3.3 一次函数、二次函数的图象和性质-2024版山东省职教高考数学复习教材

14. 函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ≥ 0 时,f(x) = x2 - 2x. (1) 求函数 f(x) 的解析式; (2) 当 m > 0 时,若 | f(m) | = 1,求实数 m 的值. 3. 3　 一次函数、二次函数的图象和性质 ! "#$%& 1. 掌握一次函数的图象和性质; 2. 理解二次函数的概念; 3. 掌握二次函数的图象和性质, 会求二次函数的解析式; 4. 能运用函数知识解决简单的实际问题. 1.一次函数 (1) 一次函数的解析式 一般地,形如 y = kx + b(k,b 是常数,k ≠ 0) 的函数,叫做一次函数. 其中 x 是自变量,y 是因变量. b 叫做 直线在 y 轴上的截距(b 不表示距离,表示直线与 y 轴交点的纵坐标) . (2) 一次函数的图象和性质 一次函数 解析式 y = kx + b(k,b 是常数,k ≠ 0) 定义域 R 值域 R 图象 当 k > 0 时 当 k < 0 时 (b > 0) (b = 0) (b < 0) (b > 0) (b = 0) (b < 0) 单调性 单调递增 单调递减 奇偶性 当 b = 0 时是奇函数,当 b ≠ 0 时是非奇非偶函数 34 2.二次函数 (1) 二次函数的定义 一般地,函数 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠ 0) 是二次函数. (2) 二次函数的解析式 ① 一般式:f(x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0),图象的顶点坐标是 - b 2a ,4ac -b2 4a( ) ,对称轴为直线 x = - b 2a . ② 顶点式:f(x) = a(x - m) 2 + n(a ≠ 0),图象的顶点坐标是(m,n),对称轴是直线 x = m. ③ 交点式:f(x) = a(x - x1)(x - x2)(a ≠ 0),其中 x1,x2 表示函数图象与 x 轴交点的横坐标,对称轴为 直线 x = x1 + x2 2 ,顶点的横坐标为 x1 + x2 2 . (3) 二次函数的图象与性质 二次函数 解析式 y = ax2 + bx + c(a > 0) y = ax2 + bx + c(a < 0) 大致图象 图象开口方向 开口向上 开口向下 定义域 R 值域 4ac - b2 4a , + ∞[ ) - ∞ ,4ac - b 2 4a( ] 对称轴 直线 x = - b 2a 顶点坐标 - b 2a ,4ac - b2 4a( ) 奇偶性 当 b = 0 时是偶函数,当 b ≠ 0 时是非奇非偶函数 单调性 在 - ∞ , - b 2a( ] 上单调递减, 在 - b 2a , + ∞[ ) 上单调递增 在 - ∞ , - b 2a( ] 上单调递增, 在 - b 2a , + ∞[ ) 上单调递减 !"#$ 题型一:一次函数的图象与性质 ! 1 一次函数 y = x - 1 的图象经过 (　 　 ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 44 【解析】 由一次函数的解析式知 k = 1 > 0,b = - 1 < 0, ∴ 一次函数 y = x - 1 的图象经过第一、三、四象限. 【答案】 D ! 2 若一次函数 y = (2m - 1)x + 2 为增函数,则常数 m 的取值范围为 . 【解析】 ∵ y = (2m - 1)x + 2 为增函数, ∴ 2m - 1 > 0,解得 m > 1 2 , ∴ m 的取值范围为 1 2 , + ∞( ) . 【答案】 1 2 , + ∞( ) ! 3 已知一次函数 y = kx + b,y 随 x 的增大而减小,且 kb < 0,则它的图象大致是 (　 　 ) A. B. C. D. 【解析】 ∵ 一次函数 y = kx + b,y 随 x 的增大而减小, ∴ k < 0, ∴ 函数图象从左往右呈下降趋势. ∵ kb < 0, ∴ b > 0, ∴ 函数图象与 y 轴的交点在 y 轴正半轴上. ∴ 只有 C 选项中的图象符合题意. 【答案】 C 题型二:二次函数的图象与性质 ! 4 (2019,26) 已知二次函数 f(x) 图象的顶点在直线 y = 2x - 1 上,且 f(1) = - 1,f(3) = - 1,求该函 数的解析式. 【解析】 因为 f(1) = - 1,f(3) = - 1, 所以二次函数 f(x) 图象的对称轴为直线 x = 1 + 3 2 = 2. 又因为函数 f(x) 图象的顶点在直线 y = 2x - 1 上, 54 所以函数 f(x) 图象的顶点为直线 x = 2 与直线 y = 2x - 1 的交点. 由 x = 2, y = 2x - 1{ 得 x = 2, y = 3,{ 故函数 f(x) 图象的顶点坐标为(2,3) . 设二次函数的解析式为 f(x) = a(x - 2) 2 + 3. 由 f(1) = - 1 得 a(1 - 2) 2 + 3 = - 1,解得 a = - 4, 所以 f(x) = - 4(x - 2) 2 + 3,即 f(x) = - 4x2 + 16x - 13. ! 5 函数 y = ax2 + bx 与 y = ax + b(a > 0) 在同一平面直角坐标系中的图象大致是 (　 　 ) A. B. C. D. 【解析】 因为 a > 0,所以一次函数 y = ax + b 的图象从左往右呈上升趋势,故 A 不符合题意. 当 b > 0 时,一次函数 y = ax + b 的图象经过第一、二、三象限,二次函数 y = ax2 + bx 的图象开口向上,对 称轴为 x = - b 2a < 0 且二次函数的图象经过原点,故 B,D 不符合题意. 当 b < 0 时,一次函数 y = ax + b 的图象经过第一、三、四象限,二次函数 y = ax2 + bx 的图象开口向上,对 称轴为 x = - b 2a > 0 且二次函数的图象经过原点,故 C 符合题意. 【答案】 C 题型三:函数的实际应用 ! 6 (2022,13) 如图所示的圆柱形容器,其底面半径为 1 m,高为 3 m(不计厚度),设容器内液面高 度为 x(单位:m),液体的体积为 V(单位:m3),把 V 表示为 x 的函数,则该函数的图象大致是 (　 　 ) A. B. C. D. 【解析】 因为该圆柱形容器的底面半径为 1 m,容器内液面高度为 x m, 所以液体体积为 V = πx. 因为该函数为一次函数,且一次项系数为 π > 0, 所以函数的大致图象为一条过原点且从左至右呈上升趋势的直线,故 A 选项满足题意. 【答案】 A 64 1. 已知一次函数 f(x) 满足 f( - 1) = 0,f(0) = - 2,则 f(x) 的解析式为 (　 　 ) A. f(x) = 2x + 2 B. f(x) = - 2x - 2 C. f(x) = 2x - 2 D. f(x) = - 2x + 2 2. 已知 f(x) = x2 + bx + c,且 f(1) = 0,f(3) = 0,则 f( - 1) = (　 　 ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 如图在同一直角坐标系中,函数 y = kx2 和 y = kx - 2(k ≠ 0) 的图象可能的是 (　 　 ) A. B. C. D. 4. 已知函数 f(x) = 4x2 - kx - 8 在[5,20] 上单调递增,则 k 的取值范围是 (　 　 ) A. [40,160] B. [40, + ∞ ) C. ( - ∞ ,40] D. [160, + ∞ ) 5. 若直线 y = kx + b(k ≠ 0) 不经过第一象限,则 k,b 的取值范围是 (　 　 ) A. k > 0,b < 0 B. k > 0,b ≤ 0 C. k < 0,b < 0 D. k < 0,b ≤ 0 6. 已知函数 f(x) = ax2 + x - 1 在( - 2, + ∞ ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 (　 　 ) A. - ∞ , 1 4( ù û úú B. 0, 1 4( ù û úú C. 0, 1 4 é ë êê ù û úú D. 1 4 , + ∞é ë êê ) 7. (2019,10) 在 Rt△ABC中,∠ABC = 90°,AB = 3,BC = 4,M是线段 AC上的动点. 设点M到 BC的距离为 x, △MBC 的面积为 y,则 y 关于 x 的函数是 (　 　 ) A. y = 4x,x ∈ (0,4] B. y = 2x,x ∈ (0,3] C. y = 4x,x ∈ (0, + ∞ ) D. y = 2x,x ∈ (0, + ∞ ) 8. 若函数 y = 2x2 + mx - 3 图象的对称轴是直线 x = 1 2 ,则当 x = 1 时,y = (　 　 ) A. - 7 B. - 5 C. - 3 D. - 1 74 9. 如图所示的游泳池内蓄满了水,现打开深水区底部的出水口匀速放水,在这个过程中,可以近似地刻画出 泳池水面高度 h 与放水时间 t 之间的变化情况的是 (　 　 ) A. B. C. D. 10. 已知一次函数 f(x) = mx + 2m - 7, 当 x ∈ [ - 1,5] 时,f(x) > 0 恒成立, 则 m 的取值范围 是 . 11. 函数 y = - 4x2 + 8x + 3 在区间(0,3] 上的最大值为 . 12. 若二次函数 y = f(x) 的图象的对称轴为直线 x = 1,函数的最小值为 - 1,且 f(0) = 0. (1) 求 f(x) 的解析式; (2) 若关于 x 的不等式 f(x) > m - 2x 在区间[0,3] 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 13. 中秋国庆双节期间,全国各地景区景点游客逐渐增多,旅游市场回暖升温. 某景区的海景酒店有 50 间海 景房,若每间房一天的住宿费用为 600 元时,房间恰好住满;若将每间房一天的收费标准提升 20x元(0 ≤ x ≤ 50,x ∈N∗),则入住的房间会相应减少 x 间. (1) 求该酒店每天的收入 y(单位:元) 与入住的房间 x(单位:间) 之间的函数解析式; (2) 若要使该海景酒店每天的收入最多,则每间房的住宿费用可定为多少元? 当日收入为多少元? 84 故 f(x) = x2 - 2x,x ≥ 0, x2 + 2x,x < 0.{ (2) 由题意可得 | f(m) | = | m2 - 2m | = 1,m > 0, 所以m2 - 2m = ± 1,即m2 - 2m + 1 = 0 或m2 - 2m - 1 = 0, 所以 m = 1 或 m = 1 + 2 或 m = 1 - 2 (舍去) . 3. 3　 一次函数、二次函数的图象和性质 1. B　 【解析】 设一次函数的解析式为 f(x) = kx + b(k ≠ 0).依题意得 - k + b = 0, b = - 2,{ 解得 k = - 2,b = - 2,所以 f(x) = - 2x - 2. 2. D　 【解析】 由题意可得 f(1) = 1 + b + c = 0, f(3) = 9 + 3b + c = 0,{ 解得 b = - 4,c = 3,所以 f(x) = x 2 - 4x + 3,所以 f( - 1) = 1 + 4 + 3 = 8. 3. D　 【解析】 当 k > 0 时,函数 y = kx2 图象开口向上,顶点在坐标原点,y = kx - 2 的图象过第一、三、四象限. 当 k < 0 时,函 数 y = kx2 图象开口向下,顶点在坐标原点,y = kx - 2 的图象过第二、三、四象限. 故 D 符合题意. 4. C　 【解析】易知函数 f(x) = 4x2 - kx - 8图象开口向上,对称轴为直线 x = - - k 2 × 4 = k 8 . 又 f(x) 在[5,20] 上单调递增,所以 k 8 ≤ 5,解得 k ≤ 40,所以 k 的取值范围是( - ∞ ,40] . 5. D　 【解析】∵ 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 的图象不经过第一象限,∴ k < 0,b ≤ 0. 6. C　 【解析】 当 a = 0 时,f(x) = x - 1 在 R 上单调递增,满足题意. 当 a ≠ 0 时,函数 f(x) = ax2 + x - 1 图象的对称轴为直 线 x = - 1 2a ,由题意得 a > 0, - 1 2a ≤- 2, ì î í ïï ï 解得 0 < a ≤ 1 4 . 综上,实数 a 的取值范围为 0, 1 4[ ] . 7. B　 【解析】 由 M 是线段 AC 上的动点,点 M 到 BC 的距离为 x,AB = 3,知 0 < x ≤ 3,则 y = 1 2 × 4x = 2x,x ∈ (0,3] . 8. C　 【解析】 因为函数 y = 2x2 + mx - 3 图象的对称轴为直线 x = - m 4 = 1 2 ,解得 m = - 2,所以 y = 2x2 - 2x - 3,所以当 x = 1 时,y = - 3. 9. C　 【解析】 泳池水面高度 h 随放水时间 t 的增大而减小,高度先下降的是浅水区的水,下降的速度均匀且较慢,然后下降的 是深水区的水,下降的速度均匀且较快,所以符合题意的只有 C 选项. 10. (7, + ∞ )　 【解析】 当 m < 0 时,一次函数 f(x) = mx + 2m - 7 单调递减,因为 x ∈ [ - 1,5] 时,f(x) > 0 恒成立,所以 f(5) > 0,即 7m - 7 > 0,解得 m > 1,不符合题意. 当 m > 0 时,一次函数 f(x) = mx + 2m - 7 单调递增,因为 x ∈ [ - 1, 5] 时,f(x) > 0 恒成立,所以 f( - 1) > 0,即 m - 7 > 0,解得 m > 7,符合题意. 综上,m 的取值范围是(7, + ∞ ) . 11. 7　 【解析】 函数 y = - 4x2 + 8x + 3 的图象开口向下,且对称轴为直线 x = 8- 2 × ( - 4) = 1,所以函数 y = - 4x2 + 8x + 3 在 (0,1] 上单调递增,在(1,3] 上单调递减,所以当 x = 1 时取到最大值,最大值为 - 4 + 8 + 3 = 7. 12. 【解析】(1) 设二次函数 f(x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) . ∵ f(x) 图象的对称轴为直线 x = 1,函数的最小值为 - 1,且 f(0) = 0, 512 ∴ - b 2a = 1, c = 0, 4ac - b2 4a = - 1, ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 a = 1, b = - 2, c = 0, ì î í ï ï ïï ∴ f(x) = x2 - 2x. (2) 由不等式 f(x) > m - 2x 在区间[0,3] 上恒成立,可得 m < x2 在[0,3] 上恒成立, 又当 x ∈ [0,3] 时,x2 ≥ 0, ∴ m < 0, ∴ 实数 m 的取值范围为( - ∞ ,0) . 13. 【解析】(1) 由题意得,y = (600 + 20x)(50 - x) = - 20x2 + 400x + 30 000(0 ≤ x ≤ 50) . (2) 由(1) 知 y = - 20x2 + 400x + 30 000 = - 20(x - 10) 2 + 32 000, 所以当 x = 10 时,y 取得最大值,为 32 000 元, 所以每间房的住宿费用可定为 800 元,当日收入为 32 000 元. 第四章 　 指数函数与对数函数 4. 1　 指数和指数函数 1 . B　 【解析】 由 a < 1 4 得 4a - 1 < 0,所以 (4a - 1) 2 = | 4a - 1 | = 1 - 4a. 2. D　 【解析】 由题意得 2x - 8 ≥ 0,所以 2x ≥ 23 ,解得 x ≥ 3,所以 y = 2x - 8 的定义域为[3, + ∞ ) . 3. C　 【解析】a 2 3 = 3 a2 ,故 A 错误;a 2 3 ·a 3 2 = a 2 3 + 3 2 = a 13 6 ,故 B 错误;(a b ) 6 = (ab 1 2 ) 6 = a6b3 ,故 C 正确;a π 3 ·a - π3 = a0 = 1,故 D 错误. 4. A　 【解析】 3 4 × 2 = 4 1 3 × 2 1 2 = (22 ) 1 3 × 2 1 2 = 2 2 3 + 1 2 = 2 7 6 . 5. B　 【解析】 因为 y = 2x 在 R 上单调递增,所以 20 < 20. 6 < 21. 5 ,即 1 < a < b. 因为 y = 0. 5x 在 R 上单调递减,所以0. 53 < 0. 50 ,即 c < 1,所以 c < a < b. 6. B　 【解析】 由4x = 3 得 22x = 3. 因为 2y = 8 3 ,所以 22x+y = 22x·2y = 22x+y = 3 × 8 3 = 8 = 23 ,所以 2x + y = 3. 7. D　 【解析】 设 f(x) = ax(a > 0 且 a ≠ 1) . 因为指数函数 f(x) 的图象过点(3,8),所以 a3 = 8,解得 a = 2,故 f(x) = 2x . 8. C　 【解析】 易知函数 f(x) = ax - a(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象恒过(1,0),故 A,D 不符合题意. 当 0 < a < 1 时,f(x) = ax - a 是减函数,图象与 y 轴交点的纵坐标为 1 - a,且 0 < 1 - a < 1,故 B 不符合题意. 当 a > 1 时,f(x) = ax - a 是增函数,图 象与 y 轴交点的纵坐标为 1 - a,且 1 - a < 0,故 C 符合题意. 9. (2, + ∞ )　 【解析】 因为函数 y = 4x 的值域为(0, + ∞ ),所以函数 y = 4x + 2 的值域为(2, + ∞ ) . 10. 2或 1 2 　 【解析】 若 a > 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递增,故当 x = 1时,f(x) 在[ - 1,1] 上取得最大值 a1 = 2,得 a = 2. 若 0 < a < 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递减,所以当 x = - 1 时,f(x) 在[ - 1,1] 上取得最大值 a -1 = 2,得 a = 1 2 . 综上,a = 2 或 a = 1 2 . 612