5.1 等差数列-2024版山东省职教高考数学复习教材

(2) 易知函数 f(x) = log2x 的定义域为(0, + ∞ ),且 f(x) = log2x 为增函数. ∵ f(1 + x) < f(3), ∴ 1 + x < 3, 1 + x > 0,{ 解得 - 1 < x < 2, ∴ 不等式 f(1 + x) < f(3) 的解集为( - 1,2) . 12. 【解析】(1) 要使函数 f(x) = ln(2 - x) + ln(2 + x) 有意义, 须 2 - x > 0, 2 + x > 0,{ 解得 - 2 < x < 2, 所以函数 f(x) 的定义域为( - 2,2),关于原点对称. 又 f( - x) = ln(2 + x) + ln(2 - x) = f(x), 所以函数 f(x) 是偶函数. (2) 方程 f(x) = 0,即 ln(2 - x) + ln(2 + x) = 0,即 ln[(2 - x)(2 + x)] = ln 1,即(2 - x)(2 + x) = 1, 所以 4 - x2 = 1,即 x2 = 3,解得 x = 3 或 x = - 3 , 故方程 f(x) = 0 的解为 x = 3 或 x = - 3 . 第五章 　 数 　 　 列 5. 1　 等 差 数 列 1. B　 【解析】 因为 an = 2 n,所以 a9 = 2 9 = 6. 2. D　 【解析】 对于 A,a3 = 1 23 ≠ 1 6 ,不符合题意;对于 B,a1 = 1 21 - 1 ≠ 1 2 ,不符合题意;对于 C,a1 = 1 2 × 1 + 1 ≠ 1 2 ,不符 合题意;对于 D,a1 = 1 2 × 1 = 1 2 ,a2 = 1 2 × 2 = 1 4 ,a3 = 1 2 × 3 = 1 6 ,a4 = 1 2 × 4 = 1 8 ,符合题意. 3. A　 【解析】 因为等差数列{an} 中,公差 d = 4,a5 = a1 + 4d = a1 + 4 × 4 = 7,所以 a1 = - 9. 所以 an = a1 + (n - 1)d = - 9 + (n - 1) × 4 = 4n - 13. 令 an = 4n - 13 = 479,解得 n = 123,所以 479 是数列的第 123 项. 4. B　 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d.由题意得 a3 = a1 + 2d = 4, S6 = 6a1 + 15d = 30, { 解得 a1 = 0,d = 2,所以 a2 = a1 + d = 0 + 2 = 2. 5. C　 【解析】 依题意,该公司每年研发费用依次成等差数列,设为{an} . 易知{an} 的首项 a1 = 4,公差 d = 2,所以该公司第 n 年的研发费用为 an = a1 + (n - 1)d = 2n + 2. 令 2n + 2 ≥ 20,解得 n ≥ 9,所以从 2023 年开始第 9 年,即 2031 年的费用 首次达到 20 亿元. 6. B　 【解析】 根据题意得 a3 = a1 + 2d = 7, a5 + a8 = a1 + 4d + a1 + 7d = 42, { 解得 a1 = - 1,d = 4. 7. C　 【解析】∵ a1 = - 2,d = 2,等差数列{an} 的前 n 项和 Sn = na1 + n(n - 1) 2 d,∴ S10 = - 2 × 10 + 10 × 9 2 × 2 = 35 2 . 8. A　 【解析】 由等差数列{an} 的通项公式 an = 3 - 4n,得 a1 = - 1,a2 = - 5,所以公差 d = a2 - a1 = - 5 - ( - 1) = - 4. 812 9. B　 【解析】∵ 数列{an} 是首项为 - 9,公差为 2 的等差数列,∴ Sn = - 9n + n(n - 1) 2 × 2 = n2 - 10n =(n - 5) 2 - 25,∴ 当 n = 5 时,Sn 取得最小值 - 25. 10. 0　 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d,根据题意得 a2 = a1 + d = 3, S4 = 4a1 + 4 × 3 2 d = 10, ì î í ïï ïï 解得 a1 = 4,d = - 1,所以 a5 = a1 + 4d = 4 - 4 = 0. 11. 3　 【解析】 因为 2,a,7 - a 成等差数列,所以 2a = 2 + 7 - a,解得 a = 3. 12. 【解析】(1) 由题意知,每年的各种费用构成以 2 为首项,2 为公差的等差数列,设此数列为{an},则前 n 年的各种费用和 Sn = 2n + n(n - 1) 2 × 2 = n2 + n. 设利润与年数 n 的关系为 f(n), 则 f(n) = 21n - Sn - 25 = - n2 + 20n - 25. 由题意可得 f(n) > 0 得,即 n2 - 20n + 25 < 0 ,解得 10 - 5 3 < n < 10 + 5 3 . 又 n ∈ N + , 所以 n 最小为 2,即第 2 年后该公司开始获利. (2) 因为 f(n) = - n2 + 20n - 25 = - (n - 10) 2 + 75, 所以当 n = 10 时,f(n) 取得最大值,即设备使用到第 10 年,该公司的获利最大. 13. 【解析】(1) 设等差数列{an} 的公差为 d. 由题意得 a6 = a1 + 5d = 0, a3 + a7 = a1 + 2d + a1 + 6d = 6, { 解得 a1 = 15,d = - 3, 所以 an = a1 + (n - 1)d = - 3n + 18. (2) 由(1) 知 an = - 3n + 18,a1 = 15, 所以 Sn = n(a1 + an) 2 = [15 + ( - 3n + 18)]·n 2 = - 3 2 n2 + 33 2 n. 令 Sn < 0,得 - 3 2 n2 + 33 2 n < 0,即 n2 - 11n > 0,即 n(n - 11) > 0,解得 n > 11(n < 0 舍去) . 因为 n ∈N∗ , 所以 n 的最小值是 12. 5. 2　 等 比 数 列 1. A　 【解析】 因为实数 m 是 2,8 的等比中项,所以m2 = 2 × 8 = 16,解得 m = ± 4. 2. C　 【解析】 因为 a1 = - 2,q = 2,所以 S4 = ( - 2) × (1 - 24 ) 1 - 2 = - 30. 3. D　 【解析】 设该等比数列的公比为 q,则 q > 0. 由 a1 = 2,S3 = 14 得,S3 = 14 = a1(1 - q3 ) 1 - q = a1(1 + q +q2 ) = 2(1 + q + q2 ),则q2 + q - 6 = 0,解得 q = 2(负值舍去) . 912 5. 1　 等 差 数 列 ! "#$%& 1. 理解数列的概念,理解数列的通项公式、前 n 项和公式的含义; 2. 掌握等差数列和等差中项的概念,掌握等差数列的通项公式及前 n 项和公式; 3. 能运用等差数列的知识解决实际问题. 1.数列的相关概念 (1) 数列的定义 按照一定次序排成的一列数称为数列,简记为{an},其中,a1 称为数列的首项,an 称为数列的第 n 项, n 称为项数. (2) 数列的分类 ① 有穷数列:项数有限的数列. 如数列 1,2,3,4. ② 无穷数列:项数无限的数列. 如数列 2,4,8,16,32,…. ③ 常数列:所有项均为同一个数的数列. 如数列 3,3,3,3,3,…. (3) 数列的表示方法 ① 列举法:适合于有穷数列,如数列 1,3,7,4,4,6. ② 通项公式:an 与 n 的关系式,如 an = 2n,表示数列 2,4,6,…. ③ 递推公式:相邻项之间的关系式,如 an+1 = 2an - 3. (4) 数列的前 n 项和 ① 数列{an} 的前 n 项和一般记为 Sn,即 Sn = a1 + a2 + a3 + … + an . ② 数列{an} 的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系为 an = S1,n = 1, Sn - Sn-1,n ≥ 2. { 26 2.等差数列 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么就称这个数列为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 3.等差数列的通项公式 首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an} 的通项公式为 an = a1 + (n - 1)d. 4.等差中项 当 a,A,b 成等差数列时,A 称为 a 和 b 的等差中项,有 A = a + b 2 . 在等差数列{an} 中,an-1,an,an+1 成等差数列,且 an = an-1 + an+1 2 (n ≥ 2,n ∈ N∗) . 5.判定等差数列的方法 定义法 an+1 - an = d(n ∈ N∗ ) 或 an - an-1 = d(n ≥ 2,n ∈ N∗ )⇔ 数列{an} 是等差数列 等差中项法 2an+1 = an + an+2(n ∈ N∗ )⇔ 数列{an} 是等差数列 6.等差数列的前 n 项和公式 若等差数列{an} 的首项为 a1,公差为 d,则 Sn = n(a1 + an) 2 =na1 + n(n - 1) 2 d. !"#$ 题型一:数列的概念 ! 1 数列 5,2, - 3, - 10,… 的通项公式可能是 (　 　 ) A. an = 6 - n2 B. an = 6 - n3 C. an = 6 - n D. an = 8 - 3n 【解析】 由 an = 6 - n2,得 a1 = 5,a2 = 2,a3 = - 3,a4 = - 10,故 A 符合题意; 由 an = 6 - n3,得 a1 = 5,a2 = - 2,故 B 不符合题意; 由 an = 6 - n,得 a1 = 5,a2 = 4,故 C 不符合题意; 由 an = 8 - 3n,得 a1 = 5,a2 = 2,a3 = - 1,故 D 不符合题意. 【答案】 A ! 2 数列{an} 中,an = 2n2 - 3,则 125 是这个数列的第 项. 【解析】 由 an = 125 得 2n2 - 3 = 125,解得 n = 8(负值舍去), 所以 125 是这个数列的第 8 项. 【答案】 8 36 题型二:等差数列的通项公式 ! 3 (2022,4) 在等差数列{an} 中,已知 a1 = 2,a2 + a3 = 10,则该数列的公差是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d. 由 a1 = 2 得 a2 + a3 = a1 + d + a1 + 2d = 2a1 + 3d = 4 + 3d = 10,解得 d = 2. 【答案】 B 题型三:等差中项 ! 4 若 1,x,2 成等差数列,则 (　 　 ) A. x = 3 2 B. x = 3 C. x = 2 D. x = ± 2 【解析】 因为 1,x,2 成等差数列, 所以 x = 1 + 2 2 = 3 2 . 【答案】 A 题型四:等差数列的前 n 项和 ! 5 已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,若 S4 = 8,S7 = 35,则 a5 = (　 　 ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【解析】 设等差数列{an} 的公差为 d. 因为 S4 = 8,S7 = 35, 所以 4a1 + 4 × (4 - 1) 2 d = 8, 7a1 + 7 × (7 - 1) 2 d = 35, ì î í ï ï ï ï 解得 a1 = - 1, d = 2,{ 所以 a5 = a1 + 4d = 7. 【答案】 C 题型五:等差数列的实际应用 ! 6 (2021,18) 在《九章算术》 中有如下问题:“有甲、乙、丙、丁、戊五人分 30 斤小米,其中甲、乙两人 所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依 次成等差数列,问每人各分多少斤. ” 那么,甲所分小米的斤数是 (　 　 ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【解析】 甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数依次构成等差数列,记为{an} . 由题意知,a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 30,a1 + a2 = a3 + a4 + a5, 所以 a1 + a2 = 15,a3 + a4 + a5 = 15. 设数列{an} 的公差为 d,则 a1 + a2 = a1 + a1 + d = 2a1 + d = 15,a3 + a4 + a5 = a1 + 2d + a1 + 3d + a1 + 4d = 3a1 + 9d = 15. 46 由 2a1 + d = 15, 3a1 + 9d = 15 { 得 a1 = 8, d = - 1,{ 所以甲所分小米的斤数是 8. 【答案】 C ! 7 (2020,27) 某男子擅长走路,9 天共走了 1 260 里,其中第 1 天、第 4 天、第 7 天所走的路程之和为 390 里. 若从第 2 天起,每天比前一天多走的路程相同,问该男子第 5 天走多少里? 这是我国古代数学专著 《九章算术》 中的一个问题,请尝试解决. 【解析】 因为从第 2 天起,每天比前一天多走的路程相同, 所以该男子这 9 天中每天走的路程依次构成等差数列. 设该数列为{an},第 1 天走的路程为首项 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn . 由题意可知 S9 = 1 260,a1 + a4 + a7 = 390. 所以 9a1 + 9 × (9 - 1) 2 d = 1 260, a1 + a1 + 3d + a1 + 6d = 390, ì î í ï ï ï ï 解得 a1 = 100, d = 10,{ 所以 a5 = a1 + 4d = 100 + 4 × 10 = 140, 所以该男子第 5 天走 140 里. 题型六:等差数列的综合 ! 8 在等差数列{an} 中,a10 = 30,a20 = 50. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若 Sn = 242,求 n. 【解析】 (1) 设等差数列{an} 的公差为 d. 因为 a10 = 30,a20 = 50, 所以 a1 + 9d = 30, a1 + 19d = 50, { 解得 a1 = 12, d = 2,{ 所以 an = a1 + (n - 1)d = 12 + 2(n - 1) = 2n + 10. (2) 由(1) 知 Sn = a1n + n(n - 1) 2 d = 12n + n(n - 1) 2 × 2 = n2 + 11n. 由 Sn = 242 得 n2 + 11n - 242 = 0,解得 n = - 11 + 112 - 4 × 1 × ( - 242) 2 = 11(负值舍去) . 56 1. 已知数列{an} 的通项公式为 an = 2 n ,则 a9 = (　 　 ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 2. 已知数列{an} 的前四项为 1 2 , 1 4 , 1 6 , 1 8 ,则{an} 的一个通项公式可以是 (　 　 ) A. an = 1 2n B. an = 1 2n - 1 C. an = 1 2n + 1 D. an = 1 2n 3. 在等差数列{an} 中,a5 = 7,公差 d = 4,则 479 是数列的第 (　 　 ) A. 123 项 B. 97 项 C. 85 项 D. 187 项 4. 已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,且 a3 = 4,S6 = 30,则 a2 = (　 　 ) A. - 2 B. 2 C. 4 D. 6 5. 我国商用中大型无人机产业已进入发展快车道,某无人机生产公司2023年投入研发费用4亿元,计划此后 每年研发费用比上一年都增加 2 亿元,则该公司一年的研发费用首次达到 20 亿元是在 (　 　 ) A. 2029 年 B. 2030 年 C. 2031 年 D. 2032 年 6. 在等差数列{an} 中,若 a3 = 7,a5 + a8 = 42,则公差 d = (　 　 ) A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 7. 在等差数列{an} 中,a1 = - 2 ,公差 d = 2 ,则{an} 的前 10 项和 S10 = (　 　 ) A. 25 2 B. 30 2 C. 35 2 D. 40 2 8. 已知等差数列{an} 的通项公式 an = 3 - 4n,则等差数列{an} 的公差 d = (　 　 ) A. - 4 B. - 1 C. 3 D. 4 9. 已知数列{an} 是首项为 - 9,公差为 2 的等差数列,那么 Sn 的最小值是 (　 　 ) A. - 5 B. - 25 C. 24 D. 11 10. 已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,若 a2 = 3,S4 = 10,则 a5 = . 11. 已知 2,a,7 - a 成等差数列,则 a 的值为 . 12. 某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备,投入设备后每年收益为 21 万元. 同时,公司每年需要付设 备的维修和工人工资等费用,第一年各种费用 2 万元,第二年各种费用 4 万元,以后每年各种费用都增加 2 万元. (1) 引进这种设备后,第几年后该公司开始获利? (2) 这种设备使用到第几年时,该公司的获利最大? 66 13. 已知 Sn 是等差数列{an} 的前 n 项和,a6 = 0,a3 + a7 = 6. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若 Sn < 0,求 n 的最小值. 5. 2　 等 比 数 列 ! "#$%& 1. 掌握等比数列和等比中项的概念; 2. 掌握等比数列的通项公式及前 n 项和公式; 3. 能运用等比数列的知识解决实际问题. 1.等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么就称这个数列为等比数 列,这个常数称为等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q ≠ 0) . 2.等比数列的通项公式 若等比数列{an} 的首项为 a1,公比为 q,则等比数列{an} 的通项公式为 an = a1qn -1(a1 与 q 均不为 0) . 3.等比中项 当 a,G,b 构成等比数列时,称 G 为 a 与 b 的等比中项,有 G a = b G ,因此 G2 = ab 或 G = ± ab . 在等比数列{an} 中,an-1,an,an+1 成等比数列,且 an an-1 = an+1 an (n ≥ 2,n ∈ N∗) . 76