3.1 函数的概念及表示方法-2024版山东省职教高考数学复习教材

x2 = - 1 - 12 - 4 × 1 × ( - 6) 2 × 1 = - 3,且不等式 x2 + x - 6 < 0 的二次项系数大于零,所以 x2 + x - 6 < 0 的解集为 {x | - 3 < x < 2},所以 - x2 - x + 6 > 0 的解集为{x | - 3 < x < 2} . 6. A　 【解析】 解方程 x(x - 2) = 0 得 x = 0 或 x = 2,所以不等式 x(x - 2) > 0 的解集为{x | x > 2 或 x < 0} . 又{x | x > 3} 是{x | x > 2 或 x < 0} 的真子集,所以“x > 3” 是“x(x - 2) > 0” 的充分不必要条件. 7. C　 【解析】 由题可知,3 和 4 是方程 ax2 + bx - 1 = 0 的两个实数根,所以 3 + 4 = - b a , 3 × 4 = - 1 a , ì î í ï ï ï ï 解得 a = - 1 12 , b = 7 12 , ì î í ï ï ï ï 所以 24a + 12b = 5. 8. B　 【解析】 要使函数 y = x2 - 1 有意义,须 x2 - 1 ≥ 0,即 x2 ≥ 1.易知方程 x2 = 1的两根分别为 - 1,1.且不等式 x2 - 1 ≥ 0的 二次项系数大于零,所以不等式 x2 ≥ 1 的解集为{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1},所以函数 y = x2 - 1 的定义域是{x | x ≥ 1 或x ≤- 1}. 9. A　 【解析】 由函数 y = log2(x - x2 ) 有意义得 x - x2 > 0,即 x2 - x < 0,故 x(x - 1) < 0. 由 x(x - 1) = 0 得 x = 0 或 x = 1. 又不等式 x2 - x < 0 的二次项系数大于零,所以 x(x - 1) < 0 的解集为(0,1),所以 x - x2 > 0 的解集为(0,1),所以函数 y = log2(x - x2 ) 的定义域为(0,1) . 10. 【解析】 当 a = 0 时,不等式化为 - 1 > 0,解集为 ⌀,满足题意; 当 a ≠ 0 时,若不等式 ax2 + ax - 1 > 0 的解集为 ⌀,则 a < 0, Δ = a2 + 4a ≤ 0.{ 由 a2 + 4a ≤ 0 得 a(a + 4) ≤ 0. 易知方程 a(a + 4) = 0 的两根为 0, - 4. 又二次函数 y = a2 + 4a 的图象开口向上, 所以不等式 a(a + 4) ≤ 0 的解集为{a | - 4 ≤ a ≤ 0}, 所以 - 4 ≤ a < 0. 综上,实数 a 的取值范围是{a | - 4 ≤ a ≤ 0} . 第三章 　 函 　 　 数 3. 1　 函数的概念及表示方法 1. C　 【解析】对于A,定义域为[0,1],但值域不是[0,1],故A不符合题意. 对于B,值域为[0,1],但定义域不是[0,1],故B不 符合题意. 对于 C,定义域和值域均为[0,1],故 C 符合题意. 对于 D, 当 0 < x < 1 时,有两个 y值与之对应,不满足函数的定 义,故 D 不符合题意. 2. C　 【解析】 因为 f(x) = x + 3 + 1 x + 2 ,所以 f(1) = 1 + 3 + 1 1 + 2 = 7 3 . 3. B　 【解析】由函数的定义可知,在定义域内任取一个值,都有唯一的一个函数值 f(x) 与之对应. 当 x = 2 023在定义域内时, 函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 2 023 有唯一的交点;当 x = 2 023 不在定义域内时,函数值 f(x) 不存在,此时函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 2 023 没有交点. 综上,函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 2 023 至多有 1 个交点. 212 4. D　 【解析】 要使函数 f(x) = log2(x + 3) + 1 x + 2 有意义,须 x + 3 > 0, x + 2 ≠ 0,{ 解得 x > - 3 且 x ≠- 2,所以函数 f(x) = log2(x + 3) + 1 x + 2 的定义域是( - 3, - 2) ∪ ( - 2, + ∞ ) . 5. B　 【解析】 因为函数 f(x) = x2 + 5,x ≤ 1, 1 x - 3 ,x > 1, ì î í ïï ï 所以 f( - 1) = ( - 1) 2 + 5 = 6,所以 f[ f( - 1)] = f(6) = 1 6 - 3 = 1 3 . 6. B　 【解析】 由表格知 f( - 1) = - 2,f(2) = 1,所以 f( - 1) + f(2) = - 1. 7. C　 【解析】 当 x ≥- 1 时,f(x) = 3 - 2x = 1,解得 x = 1;当 x < - 1 时,f(x) = x - 4 = 1,解得 x = 5(舍去) . 综上, x = 1. 8. A　 【解析】 因为函数 f(n) = k(其中 n ∈N∗ ),k 是 π 的小数点后的第 n 位数字,π = 3. 141 592 653 5…,所以 f(10) = 5, 所以 f[ f(10)] = f(5) = 9. 9. C　 【解析】 由函数 y = | 2 - x | - 5 有意义得 | 2 - x | ≥ 5,所以 2 - x ≥ 5 或 2 - x ≤- 5,解得 x ≤- 3 或 x ≥ 7,所以函 数 y = | 2 - x | - 5 的定义域是{x | x ≤- 3 或 x ≥ 7} . 10. 13　 【解析】 由题意可得,2 􀱇 4 = 2 × 4 + 2 + 4 - 1 = 13. 11. 4　 【解析】 因为函数 f(x) = x + 3 x + 1 , 所以 f(2) = 2 + 3 2 + 1 = 5 3 ,f 1 2( ) = 1 2 + 3 1 2 + 1 = 7 3 , 所以 f(2) + f 1 2( ) = 5 3 + 7 3 = 4. 12. x2 　 【解析】 因为 f(x) = (x + 1) 2 ,所以 f(x - 1) = [(x - 1) + 1] 2 = x2 . 13. 【解析】(1) 因为函数 f(x) = x + 2 x - 1 , 所以 f(2) = 2 + 2 2 - 1 = 4. (2) 易知函数 f(x) = x + 2 x - 1 的定义域为{x | x ≠ 1} . 因为 f(a) = 2a, 所以 f(a) = a + 2 a - 1 = 2a,即 a + 2 = 2a(a - 1),即 2a2 - 3a - 2 = 0,解得 a = - 1 2 或 a = 2, 所以 a = - 1 2 或 a = 2. 3. 2　 函数的单调性和奇偶性 1. C　 【解析】 函数 y = x2 - 1 在(0, + ∞ ) 上单调递增,故 A 不符合题意. 函数 y = x3 在(0, + ∞ ) 上单调递增,故 B 不符合题 意. 函数 y = - 3x + 2 在(0, + ∞ ) 上单调递减,故 C 符合题意. 函数在 y = log2x 在(0, + ∞ ) 上单调递增,故 D 不符合 题意. 2. B　 【解析】 由图象知,该函数的单调增区间为[ - 1,2] 和[4,5] . 因为 0 < 5,f(0) = f(5),所以在区间[ - 1,2] ∪ [4,5] 上, 函数 f(x) 不单调. 312 3. 1　 函数的概念及表示方法 ! "#$%& 1. 理解函数的概念及函数的表示方法; 2. 理解函数的两要素,会求一些常见函数的定义域、简单函数值; 3. 理解分段函数的概念. 1.函数的概念 一般地,设D是非空数集,对于D中的每一个 x,按照某个确定的对应法则 f,都有唯一确定的值 y与它对 应,那么就称 y 为 x 的函数,记作 y = f(x),x ∈ D. 其中,x 称为自变量,x 的取值范围 D 称为函数的定义域. 当 x0 ∈ D 时,与 x0 相对应的值 y0 称为函数在点 x0 处的函数值,记作 y0 = f(x0) . 函数值的集合{y | y = f(x),x ∈ D} 称为函数的值域. 例如一次函数 y = 2x + 1 的定义域是R,值域也是R. 也就是,对于定义域R中的每一个数 x,按照对应法 则“x → 2x + 1”,都有唯一确定的值 y = 2x + 1 与它对应. 这个函数也可记为 f(x) = 2x + 1. 2.函数的两要素 (1) 定义域:使得函数关系式有意义的实数 x 构成的集合. (2) 对应关系:f(把 A 中的任意一个数 x,对应到 B 中唯一确定的数) . 当一个函数的定义域和对应法则确定时,这个函数的值域也被唯一确定. 3.同一函数 前提条件:定义域相同;对应关系相同. 结论:这两个函数为同一个函数. 13 4.函数的表示方法 (1) 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法. 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0),反比例函数 y = k x (k ≠ 0),二次函数 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 等都是利用 解析法表示的函数. (2) 列表法 列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法称为列表法. 在下表中,我们用表格表示购买签字笔的数量 x(单位:支) 和应付款 y(单位:元) 之间的对应关系. 由 表知,购买 1 支签字笔应付款 6. 5 元,购买 2 支签字笔应付款 13 元. x / 支 1 2 3 4 y / 元 6. 5 13 19. 5 26 　 　 (3) 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法. 如图所示为某市居民每户每年应缴水费 y(单位:元) 随用水量 x(单位:m3) 变化的图象. 5.分段函数 自变量在不同范围内取值时,需要用不同的解析式来表示,称这样的函数为分段函数. 如用“阶梯水价” 的办法计量水费, 所得某市居民每户每年应缴水费 y(单位: 元) 与用水量 x(单 位:m3) 之间的函数关系为 y = 5x,0 ≤ x ≤ 180, 7x - 360,180 < x ≤ 260, 9x - 880,x > 260. ì î í ï ï ï ï 这个函数是分段函数,该函数是由三段解析式组 成的. 　 　 ① 分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围集合的并集,值域是自变量在各段不同取值范围 的函数值集合的并集. 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数. ②求分段函数的函数值 f(x0) 时,首先要判断 x0 所属的取值范围,然后再将 x0 代入相应的解析式中进 行计算. ③ 作分段函数的图象时,分别在各段不同取值范围内,根据相应解析式,作出相应部分的图象. 23 !"#$ 题型一:函数的概念 ! 1 下列图象中,能表示 y 是 x 的函数的是 (　 　 ) A. B. C. D. 【解析】 由函数定义可知,定义域中任意一个变量 x,都存在唯一确定的函数值 y 与之对应. A 中,在定义域内,任意一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应; B 中,当 x > 0 时,有两个 y 值与之对应; C 中,当 x = 0 时,有两个 y 值与之对应; D 中,当 x = 0 时,有两个 y 值与之对应. 所以 A 满足函数定义,B,C,D 不满足函数定义. 【答案】 A 题型二:函数的定义域 ! 2 (2021,2) 函数 y = | x - 1 | - 3 的定义域是 (　 　 ) A. ( - 2,4) B. ( - ∞ , - 2) ∪ (4, + ∞ ) C. [ - 2,4] D. ( - ∞ , - 2] ∪ [4, + ∞ ) 【解析】 要使函数 y = | x - 1 | - 3 有意义,须 | x - 1 | - 3 ≥ 0, 由 | x - 1 | ≥ 3 得 x - 1 ≥ 3 或 x - 1 ≤- 3,解得 x ≥ 4 或 x ≤- 2, 故函数 y = | x - 1 | - 3 的定义域为( - ∞ , - 2] ∪ [4, + ∞ ) . 【答案】 D ! 3 (2020,2) 函数 f(x) = 1 lg x 的定义域是 (　 　 ) A. (0, + ∞ ) B. (0,1) ∪ (1, + ∞ ) C. [0,1) ∪ (1, + ∞ ) D. (1, + ∞ ) 【解析】 根据题意得 x > 0, lg x ≠ 0,{ 解得 x > 0 且 x ≠ 1, 所以函数 f(x) = 1 lg x 的定义域为(0,1) ∪ (1, + ∞ ) . 【答案】 B 33 题型三:函数值 ! 4 (2021,10) 已知函数 f(x) 的对应值如下表所示. 函数 y = f(x) 的对应值表 x 0 1 2 3 4 5 y 3 6 5 4 2 7 　 　 则 f[ f(2)] 等于 (　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【解析】 由题图表可知,f(2) = 5, 所以 f[ f(2)] = f(5) = 7. 【答案】 D ! 5 若函数 f(x) = x - 1 x + 2 ,则 f( - 1) = (　 　 ) A. 1 B. - 1 C. - 2 D. 2 【解析】 因为 f(x) = x - 1 x + 2 , 所以 f( - 1) = - 1 - 1 - 1 + 2 = - 2. 【答案】 C 题型四:函数新定义 ! 6 (2022,17) 对于 a ∈ Z,0 ≤ b < 1,给出运算法则:[a + b] = a - 2,则[ - 1. 414] 的值为 (　 　 ) A. 1 B. 0 C. - 3 D. - 4 【解析】 易知 - 1. 414 = - 2 + 0. 586, - 2 ∈ Z,0 ≤ 0. 586 < 1. 由运算法则[a + b] = a - 2,得[ - 1. 414] = [ - 2 + 0. 586] = - 2 - 2 = - 4. 【答案】 D 题型五:分段函数 ! 7 (2020,26) 已知函数 f(x) = 2x - 5,x ≥ 0, x2 + 2x,x < 0.{ (1) 求 f[ f(1)] 的值; (2) 若 f( | a - 1 | ) < 3,求实数 a 的取值范围. 43 【解析】 (1) 因为 1 > 0, 所以 f(1) = 2 × 1 - 5 = - 3. 因为 - 3 < 0, 所以 f[ f(1)] = f( - 3) = ( - 3) 2 + 2 × ( - 3) = 3. (2) 因为 | a - 1 | ≥ 0, 所以 f( | a - 1 | ) = 2 | a - 1 | - 5. 因为 f( | a - 1 | ) < 3, 所以 2 | a - 1 | - 5 < 3,即 | a - 1 | < 4,解得 - 3 < a < 5, 所以实数 a 的取值范围为( - 3,5) . 1. 下列图象中,表示定义域和值域均为[0,1] 的函数的是 (　 　 ) A. B. C. D. 2. 已知函数 f(x) = x + 3 + 1 x + 2 ,则 f(1) = (　 　 ) A. 1 B. 5 3 C. 7 3 D. 13 3 3. 函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 2 023 的交点个数 (　 　 ) A. 至少有 1 个 B. 至多有 1 个 C. 仅有 1 个 D. 可能有无数多个 4. 函数 f(x) =log2(x + 3) + 1 x + 2 的定义域是 (　 　 ) A. [ - 3, + ∞ ) B. [ - 3, - 2) ∪ ( - 2, + ∞ ) C. ( - 3, + ∞ ) D. ( - 3, - 2) ∪ ( - 2, + ∞ ) 5. 已知函数 f(x) = x2 + 5,x ≤ 1, 1 x - 3 ,x > 1, ì î í ï ï ïï 则 f[ f( - 1)] = (　 　 ) A. 3 2 B. 1 3 C. - 3 4 D. - 10 9 53 6. 已知函数 y = f(x) 的对应值如下表所示,则 f( - 1) + f(2) 的值为 (　 　 ) x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 y - 1 - 5 - 2 0 2 1 4 A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1 7. 已知函数 f(x) = 3 - 2x,x ≥- 1, x - 4,x < - 1,{ 若 f(x) = 1,则 x = (　 　 ) A. 5 B. 1 或 - 5 C. 1 D. 1 或 5 8. 设函数 f(n) = k(其中 n ∈N∗),k 是 π 的小数点后的第 n 位数字,π = 3. 141 592 653 5…,则 f[ f(10)] = (　 　 ) A. 9 B. 2 C. 6 D. 5 9. 函数 y = | 2 - x | - 5 的定义域是 (　 　 ) A. {x | x ≥ 7 或 x ≤ 3} B. {x | 3 ≤ x ≤ 7} C. {x | x ≤- 3 或 x ≥ 7} D. {x | - 3 ≤ x ≤ 7} 10. 已知 x,y ∈ R,在实数集 R 中定义一种运算 x 􀱇 y = xy + x + y - 1,则 2 􀱇 4 = . 11. 若函数 f(x) = x + 3 x + 1 ,则 f(2) + f 1 2( ) = . 12. 已知函数 f(x) =(x + 1) 2,则 f(x - 1) = . 13. 已知函数 f(x) = x + 2 x - 1 . (1) 求 f(2) 的值; (2) 若 f(a) = 2a,求实数 a 的值. 63