4.1 指数和指数函数-2024版山东省职教高考数学复习教材

4. 1　 指数和指数函数 ! "#$%& 1. 掌握实数指数幂的运算法则,能利用计算器求实数指数幂的值; 2. 理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质; 3. 能运用指数函数的知识解决有关问题. 1.实数指数幂 (1)n 次方根的概念与性质 概念 如果 bn = a(n > 1,n ∈ N∗ ),那么称数 b 为 a 的 n 次方根 性质 ① 当 n 是奇数时,实数 a 的 n 次方根存在且只有一个,表示为n a,正数 a 的 n 次方根是一个正数,负数 a 的 n 次方 根是一个负数. 例如, 3 - 8 = 2,3 8 = - 2, 3 a6 = a2 . ② 当 n为偶数时,正实数 a有两个 n次方根,且这两个数互为相反数,分别为n a, - n a,其中n a 称为 a的 n次算术根, 负实数 a 没有偶次方根. ③ 0 的任何次方根为 0,记作n 0 = 0 　 　 (2) 根式的概念与性质 概念 式子 n a(n > 1,n ∈ N∗ ) 称为根式,其中 n 称为根指数,a 称为被开方数 性质 ①( n a) n = a. ② 当 n 为奇数时, n an = a. ③ 当 n 为偶数时, n an = | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0{ 94 　 　 (3) 分数指数幂 ① 正数的正分数指数幂:a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1) . ② 正数的负分数指数幂:a - mn = 1 a m n = 1 n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1) . ③ 0 的分数指数幂:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义,00 没有意义. (4) 实数指数幂的运算法则 ①aαaβ = aα+β(a > 0,α,β ∈ R); ②(aα) β = aαβ(a > 0,α,β ∈ R); ③(ab) α = aαbα(a > 0,b > 0,α ∈ R) . 2.指数函数的概念 一般地,形如 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 的函数称为指数函数,其中 x 是自变量,x ∈ R,a 称为指数函数的 底数. 3.指数函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象与性质 解析式 y = ax(0 < a < 1) y = ax(a > 1) 图象 定义域 R 值域 (0, + ∞ ) 性质 当 x = 0 时,y = 1,即图象过定点(0,1) 当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1 当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 4.利用计算器求实数指数幂的值 幂运算可以用科学型计算器完成,操作步骤为:设置计算器为普通计算状态→输入底→按键 xy →输 入指数 → 按键 = 显示计算结果. 05 !"#$ 题型一:根式的意义及化简求值 ! 1 若 a - 1 + 3 a - 2 有意义,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a ≥ 0 B. a ≥ 1 C. a ≥ 2 D. a ∈ R 【解析】 要使 a - 1 + 3 a - 2 有意义,须 a - 1 和 3 a - 2 都有意义. 易得对于任意实数 a, 3 a - 2 都有意义. 若 a - 1 有意义,则 a - 1 ≥ 0,解得 a ≥ 1. 所以 a 的取值范围是 a ≥ 1. 【答案】 B ! 2 a 是实数,则下列式子中可能没有意义的是 (　 　 ) A. 4 a2 B. 5 a C. 7 - a D. 8 a 【解析】 a 是实数,a2 ≥ 0 恒成立,故 4 a2 有意义,故 A 不符合题意; a 是实数,则 a, - a 的奇次方根有意义,故 B,C 不符合题意; 当 a < 0 时,a 的偶次方根无意义,故 D 符合题意. 【答案】 D ! 3 化简 (π - 4) 2 + 3 (π - 4) 3 = (　 　 ) A. 0 B. 2π - 8 C. 2π - 8 或 0 D. 8 - 2π 【解析】 因为 π < 4, 所以 π - 4 < 0, 所以 (π - 4) 2 + 3 (π - 4) 3 =| π - 4 | + π - 4 = 4 - π + π - 4 = 0. 【答案】 A 题型二:分数指数幂与根式的互化 ! 4 用分数指数幂的形式表示 a3· a (a > 0) 的结果是 (　 　 ) A. a 5 2 B. a 7 2 C. a4 D. a 3 2 【解析】 ∵ a > 0, ∴ a3· a = a3·a 1 2 = a3 + 12 = a 7 2 . 【答案】 B 15 ! 5 将 5 3 2 写成根式,正确的是 (　 　 ) A. 3 52 B. 3 5 C. 5 3 2 D. 53 【解析】 5 3 2 = 53 . 【答案】 D 题型三:实数指数幂的运算 ! 6 8 - 13 +( - 1) 0 = (　 　 ) A. - 1 B. 1 2 C. 3 2 D. - 3 【解析】 8 - 13 +( - 1) 0 = ( 8 1 3 ) -1 + 1 = 2 -1 + 1 = 3 2 . 【答案】 C ! 7 下列运算正确的是 (　 　 ) A. a2·a3 = a6 B. (a3) 2 = a5 C. ( - 3) 2 = 3 D. (a + b) 2 = a2 + b2 【解析】 a2·a3 = a5,故 A 错误;(a3) 2 = a6,故 B 错误; ( - 3) 2 = 9 = 3,故 C 正确;(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2,故 D 错误. 【答案】 C 题型四:指数函数的概念 ! 8 已知函数 f(x) = ax(a > 0,a ≠ 1) 的图象过点 P(2,9),则 f( - 1) = (　 　 ) A. 3 B. - 3 C. 1 3 D. - 1 3 【解析】 由题意可知 f(2) = a2 = 9,解得 a = 3, 所以 f(x) = 3x, 所以 f( - 1) = 1 3 . 【答案】 C ! 9 (2021,25) 已知点 A,B,C 在函数 y = 3x 的图象上,这三个点的横坐标依次构成公差为 1 的等差 数列. 若点 A 的横坐标为 m,△ABC 的面积为 S. 把 S 表示为以 m 为自变量的函数, 则该函数的解析式 是 . 25 【解析】 由题意知,A(m,3m),B(m + 1,3m+1),C(m + 2,3m+2) . 作 AA1 垂直 x 轴于点 A1,作 BB1 垂直 x 轴于点 B1,作 CC1 垂直 x 轴于点 C1,如图 所示. 因为梯形 AA1C1C 的面积为 1 2 × (3m + 3m+2) × 2 = 3m + 3m+2 = 10 × 3m,梯形 AA1B1B 的面积为 1 2 × (3m + 3m+1) × 1 = 2 × 3m,梯形 BB1C1C 的面积为 1 2 × (3m+1 + 3m+2) × 1 = 6 × 3m, 所以 △ABC 的面积 S = 10 × 3m - 2 × 3m - 6 × 3m = (10 - 2 - 6) × 3m = 2 × 3m . 【答案】 S = 2 × 3m 题型五:指数函数的图象与性质 ! 10 (2020,13) 已知函数 y = f(x) 是偶函数,当 x ∈ (0, + ∞ ) 时,y = ax(0 < a < 1),则该函数在 ( - ∞ ,0) 上的图象大致是 (　 　 ) A. B. C. D. 【解析】 因为当 x ∈ (0, + ∞ ) 时,y = ax(0 < a < 1),所以 f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递减. 又 f(x) 是 偶函数,所以 f(x) 在( - ∞ ,0) 上单调递增,故排除 A,D. 易知当 x ∈ (0, + ∞ ) 时,y = ax > 0 恒成立,所以当 x ∈ ( - ∞ ,0) 时,y = ax > 0 恒成立,故排除 C,选 B. 【答案】 B ! 11 函数 y = 2x(1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为 (　 　 ) A. 1 7 B. 1 5 C. 1 3 D. 4 【解析】 因为函数 y = 2x(1 ≤ x ≤ 2) 的底数为 2 > 1, 所以函数 y = 2x(1 ≤ x ≤ 2) 为增函数, 所以函数 y = 2x(1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为 22 = 4. 【答案】 D 35 题型六:利用计算器求实数指数幂的值 ! 12 利用计算器求下列各式的值(保留到小数点后第三位) . (1)0. 32. 1;　 　 (2)2 - 34 ;　 　 (3)5 2 . 【解析】 设置计算器为普通计算状态. (1) 操作步骤为:按 0 → . → 3 → xy → 2 → . → 1 → = ,显示计算结果 0. 079 7…, 所以 0. 32. 1 ≈ 0. 080. (2) 操作步骤为:按 2 → xy → ( → - → 3 → ÷ → 4 → ) → = ,显示计算 结果 0. 594 6…, 所以 2 - 34 ≈ 0. 595. (3) 操作步骤为:按 5 → xy → 　 → 2 → = ,显示计算结果 9. 738 5…, 所以 5 2 ≈ 9. 739. 1. 若 a < 1 4 ,则化简 (4a - 1) 2 的结果是 (　 　 ) A. 4a - 1 B. 1 - 4a C. - 4a - 1 D. - 1 - 4a 2. 函数 y = 2x - 8 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,3) B. ( - ∞ ,3] C. (3, + ∞ ) D. [3, + ∞ ) 3. 已知实数 a,b > 0,则下列选项中正确的是 (　 　 ) A. a 2 3 = a3 B. a 2 3 ·a 3 2 = a C. (a b ) 6 = a6b3 D. a π 3 ·a - π3 = 0 4. 将3 4 × 2 化成分数指数幂的形式是 (　 　 ) A. 2 7 6 B. 2 17 6 C. 2 1 3 D. 2 5 6 45 5. 设 a = 20. 6,b = 21. 5,c =0. 53,则 a,b,c 的大小关系是 (　 　 ) A. a < b < c B. c < a < b C. b < a < c D. b < c < a 6. 已知4x = 3,2y = 8 3 ,那么 2x + y 的值为 (　 　 ) A. 8 B. 3 C. 1 D. log23 7. 若指数函数 f(x) 的图象过点(3,8),则 f(x) 的解析式为 (　 　 ) A. f(x) = x3 B. f(x) = x 1 3 C. f(x) = 1 2( ) x D. f(x) = 2x 8. 函数 f(x) = ax - a(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象可能是 (　 　 ) A. B. C. D. 9. 函数 y = 4x + 2 的值域是 . 10. 若指数函数 f(x) = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 在[ - 1,1] 上的最大值为 2,则 a = . 11. 1 2( ) -1 - 4 ×( - 2) -3 + 1 4( ) 0 -9 - 12 = 12. 已知指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9) . (1) 求函数 f(x) 的解析式; (2) 若 f(2m - 1) - f(m + 3) > 0,求实数 m 的取值范围. 55 ∴ - b 2a = 1, c = 0, 4ac - b2 4a = - 1, ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 a = 1, b = - 2, c = 0, ì î í ï ï ïï ∴ f(x) = x2 - 2x. (2) 由不等式 f(x) > m - 2x 在区间[0,3] 上恒成立,可得 m < x2 在[0,3] 上恒成立, 又当 x ∈ [0,3] 时,x2 ≥ 0, ∴ m < 0, ∴ 实数 m 的取值范围为( - ∞ ,0) . 13. 【解析】(1) 由题意得,y = (600 + 20x)(50 - x) = - 20x2 + 400x + 30 000(0 ≤ x ≤ 50) . (2) 由(1) 知 y = - 20x2 + 400x + 30 000 = - 20(x - 10) 2 + 32 000, 所以当 x = 10 时,y 取得最大值,为 32 000 元, 所以每间房的住宿费用可定为 800 元,当日收入为 32 000 元. 第四章 　 指数函数与对数函数 4. 1　 指数和指数函数 1 . B　 【解析】 由 a < 1 4 得 4a - 1 < 0,所以 (4a - 1) 2 = | 4a - 1 | = 1 - 4a. 2. D　 【解析】 由题意得 2x - 8 ≥ 0,所以 2x ≥ 23 ,解得 x ≥ 3,所以 y = 2x - 8 的定义域为[3, + ∞ ) . 3. C　 【解析】a 2 3 = 3 a2 ,故 A 错误;a 2 3 ·a 3 2 = a 2 3 + 3 2 = a 13 6 ,故 B 错误;(a b ) 6 = (ab 1 2 ) 6 = a6b3 ,故 C 正确;a π 3 ·a - π3 = a0 = 1,故 D 错误. 4. A　 【解析】 3 4 × 2 = 4 1 3 × 2 1 2 = (22 ) 1 3 × 2 1 2 = 2 2 3 + 1 2 = 2 7 6 . 5. B　 【解析】 因为 y = 2x 在 R 上单调递增,所以 20 < 20. 6 < 21. 5 ,即 1 < a < b. 因为 y = 0. 5x 在 R 上单调递减,所以0. 53 < 0. 50 ,即 c < 1,所以 c < a < b. 6. B　 【解析】 由4x = 3 得 22x = 3. 因为 2y = 8 3 ,所以 22x+y = 22x·2y = 22x+y = 3 × 8 3 = 8 = 23 ,所以 2x + y = 3. 7. D　 【解析】 设 f(x) = ax(a > 0 且 a ≠ 1) . 因为指数函数 f(x) 的图象过点(3,8),所以 a3 = 8,解得 a = 2,故 f(x) = 2x . 8. C　 【解析】 易知函数 f(x) = ax - a(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象恒过(1,0),故 A,D 不符合题意. 当 0 < a < 1 时,f(x) = ax - a 是减函数,图象与 y 轴交点的纵坐标为 1 - a,且 0 < 1 - a < 1,故 B 不符合题意. 当 a > 1 时,f(x) = ax - a 是增函数,图 象与 y 轴交点的纵坐标为 1 - a,且 1 - a < 0,故 C 符合题意. 9. (2, + ∞ )　 【解析】 因为函数 y = 4x 的值域为(0, + ∞ ),所以函数 y = 4x + 2 的值域为(2, + ∞ ) . 10. 2或 1 2 　 【解析】 若 a > 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递增,故当 x = 1时,f(x) 在[ - 1,1] 上取得最大值 a1 = 2,得 a = 2. 若 0 < a < 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递减,所以当 x = - 1 时,f(x) 在[ - 1,1] 上取得最大值 a -1 = 2,得 a = 1 2 . 综上,a = 2 或 a = 1 2 . 612 11. 19 6 　 【解析】 1 2( ) -1 - 4 ×( - 2) -3 + 1 4( ) 0 -9 - 12 = 2 - 4 × - 1 8( ) + 1 -(3 2 ) - 12 = 2 + 1 2 + 1 - 1 3 = 19 6 . 12. 【解析】(1)∵ 指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9), ∴ f( - 2) = a -2 = 1 a2 = 9,解得 a = 1 3 , ∴ 函数 f(x) 的解析式为 f(x) = 1 3( ) x . (2)∵ f(2m - 1) - f(m + 3) > 0, ∴ f(2m - 1) > f(m + 3), ∴ 1 3( ) 2m-1 > 1 3( ) m+3 . 又指数函数 f(x) = 1 3( ) x 在 R 上单调递减, ∴ 2m - 1 < m + 3,解得 m < 4, ∴ 实数 m 的取值范围是( - ∞ ,4) . 4. 2　 对数和对数函数 1. B　 【解析】23 = 8 化为对数式为log28 = 3. 2. A　 【解析】 由 lg x = 2 可得 x = 102 = 100. 3. B　 【解析】 由题意得 x > 0, ln x ≠ 0,{ 解得 x > 0 且 x ≠ 1,所以函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是(0,1) ∪ (1, + ∞ ) . 4. B　 【解析】 因为函数 y = 1. 2x 为增函数,所以1. 20. 1 > 1. 20 = 1,即 a > 1. 因为函数 y = log4x 是增函数,所以 0 = log41 < log43 < log44 = 1,即 0 < b < 1. 因为函数 y = log 1 2 x 是减函数,所以log 1 2 3 < log 1 2 1 = 0,即 c < 0. 所以 a > b > c. 5. B　 【解析】 要使函数 f(x) = log3(1 - 2x) 有意义,须 1 - 2x > 0,解得 x < 1 2 ,所以函数 f(x) = log3(1 - 2x) 的定义域 为 - ∞ , 1 2( ) . 6. C　 【解析】 当 a > 1 时,函数 y = logax为增函数,且直线 y = x + a与 y轴的交点的纵坐标大于 1;当 0 < a < 1 时,函数 y = logax 为减函数,且直线 y = x + a 与 y 轴的交点的纵坐标大于 0 小于 1. 只有 C 选项中的图象符合题意. 7. A　 【解析】 易知 f(x) = log 1 2 x,x ∈ 1 16 , 1 2[ ] 为减函数,∴ f(x) max = f 1 16( ) = log 12 1 16 = 4. 8. - 1　 【解析】 原式 = log15(3 × 5) - log6(4 × 32 ) = 1 - 2 = - 1. 9. 1　 【解析】 由log2(x + 1) = 1,可得log2(x + 1) = log22,所以 x + 1 = 2,解得 x = 1. 10. 2　 【解析】 因为函数 f(x) = 2x,x ≤ 4, log3(x + 1),x > 4, { 所以 f(8) = log3(8 + 1) = 2. 11. 【解析】(1)∵ f(x) = logax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象过点(4,2), ∴ loga4 = 2loga2 = 2, ∴ a = 2. 712