3.2 函数的单调性和奇偶性-2024版山东省职教高考数学复习教材

4. D　 【解析】 要使函数 f(x) = log2(x + 3) + 1 x + 2 有意义,须 x + 3 > 0, x + 2 ≠ 0,{ 解得 x > - 3 且 x ≠- 2,所以函数 f(x) = log2(x + 3) + 1 x + 2 的定义域是( - 3, - 2) ∪ ( - 2, + ∞ ) . 5. B　 【解析】 因为函数 f(x) = x2 + 5,x ≤ 1, 1 x - 3 ,x > 1, ì î í ïï ï 所以 f( - 1) = ( - 1) 2 + 5 = 6,所以 f[ f( - 1)] = f(6) = 1 6 - 3 = 1 3 . 6. B　 【解析】 由表格知 f( - 1) = - 2,f(2) = 1,所以 f( - 1) + f(2) = - 1. 7. C　 【解析】 当 x ≥- 1 时,f(x) = 3 - 2x = 1,解得 x = 1;当 x < - 1 时,f(x) = x - 4 = 1,解得 x = 5(舍去) . 综上, x = 1. 8. A　 【解析】 因为函数 f(n) = k(其中 n ∈N∗ ),k 是 π 的小数点后的第 n 位数字,π = 3. 141 592 653 5…,所以 f(10) = 5, 所以 f[ f(10)] = f(5) = 9. 9. C　 【解析】 由函数 y = | 2 - x | - 5 有意义得 | 2 - x | ≥ 5,所以 2 - x ≥ 5 或 2 - x ≤- 5,解得 x ≤- 3 或 x ≥ 7,所以函 数 y = | 2 - x | - 5 的定义域是{x | x ≤- 3 或 x ≥ 7} . 10. 13　 【解析】 由题意可得,2 􀱇 4 = 2 × 4 + 2 + 4 - 1 = 13. 11. 4　 【解析】 因为函数 f(x) = x + 3 x + 1 , 所以 f(2) = 2 + 3 2 + 1 = 5 3 ,f 1 2( ) = 1 2 + 3 1 2 + 1 = 7 3 , 所以 f(2) + f 1 2( ) = 5 3 + 7 3 = 4. 12. x2 　 【解析】 因为 f(x) = (x + 1) 2 ,所以 f(x - 1) = [(x - 1) + 1] 2 = x2 . 13. 【解析】(1) 因为函数 f(x) = x + 2 x - 1 , 所以 f(2) = 2 + 2 2 - 1 = 4. (2) 易知函数 f(x) = x + 2 x - 1 的定义域为{x | x ≠ 1} . 因为 f(a) = 2a, 所以 f(a) = a + 2 a - 1 = 2a,即 a + 2 = 2a(a - 1),即 2a2 - 3a - 2 = 0,解得 a = - 1 2 或 a = 2, 所以 a = - 1 2 或 a = 2. 3. 2　 函数的单调性和奇偶性 1. C　 【解析】 函数 y = x2 - 1 在(0, + ∞ ) 上单调递增,故 A 不符合题意. 函数 y = x3 在(0, + ∞ ) 上单调递增,故 B 不符合题 意. 函数 y = - 3x + 2 在(0, + ∞ ) 上单调递减,故 C 符合题意. 函数在 y = log2x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,故 D 不符合 题意. 2. B　 【解析】 由图象知,该函数的单调增区间为[ - 1,2] 和[4,5] . 因为 0 < 5,f(0) = f(5),所以在区间[ - 1,2] ∪ [4,5] 上, 函数 f(x) 不单调. 312 3. C　 【解析】 因为函数 f(x) 是偶函数,所以 f( - 2 024) = f(2 024),所以 f(2 024) + f( - 2 024) = 2f(2 024) . 4. C　 【解析】 因为函数 f(x) 在 R 上单调递减,且 - 3 < - 2 < π,所以 f( - 3) > f( - 2) > f(π) . 5. B　 【解析】 对于定义域 (a,b) 内的任意两个不相等的实数 x1 ,x2 ,总有(x1 - x2 ) [ f(x1 ) - f(x2 )] < 0,等价于对于定义域 (a,b) 内的任意实数 x1 ,x2 ,且 x1 < x2 ,总有 f(x1 ) - f(x2 ) > 0,即 f(x1 ) > f(x2 ),所以 f(x) 在(a,b) 上是减函数. 6. A　 【解析】 因为 f(x) 为奇函数,所以 f( - x) + f(x) = ( - x)3 + a( - x)2 + x3 + ax2 = 0,则 2ax2 = 0.因为 x ∈ R,所以 a = 0. 7. B　 【解析】 因为偶函数 f(x) 在区间[0, + ∞ ) 上单调递增,且 f(2x - 1) < f(1),所以 | 2x - 1 | < 1,解得 0 < x < 1,所以 x 的取值范围是(0,1) . 8. C　 【解析】 易知 a ≠ 0. 当 a > 0 时,函数 y = ax + 1 为增函数,由题意得 2a + 1 - (a + 1) = 2,解得 a = 2;当 a < 0 时, 函数 y = ax + 1 为减函数,由题意得 a + 1 - (2a + 1) = 2,解得 a = - 2. 综上,a = ± 2. 9. B　 【解析】 因为函数 f(x) 是奇函数,且在[1,3] 上单调递增,所以函数 f(x) 在 x = 1 处取得最小值,所以 f(1) = 1,所以函 数 f(x) 在[ - 3, - 1] 上单调递增,在 x = - 1 处取得最大值. 由奇函数的性质得 f( - 1) = - f(1) = - 1,所以 f(x) 在 [ - 3, - 1] 上的最大值为 - 1. 10. C　 【解析】 当 x > 0 时, - x < 0,则 f( - x) = 2-x - x. 因为函数 y = f(x) 是 R 上的奇函数,所以 f(x) = - f( - x) = - 2-x + x. 11. C　 【解析】 因为 f(x) 在 R 上单调递减,所以 0 < a < 1, a - 2 < 0, a1-1 ≥ (a - 2) × 1 + 3a, ì î í ï ï ï ï 解得 0 < a ≤ 3 4 ,所以 a 的取值范围是 0, 3 4( ] . 12. B　 【解析】 因为当 x > 0 时,f(x) = x2 + 2x - 3,所以 f(2) = 22 + 2 × 2 - 3 = 5. 又 f(x) 为定义在 R 上的奇函数,所以 f( - 2) = - f(2) = - 5. 13. 【解析】(1) 函数 f(x) 为奇函数,证明如下: 易知函数 f(x) = x x2 + 1 的定义域为 R, 又 f( - x) = - x ( - x) 2 + 1 = - x x2 + 1 = - f(x), 所以 f(x) 为奇函数. (2) 令 x1 > x2 ≥ 1, 则 f(x1 ) - f(x2 ) = x1 x21 + 1 - x2 x22 + 1 = x1x22 + x1 - x2x21 - x2 (x21 + 1)(x22 + 1) = (x1x2 - 1)(x2 - x1 ) (x21 + 1)(x22 + 1) . 因为 x1 > x2 ≥ 1, 所以 x1x2 > 1,x2 - x1 < 0,(x21 + 1)(x22 + 1) > 0, 所以 f(x1 ) - f(x2 ) < 0,即 f(x1 ) < f(x2 ), 所以函数 f(x) 在[1, + ∞ ) 上单调递减. 14. 【解析】(1) 令 x < 0,则 - x > 0. 因为当 x ≥ 0 时,f(x) = x2 - 2x, 所以 f( - x) = ( - x) 2 - 2( - x) = x2 + 2x. 因为 f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(x) = f( - x) = x2 + 2x. 412 故 f(x) = x2 - 2x,x ≥ 0, x2 + 2x,x < 0.{ (2) 由题意可得 | f(m) | = | m2 - 2m | = 1,m > 0, 所以m2 - 2m = ± 1,即m2 - 2m + 1 = 0 或m2 - 2m - 1 = 0, 所以 m = 1 或 m = 1 + 2 或 m = 1 - 2 (舍去) . 3. 3　 一次函数、二次函数的图象和性质 1. B　 【解析】 设一次函数的解析式为 f(x) = kx + b(k ≠ 0).依题意得 - k + b = 0, b = - 2,{ 解得 k = - 2,b = - 2,所以 f(x) = - 2x - 2. 2. D　 【解析】 由题意可得 f(1) = 1 + b + c = 0, f(3) = 9 + 3b + c = 0,{ 解得 b = - 4,c = 3,所以 f(x) = x 2 - 4x + 3,所以 f( - 1) = 1 + 4 + 3 = 8. 3. D　 【解析】 当 k > 0 时,函数 y = kx2 图象开口向上,顶点在坐标原点,y = kx - 2 的图象过第一、三、四象限. 当 k < 0 时,函 数 y = kx2 图象开口向下,顶点在坐标原点,y = kx - 2 的图象过第二、三、四象限. 故 D 符合题意. 4. C　 【解析】易知函数 f(x) = 4x2 - kx - 8图象开口向上,对称轴为直线 x = - - k 2 × 4 = k 8 . 又 f(x) 在[5,20] 上单调递增,所以 k 8 ≤ 5,解得 k ≤ 40,所以 k 的取值范围是( - ∞ ,40] . 5. D　 【解析】∵ 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 的图象不经过第一象限,∴ k < 0,b ≤ 0. 6. C　 【解析】 当 a = 0 时,f(x) = x - 1 在 R 上单调递增,满足题意. 当 a ≠ 0 时,函数 f(x) = ax2 + x - 1 图象的对称轴为直 线 x = - 1 2a ,由题意得 a > 0, - 1 2a ≤- 2, ì î í ïï ï 解得 0 < a ≤ 1 4 . 综上,实数 a 的取值范围为 0, 1 4[ ] . 7. B　 【解析】 由 M 是线段 AC 上的动点,点 M 到 BC 的距离为 x,AB = 3,知 0 < x ≤ 3,则 y = 1 2 × 4x = 2x,x ∈ (0,3] . 8. C　 【解析】 因为函数 y = 2x2 + mx - 3 图象的对称轴为直线 x = - m 4 = 1 2 ,解得 m = - 2,所以 y = 2x2 - 2x - 3,所以当 x = 1 时,y = - 3. 9. C　 【解析】 泳池水面高度 h 随放水时间 t 的增大而减小,高度先下降的是浅水区的水,下降的速度均匀且较慢,然后下降的 是深水区的水,下降的速度均匀且较快,所以符合题意的只有 C 选项. 10. (7, + ∞ )　 【解析】 当 m < 0 时,一次函数 f(x) = mx + 2m - 7 单调递减,因为 x ∈ [ - 1,5] 时,f(x) > 0 恒成立,所以 f(5) > 0,即 7m - 7 > 0,解得 m > 1,不符合题意. 当 m > 0 时,一次函数 f(x) = mx + 2m - 7 单调递增,因为 x ∈ [ - 1, 5] 时,f(x) > 0 恒成立,所以 f( - 1) > 0,即 m - 7 > 0,解得 m > 7,符合题意. 综上,m 的取值范围是(7, + ∞ ) . 11. 7　 【解析】 函数 y = - 4x2 + 8x + 3 的图象开口向下,且对称轴为直线 x = 8- 2 × ( - 4) = 1,所以函数 y = - 4x2 + 8x + 3 在 (0,1] 上单调递增,在(1,3] 上单调递减,所以当 x = 1 时取到最大值,最大值为 - 4 + 8 + 3 = 7. 12. 【解析】(1) 设二次函数 f(x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) . ∵ f(x) 图象的对称轴为直线 x = 1,函数的最小值为 - 1,且 f(0) = 0, 512 3. 2　 函数的单调性和奇偶性 ! "#$%& 1. 理解函数的单调性和奇偶性的概念,会判断一些简单函数的单调性和奇偶性; 2. 掌握增函数、减函数及奇函数、偶函数的图象特征; 3. 能够根据函数的单调性求参数的取值范围; 4. 能够根据函数的奇偶性求函数值、解析式; 5. 会利用函数的性质比较函数值的大小. 1.函数的单调性 (1) 增函数 设函数 y = f(x) 的定义域为 D,区间 I ⊆ D. 如果对于区间 I 上的任意两点 x1 和 x2,当 x1 < x2 时,都有 f(x1) < f(x2), 那么称函数 y = f(x) 在区间 I 上是增函数,区间 I 称为函数 y = f(x) 的增区间. 如图,增函数的图象从左往右呈上升趋势,y 随 x 的增大而增大. (2) 减函数 设函数 y = f(x) 的定义域为 D,区间 I ⊆ D. 如果对于区间 I 上的任意两点 x1 和 x2,当 x1 < x2 时,都有 f(x1) > f(x2), 那么称函数 y = f(x) 在区间 I 上是减函数,区间 I 称为函数 y = f(x) 的减区间. 如图,减函数的图象从左往右呈下降趋势,y 随 x 的增大而减小. 73 (3) 函数的最值 最大值 最小值 条件 如果存在 x0 ∈ I( I 为定义域),使得 f(x0 ) = M,对任意 x ∈ I,都有 f(x) ≤ M f(x) ≥ M 结论 那么就称 M 为函数 y = f(x) 的最大值 那么就称 M 为函数 y = f(x) 的最小值 几何意义 f(x) 图象上最高点的纵坐标 f(x) 图象上最低点的纵坐标 2.函数的奇偶性 (1) 点的对称 ① 点 P(x,y) 关于 x 轴的对称点的坐标为(x, - y),关于 y 轴的对称点的坐标为( - x,y) . ② 点 P(x,y) 关于原点对称的点的坐标为( - x, - y) . (2) 奇函数 设函数 y = f(x) 的定义域为数集D,若对于任意的 x∈D,都有 - x∈D且 f( - x)= - f(x),则称 y = f(x) 是 奇函数. 奇函数的图象关于原点中心对称,如图 ① 是函数 f(x) = 1 x 的图象,函数 f(x) = 1 x 是奇函数. (3) 偶函数 设函数 y = f(x) 的定义域为数集D,若对于任意的 x ∈D,都有 - x ∈D且 f(x) = f( - x),则称 y = f(x) 是 偶函数. 偶函数的图象关于 y 轴对称,如图 ② 是函数 f(x) = x2 的图象,函数 f(x) = x2 是偶函数. 图 ① 　 　 　 　 　 　 　 　 图 ② !"#$ 题型一:判断函数的单调性 ! 1 判断 f(x) = x + 1 x 在(1, + ∞ ) 上的单调性,并用定义法加以证明. 【解析】 f(x) = x + 1 x 在(1, + ∞ ) 上单调递增,证明如下. 任取 x1 > x2 > 1, 则 f(x1) - f(x2) = x1 + 1 x1 - x2 + 1 x2( ) = (x1 - x2) + x2 x1x2 - x1 x1x2( ) = (x1 - x2)(x1x2 - 1) x1x2 . 83 因为 x1 > x2 > 1, 所以 x1 - x2 > 0,x1x2 > 1, 所以 f(x1) - f(x2) > 0,即 f(x1) > f(x2), 所以 f(x) = x + 1 x 在(1, + ∞ ) 上单调递增. ! 2 (2020,3) 已知函数 f(x) 的定义域是 R, 若对于任意两个不相等的实数 x1,x2, 总有 f(x2) - f(x1) x2 - x1 > 0 成立,则函数 f(x) 一定是 (　 　 ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数 【解析】 对于任意两个不相等的实数 x1, x2,总有 f(x2) - f(x1) x2 - x1 > 0 成立,等价于对于任意两个不相等 的实数 x1 < x2,总有 f(x1) < f(x2), 所以函数 f(x) 一定是增函数. 因为 f(x) 与 f( - x) 的关系无法判断, 所以函数 f(x) 的奇偶性无法判断. 【答案】 C 题型二:函数的单调性的应用 ! 3 (2022,25) 已知 a > 0 且 a≠ 1,若函数 f(x) = (a - 1)x + 5,x ∈ ( - ∞ ,2), ax,x ∈ [2, + ∞ ){ 在( - ∞ , + ∞ ) 上 具有单调性,则实数 a 的取值范围是 . 【解析】 因为函数 f(x) = (a - 1)x + 5,x ∈ ( - ∞ ,2), ax,x ∈ [2, + ∞ ){ 在( - ∞ , + ∞ ) 上具有单调性, 所以当 0 < a < 1 时,函数 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上单调递减,须 a - 1 < 0, 0 < a < 1, 2(a - 1) + 5 ≥ a2, ì î í ï ï ï ï 解得 0 < a < 1; 当 a > 1 时,函数 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上单调递增,须 a - 1 > 0, a > 1, 2(a - 1) + 5 ≤ a2, ì î í ï ï ï ï 解得 a ≥ 3. 综上,实数 a 的取值范围是(0,1) ∪ [3, + ∞ ) . 【答案】 (0,1) ∪ [3, + ∞ ) 93 ! 4 (2019,14) 已知 y = f(x) 在 R 上是减函数,若 f( | a | + 1) < f(2),则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,1) B. ( - ∞ ,1) ∪ (1, + ∞ ) C. ( - 1,1) D. ( - ∞ , - 1) ∪ (1, + ∞ ) 【解析】 因为函数 y = f(x) 是 R 上的减函数,且 f( | a | + 1) < f(2), 所以 | a | + 1 > 2,解得 a > 1 或 a < - 1, 所以实数 a 的取值范围是( - ∞ , - 1) ∪ (1, + ∞ ) . 【答案】 D ! 5 (2021,3) 已知函数 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上是减函数,则下列关系正确的是 (　 　 ) A. f(1) < f(0) < f( - 1) B. f(0) < f( - 1) < f(1) C. f( - 1) < f(0) < f(1) D. f(0) < f(1) < f( - 1) 【解析】 因为函数 f(x) 在( - ∞ , + ∞ ) 上是减函数,且 1 > 0 > - 1, 所以 f(1) < f(0) < f( - 1) . 【答案】 A 题型三:判断函数的奇偶性 ! 6 已知函数 f(x) = x2 + 1 x ,证明函数 f(x) 为奇函数. 【解析】 易知函数 f(x) = x 2 + 1 x 的定义域为{x | x ≠ 0},关于原点对称, 又 f( - x) = ( - x) 2 + 1 - x = x 2 + 1 - x = - f(x), 所以 f(x) 为奇函数. 　 　 判断函数奇偶性的步骤 第一步:求出函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数既不是奇函数也不是 偶函数;若对称,则判断 f( - x) = ± f(x) 是否成立. 第二步:若 f( - x) = f(x),则函数是偶函数; 若 f( - x) = - f(x),则函数是奇函数; 若 f( - x) ≠ f(x) 且 f( - x) ≠- f(x),则函数既不是奇函数也不是偶函数. 04 题型四:函数奇偶性的应用 ! 7 (2019,4) 已知函数 f(x) = x3 + x,若 f(a) = 2,则 f( - a) 的值是 (　 　 ) A. - 2 B. 2 C. - 10 D. 10 【解析】 易得 f(a) = a3 + a = 2, 则 f( - a) = ( - a) 3 + ( - a) = - a3 - a = - (a3 + a) = - 2. 【答案】 A 题型五:函数的单调性、奇偶性的综合应用 ! 8 若函数 f(x) 是偶函数,且在区间[0,3] 上单调递减,则 (　 　 ) A. f( - 1) > f(2) > f( - 3) B. f( - 3) > f( - 1) > f(2) C. f(2) > f( - 1) > f( - 3) D. f( - 3) > f(2) > f( - 1) 【解析】 因为 f(x) 是偶函数, 所以 f( - 1) = f(1),f( - 3) = f(3) . 又 f(x) 在[0,3] 上单调递减, 所以 f(1) > f(2) > f(3), 所以 f( - 1) > f(2) > f( - 3) . 【答案】 A 1. 下列函数中,在区间(0, + ∞ ) 上单调递减的是 (　 　 ) A. y = x2 - 1 B. y = x3 C. y = - 3x + 2 D. y =log2x 2. 已知函数 y = f(x) 的图象如图所示,则该函数的单调递增区间为 (　 　 ) A. [ - 1,3] B. [ - 1,2] 和[4,5] C. [ - 1,2] D. [ - 1,2] ∪ [4,5] 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,则 f(2 024) + f( - 2 024) = (　 　 ) A. 0 B. 5 C. 2f(2 024) D. f(0) 4. 已知函数 f(x) 在 R 上单调递减,则 f( - 2),f(π),f( - 3) 的大小关系是 (　 　 ) A. f( - 2) > f( - 3) > f(π) B. f(π) > f( - 2) > f( - 3) C. f( - 3) > f( - 2) > f(π) D. f( - 3) > f(π) > f( - 2) 14 5. 函数 f(x) 的定义域为(a,b),且对其内任意两个不相等的实数 x1,x2,总有(x1 - x2)[ f(x1) - f(x2)] < 0, 则 f(x) 在(a,b) 上是 (　 　 ) A. 增函数 B. 减函数 C. 偶函数 D. 奇函数 6. 若函数 f(x) = x3 + ax2 为奇函数,则实数 a = (　 　 ) A. 0 B. - 1 C. 1 D. ± 1 7. 已知偶函数 f(x) 在区间[0, + ∞ ) 上单调递增,则满足 f(2x - 1) < f(1) 的 x 的取值范围是 (　 　 ) A. ( - 1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. ( - 1,1) 8. 若函数 y = ax + 1 在[1,2] 上的最大值与最小值的差为 2,则实数 a 的值是 (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. ± 2 D. 0 9. 若奇函数 f(x) 在[1,3] 上单调递增,且最小值是 1,则 f(x) 在[ - 3, - 1] 上 (　 　 ) A. 单调递增,最小值是 - 1 B. 单调递增,最大值是 - 1 C. 单调递减,最小值是 - 1 D. 单调递减,最大值是 - 1 10. 函数 y = f(x) 是 R 上的奇函数,当 x < 0 时,f(x) = 2x + x,则当 x > 0 时,f(x) = (　 　 ) A. - 2x + x B. 2 -x - x C. - 2 -x + x D. 2x - x 11. 已知函数 f(x) = ax-1,x < 1, (a - 2)x + 3a,x ≥ 1{ 在 R 上单调递减,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. (0,1) B. 3 4 ,1é ë êê ) C. 0, 3 4( ù û úú D. 3 4 ,2é ë êê ) 12. 已知函数 f(x) 为定义在 R 上的奇函数,且当 x > 0 时,f(x) = x2 + 2x - 3,则 f( - 2) = (　 　 ) A. 5 B. - 5 C. 0 D. 2 13. 已知函数 f(x) = x x2 + 1 . (1) 判断函数 f(x) 的奇偶性,并证明结论; (2) 证明函数 f(x) 在[1, + ∞ ) 上单调递减. 24 14. 函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ≥ 0 时,f(x) = x2 - 2x. (1) 求函数 f(x) 的解析式; (2) 当 m > 0 时,若 | f(m) | = 1,求实数 m 的值. 3. 3　 一次函数、二次函数的图象和性质 ! "#$%& 1. 掌握一次函数的图象和性质; 2. 理解二次函数的概念; 3. 掌握二次函数的图象和性质, 会求二次函数的解析式; 4. 能运用函数知识解决简单的实际问题. 1.一次函数 (1) 一次函数的解析式 一般地,形如 y = kx + b(k,b 是常数,k ≠ 0) 的函数,叫做一次函数. 其中 x 是自变量,y 是因变量. b 叫做 直线在 y 轴上的截距(b 不表示距离,表示直线与 y 轴交点的纵坐标) . (2) 一次函数的图象和性质 一次函数 解析式 y = kx + b(k,b 是常数,k ≠ 0) 定义域 R 值域 R 图象 当 k > 0 时 当 k < 0 时 (b > 0) (b = 0) (b < 0) (b > 0) (b = 0) (b < 0) 单调性 单调递增 单调递减 奇偶性 当 b = 0 时是奇函数,当 b ≠ 0 时是非奇非偶函数 34