5.2 等比数列-2024版山东省职教高考数学复习教材

13. 已知 Sn 是等差数列{an} 的前 n 项和,a6 = 0,a3 + a7 = 6. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若 Sn < 0,求 n 的最小值. 5. 2　 等 比 数 列 ! "#$%& 1. 掌握等比数列和等比中项的概念; 2. 掌握等比数列的通项公式及前 n 项和公式; 3. 能运用等比数列的知识解决实际问题. 1.等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么就称这个数列为等比数 列,这个常数称为等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q ≠ 0) . 2.等比数列的通项公式 若等比数列{an} 的首项为 a1,公比为 q,则等比数列{an} 的通项公式为 an = a1qn -1(a1 与 q 均不为 0) . 3.等比中项 当 a,G,b 构成等比数列时,称 G 为 a 与 b 的等比中项,有 G a = b G ,因此 G2 = ab 或 G = ± ab . 在等比数列{an} 中,an-1,an,an+1 成等比数列,且 an an-1 = an+1 an (n ≥ 2,n ∈ N∗) . 76 4.等比数列的判定方法 定义法 an+1 an = q(q ≠ 0,n ∈N∗ )⇔ 数列{an} 是等比数列 等比中项法 an ≠ 0 且 a2n+1 = anan+2(n ∈N∗ )⇔ 数列{an} 为等比数列 5.等比数列的前 n 项和公式 若等比数列{an} 的首项为 a1,公比为 q,则等比数列{an} 的前 n 项和公式为 Sn = na1,q =1, a1(1 - qn) 1 - q = a1 - anq 1 - q ,q ≠ 1. ì î í ï ï ï ï !"#$ 题型一:等比数列的通项公式 ! 1 (2020,5) 在等比数列{an} 中,a1 = 1,a2 = - 2,则 a9 = (　 　 ) A. 256 B. - 256 C. 512 D. - 512 【解析】 设等比数列{an} 的公比为 q. 因为 a1 = 1,a2 = - 2, 所以 q = a2 a1 = - 2, 所以 a9 = a1q8 = 1 ×( - 2) 8 = 256. 【答案】 A 题型二:等比中项 ! 2 已知 3,x,27 三个数成等比数列,则 x = (　 　 ) A. 9 B. - 9 C. 9 或 - 9 D. 0 【解析】 因为 3,x,27 成等比数列, 所以x2 = 3 × 27 = 81,解得 x = 9 或 - 9. 【答案】 C 86 题型三:等比数列的前 n 项和 ! 3 已知数列{an} 是公比为正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和,a2 = 2,a4 = 8,则 S3 = (　 　 ) A. 63 B. 31 C. 15 D. 7 【解析】 设等比数列{an} 的公比为 q,则 q > 0. 由 q2 = a4 a2 = 8 2 = 4 得 q = 2, 所以 a1 = a2 q = 1, 所以 S3 = a1(1 -q3) 1 - q = 1 × (1 - 2 3) 1 - 2 = 7. 【答案】 D ! 4 设等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn,已知 S6 = 3S3,a7 = 12,则 a1 = (　 　 ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 D. 3 【解析】 因为 S6 = 3S3, 所以 q ≠ 1,an ≠ 0. 所以 a1(1 -q6) 1 - q = 3a1(1 -q3) 1 - q ,解得q3 = 2. 因为 a7 = a1q6 = a1 × 22 = 12, 所以 a1 = 3. 【答案】 D 题型四:等比数列的实际应用 ! 5 中国古代数学著作《算法统宗》 中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚 痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还. ” 其大意为:“有一个人走 378 里路,第一天 健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地,请问第二天走的路程. ” 根据此规律,该人第一天走的路程为 (　 　 ) A. 228 里 B. 192 里 C. 126 里 D. 63 里 【解析】 易知该人每天所走的路程构成以 1 2 为公比的等比数列,记该数列为{an},其前 n 项和为 Sn, 由题意得 S6 = a1 1 - 1 26( ) 1 - 1 2 = 378,解得 a1 = 192. 所以该人第一天走的路程为 192 里. 【答案】 B 96 ! 6 (2022,28) 如图所示, 已知等边 △ABC 的边长为 6, 顺次连接 △ABC 各边的中点, 构成 △A1B1C1,再顺次连接 △A1B1C1 各边的中点,构成 △A2B2C2,依此进行下去,直至构成 △AnBnCn,这 n个新构 成的三角形的边长依次记作 a1,a2,…,an . (1) 求 a1,a2,a3 的值; (2) 若 △AnBnCn 的边长小于 0. 01,求 n 的最小值. 【解析】 (1) 因为 A1,B1,C1 分别为边 AB,BC,AC 的中点, 所以由中位线的性质可知新构成的 △A1B1C1 仍为等边三角形, 且 A1C1 = 1 2 BC = 3, 所以 a1 = A1C1 = 3. 同理可得 a2 = 1 2 A1C1 = 1 2 a1 = 3 2 , a3 = 1 2 a2 = 3 4 . (2) 由(1) 可知,a1,a2,a3,…,an 构成等比数列,且首项为 3,公比 q = 1 2 , 所以 △AnBnCn 的边长 an = a1qn -1 = 3 × 1 2( ) n-1 . 因为 △AnBnCn 的边长小于 0. 01, 所以 3 × 1 2( ) n-1 < 0. 01,即 n - 1 > log 1 2 1 300 = log2 300 ≈ 8. 23, 因为 n ∈ N∗, 所以 n 的最小值为 10. 题型五:等比数列的综合 ! 7 (2021,27) 在数列{an} 中,an > 0,a1 = 1,2an+1 - an = 0. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若 bn = log2an,求数列{bn} 的前 90 项和 S90 . 【解析】 (1) 因为 2an+1 - an = 0, 所以 an+1 an = 1 2 , 07 所以数列{an} 是等比数列,公比 q = 1 2 . 又首项 a1 = 1, 所以 an = a1·qn -1 = 1 2( ) n-1 . (2) 易知 bn =log2an = log221 -n = 1 - n. 因为 bn+1 - bn = - 1,b1 = 0, 所以数列{bn} 是等差数列,公差 d = - 1,首项 b1 = 0, 所以 S90 = 90b1 + 90 × 89 2 × d = 90 × 0 + 90 × 89 2 × ( - 1) = - 4 005. 1. 已知实数 m 是 2,8 的等比中项,则 m = (　 　 ) A. ± 4 B. - 4 C. 4 D. 5 2. 已知等比数列{an} 的公比为 q,前 n 项和为 Sn . 若 q = 2,a1 = - 2,则 S4 = (　 　 ) A. - 24 B. - 28 C. - 30 D. - 32 3. 已知正项等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn,若 a1 = 2,S3 = 14,则公比为 (　 　 ) A. 3 B. - 1 C. 1 D. 2 4. 若等比数列{an} 的前 n 项和 Sn = 2n - 1,则数列{an} 的公比 q 为 (　 　 ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 D. 3 5. 在数列{an} 中,an+1 = - 2an,且 a2 = 1,则 an = (　 　 ) A. 2n-2 B. ( - 2) n-2 C. 2n-1 D. ( - 2) n-1 6. 某地区现有28万农村贫困人口,如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务,并且后一年的脱贫任务是前一 年任务的一半,为了按时完成脱贫攻坚任务,那么第一年需要完成的脱贫任务是 (　 　 ) A. 10 万人口 B. 12 万人口 C. 14 万人口 D. 16 万人口 17 7. 已知在公比为 q 的等比数列{an} 中,a6 = 512,a3 = 64,则 q = . 8. 若数列{an} 为首项为 3,公比为 2 的等比数列,则 S7 = . 9. 假设某银行的活期存款年利率为 0. 35%,某人存入 10 万元后,既不再存款也不取款,每年到期利息连同本 金自动转存. 如果不考虑利息税及利率的变化,用 an 表示第 n 年到期时的存款余额,则an = . 10. 已知等比数列{an} 满足 a1 = 1,a4 = 8,Sn 为数列{an} 的前 n 项和. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 求 S6 的值. 11. 记等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,a3 = 5,S3 = 9. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 记 bn = 3 an,求数列{bn} 的前 n 项和Tn . 12. 等比数列{an} 的公比为 2,且 a2,a3 + 2,a4 成等差数列. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若 bn =log2an + an,求数列{bn} 的前 n 项和Tn . 27 9. B　 【解析】∵ 数列{an} 是首项为 - 9,公差为 2 的等差数列,∴ Sn = - 9n + n(n - 1) 2 × 2 = n2 - 10n =(n - 5) 2 - 25,∴ 当 n = 5 时,Sn 取得最小值 - 25. 10. 0　 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d,根据题意得 a2 = a1 + d = 3, S4 = 4a1 + 4 × 3 2 d = 10, ì î í ïï ïï 解得 a1 = 4,d = - 1,所以 a5 = a1 + 4d = 4 - 4 = 0. 11. 3　 【解析】 因为 2,a,7 - a 成等差数列,所以 2a = 2 + 7 - a,解得 a = 3. 12. 【解析】(1) 由题意知,每年的各种费用构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列,设此数列为{an},则前 n 年的各种费用和 Sn = 2n + n(n - 1) 2 × 2 = n2 + n. 设利润与年数 n 的关系为 f(n), 则 f(n) = 21n - Sn - 25 = - n2 + 20n - 25. 由题意可得 f(n) > 0 得,即 n2 - 20n + 25 < 0 ,解得 10 - 5 3 < n < 10 + 5 3 . 又 n ∈ N + , 所以 n 最小为 2,即第 2 年后该公司开始获利. (2) 因为 f(n) = - n2 + 20n - 25 = - (n - 10) 2 + 75, 所以当 n = 10 时,f(n) 取得最大值,即设备使用到第 10 年,该公司的获利最大. 13. 【解析】(1) 设等差数列{an} 的公差为 d. 由题意得 a6 = a1 + 5d = 0, a3 + a7 = a1 + 2d + a1 + 6d = 6, { 解得 a1 = 15,d = - 3, 所以 an = a1 + (n - 1)d = - 3n + 18. (2) 由(1) 知 an = - 3n + 18,a1 = 15, 所以 Sn = n(a1 + an) 2 = [15 + ( - 3n + 18)]·n 2 = - 3 2 n2 + 33 2 n. 令 Sn < 0,得 - 3 2 n2 + 33 2 n < 0,即 n2 - 11n > 0,即 n(n - 11) > 0,解得 n > 11(n < 0 舍去) . 因为 n ∈N∗ , 所以 n 的最小值是 12. 5. 2　 等 比 数 列 1. A　 【解析】 因为实数 m 是 2,8 的等比中项,所以m2 = 2 × 8 = 16,解得 m = ± 4. 2. C　 【解析】 因为 a1 = - 2,q = 2,所以 S4 = ( - 2) × (1 - 24 ) 1 - 2 = - 30. 3. D　 【解析】 设该等比数列的公比为 q,则 q > 0. 由 a1 = 2,S3 = 14 得,S3 = 14 = a1(1 - q3 ) 1 - q = a1(1 + q +q2 ) = 2(1 + q + q2 ),则q2 + q - 6 = 0,解得 q = 2(负值舍去) . 912 4. C　 【解析】 因为等比数列{an} 的前 n 项和 Sn = 2n - 1,所以 a1 = S1 = 1,a2 = S2 - S1 = 3 - 1 = 2,所以 q = a2 a1 = 2. 5. B　 【解析】∵ an+1 = - 2an,a2 = 1,∴ an+1 an = - 2,a2 = - 2a1 = 1,解得 a1 = - 1 2 ,∴ 数列{an} 是首项为 - 1 2 ,公比为 - 2 的 等比数列,∴ an = - 1 2 ×( - 2) n-1 = ( - 2) n-2 . 6. D　 【解析】 易知该地区每年脱贫人口构成以 1 2 为公比的等比数列, 记该数列为 {an}, 其前 n 项和为 Sn, 则 S3 = a1 1 - 1 23( ) 1 - 1 2 = 28,解得 a1 = 16. 7. 2　 【解析】q3 = a6 a3 = 512 64 = 8,解得 q = 2. 8. 381　 【解析】 根据等比数列的前 n 项和公式得 S7 = 3(1 - 27 ) 1 - 2 = 381. 9. 10 ×1. 003 5n 　 【解析】 易知每年到期时的存款余额构成以 1. 003 5 为公比的等比数列,且 a1 = 10 × 1. 003 5,所以 an = a1 × 1. 003 5n-1 = 10 ×1. 003 5n . 10. 【解析】(1) 设等比数列{an} 的公比为 q. ∵ a1 = 1,a4 = 8, ∴ a4 = a1q3 = q3 = 8,解得 q = 2, ∴ an = a1 ·qn -1 = 2n-1 . (2) 由(1) 知 q = 2, ∴ Sn = a1(1 -qn) 1 - q = 1 - 2 n 1 - 2 = 2n - 1, ∴ S6 = 26 - 1 = 63. 11. 【解析】(1) 设等差数列{an} 的公差为 d. 由题可知 a1 + 2d = 5, 3a1 + 3 × (3 - 1) 2 d = 9, ì î í ïï ïï 解得 a1 = 1,d = 2, ∴ an = a1 + (n - 1)d = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1. (2)∵ bn = 3 an = 32n-1 , ∴ b1 = 3, bn+1 bn = 3 2n+1 32n-1 = 9, ∴ 数列{bn} 是首项为 3,公比为 9 的等比数列, ∴ Tn = 3(1 - 9n) 1 - 9 = 3(9 n - 1) 8 . 022