得a的取值范围． 【详解】（1）易知函数的定义域为； 当时，可得，则的定义域为； 可得，令，解得； 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值； 因此的单调递减区间为，单调递增区间为； 且的极小值为，无极大值； （2）由可得； 所以，即对任意的恒成立； 即对任意的恒成立； 设，则； 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在时取得极小值，也是最小值，即； 因此只需即可，即， 解得， 所以a的取值范围为. 24．(1)单调递增区间为，递减区间为；极大值为，无极小值； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）将代入，利用导数的正负与原函数的增减关系，确定函数的单调区间，即可得答案； （2）由题意可得即恒成立，设，利用导数求出的最大值即可． 【详解】（1）当时，， ， 令，则， 故在上单调递减，而， 因此0是在上的唯一零点， 即0是在上的唯一零点， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递增区间为，递减区间为； 所以的极大值为，无极小值； （2）由题意知，即，即， 设，则， 令，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 所以， 所以． 所以的取值范围为． 25．(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，利用导函数在上恒成立，分离变量转化即可求解. （2）将问题转化为没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）由，可得， 因为函数在上为增函数， 所以对恒成立，即对恒成立， 令，则，所以在单调递增， 所以，即，所以， 所以，解得，所以实数a的取值范围为； （2）因为函数和函数的图象没有公共点，所以，即无实根， 所以当时，无实根， 因为，即是偶函数， 所以在上无实根.，， 记，则， ①当时，，又，则， 所以，满足在上无实根. ②当时，在上有实根，不合题意，舍去. ③当时，，所以在单调递增， 则，所以在上单调递增， 所以，满足在上无实根. ④当时，因为在上单调递增， 且， 则存在唯一的，使， 当变化时，的变化情况如下： 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，，则在单调递减， 则，又因为，且在上连续， 所以在上有实根，不合题意. 综上可知，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 26．(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导可得，令，进而结合导数分析单调性，进而求解即可. 【详解】（1）因为，所以定义域为， 而，有，且， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）存在，使得存在极小值，理由如下： 由， 则定义域为，， 令，则. 因为，所以令得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大， 当，即时，，即恒成立， 所以在单调递减，此时函数无极小值，舍去； 当，即时， 由于当时，，当时，， 所以有两个解，即有两个解，，且，列表得 － 0 ＋ 0 － 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以存在，使得存在极小值． 27．(1)； (2)极小值1，无极大值. 【难度】0.65 【知识点】根据并集结果求集合或参数、求已知函数的极值、分式不等式 【分析】解不等式化简集合，再利用并集的结果求出的值. （2）由（1）的结论，利用导数求出函数的极值. 【详解】（1）由，得，解得，则， 而，，于是， 解得，此时，符合题意， 所以. （2）由（1）知，的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 28．(1) (2)的最小值为， 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，得到切线的斜率，由此得切线的方程；直线在轴上的截距为．设新的函数，求导，求最值即可. （2）过作轴的垂线，与射线交于点，得到是等腰直角三角形， ． 设 ，求最值即可. 【详解】（1）对求导数，得，所以切线的斜率为，由此得切线的方程为：， 即.得直线在轴上的截距为． 设，．所以，令，得． 列表得： 单调递减 单调递减 所以函数在上单调递减，所以，， 所以直线在轴上的截距的取值范围是． （2）过作轴的垂线，与射线交于点，所以是等腰直角三角形． 所以． 设，，所以． 令，则， 所以在上单调递增， 所以，从而在上单调递增. 所以，此时，． 所以的最小值为，此时． 29．(1)极小值为，无极大值 (2) 【难度】0.4 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调性，从而得到时，时，，，进而得到的单调区间，即可求解； （2）当时，恒成立，则对求导，利用导数研究函数的单调性，求出函数在上不等式成立的必要条件，再验证充分性成立，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由，得到，所以的定义域为， 当时，，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，即，所以在区间上单调递减， 当时，，即，所以在区间单调递增， 则在，无极大值，只有极小值，极小值为， 所以当时，函数的极小值为，无极大值. （2）根据题意知， 则， 设， 则， 因为当时，恒成立，且， 所以，得， 故是原不等式成立的必要条件， 下面证明必要条件也是充分条件， 当，时，， 所以在上单调递增，且， 所以在上单调递增，且， 综上可得的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理， 30．(1)极小值为，无极大值 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导确定函数单调性，然后利用极值的概念求解即可； （2）求导，通过，，讨论单调性即可求证. 【详解】（1）， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数的极小值为，无极大值. （2）即证明“当时，函数有且只有一个零点”，， 由得或， 当，即时， 则在上单调递增，在上单调递减. 又， 此时仅有一个零点. 当，即时，则为上的增函数， 又此时仅有一个零点； 当，即时， 则在上单调递增，在上单调递减. 又， 此时仅有一个零点. 综上，有且只有一个零点. 31．(1)取得极小值，无极大值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究方程的根 【分析】（1）直接利用导数判断函数单调性，进而求得极值； （2）结合函数的图象求解即可； （3）转化为证明，构造函数，，进而结合导数证明即可. 【详解】（1）由，， 则， 由于恒成立，因此令，即， 令，即或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，无极大值. （2）由（1）知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 且，画出函数的大致图象： 由图可知，当时，函数与有2个交点，方程有2个解； 当或时，函数与有1个交点，方程有1个解； 当时，函数与有0个交点，方程有0个解. （3）证明：由，， 即，即， 设，， 所以， 令， 当时，，所以函数在上单调递增， 则 所以令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以. 32．(1) (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再由斜截式得到切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在处的切线方程为. （2）函数的定义域为，且， 当时恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，不存在极大值； 当时，令，解得或， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为； 当时恒成立，所以在上单调递增， 则不存在极大值； 当时，令，解得或， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为； 综上所述，当或时不存在极大值； 当时的极大值为； 当时的极大值为. 33．(1)极大值为，无极小值 (2)证明见解析 (3)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、求已知函数的极值、求过一点的切线方程 【分析】（1）借助导数研究其单调性后计算即可得其极值； （2）构造函数，，借助导数研究其单调性后即可得解； （3）假设存在，设出且点坐标并借助导数的几何意义表示出切线方程，再通过切线过原点可得与切点横坐标有关方程，可得该方程无解，即可得过原点不存在曲线的切线. 【详解】（1）， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 故有极大值，无极小值； （2）令，， 则， 由，则，故在上恒成立， 故在上单调递增， 则， 即当时，； （3）不存在，理由如下： 假设曲线存在过原点的切线，且切点坐标为， 由，则该切线斜率为， 即该切线方程为， 即有，整理得， ，该方程无解， 故过原点不存在曲线的切线. 34．(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求导函数，再分四种情况讨论导函数正负得出函数单调性； （2）结合（1）的结论，分两种情况分别求出函数的极小值，再结合对数函数值范围比较大小关系即可. 【详解】（1）， 若，即，则当时，；当时，； 当，即，则恒成立，当且仅当时，； 若，即，则当或时，；当时，； 若，即，则当或时，；当时，. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，若存在极小值，则， 且当时，，此时，所以； 当时，， 因为，所以，所以. 综上所述，当时，；当时，. 35．(1)极小值为，无极大值 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）由导数的几何意义得到在点处的切线斜率，根据直线垂直的斜率关系得到参数的值，最后利用导数计算极值. （2）对参数分类讨论，每一类中分析在区间的单调性从而得到最小值，最终得到结果. 【详解】（1），， 直线的斜率为1，， ，解得. ，， 令，得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 的极小值为，无极大值. （2）由， 当时，，当时，， 在上单调递减，上单调递增， ①当时，在上单调递增， ，解得（舍）. ②当时，在上单调递减，上单调递增， ，解得. ③当时，在上单调递减， ，解得（舍）. 综上，. 36．(1)，定义域为 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、根据极值求参数、利用导数证明不等式 【分析】（1）先求导函数的极值点，再代入原函数得，化简可得，根据极值存在条件可得； （2）由（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即； （3）先求证的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于，构造差函数，利用导数研究其单调性，在上单调递减，而，故可得的取值范围. 【详解】（1）由，得. 当时，有极小值. 因为的极值点是的零点. 所以，又，故. 因为有极值，故有实根，由得，即. 时，，故在R上是增函数，没有极值； 时，有两个相异的实根，. 列表如下 x + 0 – 0 + 极大值 极小值 故的极值点是. 从而， 因此，定义域为. （2）由（1）知，. 设，则. 当时，，从而在上单调递增. 因为，所以，故，即. 因此. （3）由（1）知，的极值点是，且，. 从而 ， 记，所有极值之和为， 因为的极值为，所以，. 因为，于是在上单调递减. 因为，于是，故. 因此a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$