2.4 一元二次不等式-2024版山东省职教高考数学复习教材

2. C　 【解析】 由 | 2x - 6 | < 3 得 - 3 < 2x - 6 < 3,解得 3 2 < x < 9 2 ,所以不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 3 2 , 9 2( ) . 3. A　 【解析】 由 | x - 2 023 | ≥ 1 得 x - 2 023 ≥ 1 或 x - 2 023 ≤- 1,解得 x ≥ 2 024 或 x ≤ 2 022,所以不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) . 4. B　 【解析】 将 | 3x | < 15 系数化为 1, 得 | x | < 5, 解得 - 5 < x < 5, 所以不等式 | 3x | < 15 的解集是{x | - 5 < x < 5} . 5. D　 【解析】 由 | 3x - 18 | > 3 得 3x - 18 > 3 或 3x - 18 < - 3,解得 x > 7 或 x < 5,所以不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) . 6. B　 【解析】 由题意及绝对值的几何意义知,所求集合中的元素满足不等式 | x | ≤ 3. 易知不等式 | x | ≤ 3的解集为{x | - 3 ≤ x ≤ 3},故所求集合为{x | - 3 ≤ x ≤ 3} . 7. B　 【解析】 由 | x - 1 | < 1,得 - 1 < x - 1 < 1,解得 0 < x < 2,故 B = {x | | x - 1 | < 1} = {x | 0 < x < 2} . 又 A = {1, 2,3},所以 A ∩ B = {1} . 8. B　 【解析】 由 | x - 2 | > 1,得 x - 2 > 1 或 x - 2 < - 1,解得 x > 3 或 x < 1,所以“| x - 2 | > 1” 是“x > 3” 的必要不充分条件. 9. D　 【解析】 因为偶次根式被开方数不能为负, 分母不能为 0, 所以若函数 y = x - 1 | x | - 2 有意义, 须 x - 1 ≥ 0, | x | - 2 ≠ 0,{ 得 x ≥ 1, x ≠ ± 2,{ 所以函数的定义域为[1,2) ∪ (2, + ∞ ) . 10. 1　 【解析】 | - 5 | - 22 = 5 - 4 = 1. 11. 4 或 - 4　 【解析】 由 | 2x | - 8 = 0 得 | x | = 4,解得 x = 4 或 x = - 4. 12. 【解析】 由 | 5 - 3x | = | 3x - 5 | 知,不等式 | 5 - 3x | ≤ 7 可化为 | 3x - 5 | ≤ 7,则 - 7 ≤ 3x - 5 ≤ 7,解得 - 2 3 ≤ x ≤ 4, 所以不等式 | 2x - 5 | ≤ 7 的解集为 - 2 3 ,4[ ] . 2. 4　 一元二次不等式 1. A　 【解析】 易得方程 x2 - 3x = 0 即 x(x - 3) = 0 的两根分别为 0,3. 又不等式 x2 - 3x > 0 的二次项系数大于零,所以不等 式 x2 - 3x > 0 的解集为{x | x < 0 或 x > 3} . 2. C　 【解析】 解(x - 1)(x + 3) = 0 可得 x = - 3 或 x = 1, 所以不等式 (x - 1)(x + 3) > 0 的解集为 {x | x > 1 或x < - 3} . 3. C　 【解析】 由二次函数的图象可得,当 x < - 2 或 x > 2 时,函数图象在 x轴的上方,故 y > 0, 当 - 2 < x < 2 时,函数图象 在 x 轴的下方,故 y < 0,因此,不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为{x | x < - 2 或 x > 2} . 4. C　 【解 析 】 易 得 方 程 x2 - 3x + 2 = 0 的 两 根 分 别 为 x1 = - ( - 3) + ( - 3) 2 - 4 × 1 × 2 2 × 1 = 2,x2 = - ( - 3) - ( - 3) 2 - 4 × 1 × 2 2 × 1 = 1,且不等式 x2 - 3x + 2 < 0 的二次项系数大于零,所以 x2 - 3x + 2 < 0 的解集为 {x | 1 < x < 2} . 5. B　 【解析】 不等式可化为 x2 + x - 6 < 0. 易得方程 x2 + x - 6 = 0 的两个解分别为 x1 = - 1 + 12 - 4 × 1 × ( - 6) 2 × 1 = 2, 112 x2 = - 1 - 12 - 4 × 1 × ( - 6) 2 × 1 = - 3,且不等式 x2 + x - 6 < 0 的二次项系数大于零,所以 x2 + x - 6 < 0 的解集为 {x | - 3 < x < 2},所以 - x2 - x + 6 > 0 的解集为{x | - 3 < x < 2} . 6. A　 【解析】 解方程 x(x - 2) = 0 得 x = 0 或 x = 2,所以不等式 x(x - 2) > 0 的解集为{x | x > 2 或 x < 0} . 又{x | x > 3} 是{x | x > 2 或 x < 0} 的真子集,所以“x > 3” 是“x(x - 2) > 0” 的充分不必要条件. 7. C　 【解析】 由题可知,3 和 4 是方程 ax2 + bx - 1 = 0 的两个实数根,所以 3 + 4 = - b a , 3 × 4 = - 1 a , ì î í ï ï ï ï 解得 a = - 1 12 , b = 7 12 , ì î í ï ï ï ï 所以 24a + 12b = 5. 8. B　 【解析】 要使函数 y = x2 - 1 有意义,须 x2 - 1 ≥ 0,即 x2 ≥ 1.易知方程 x2 = 1的两根分别为 - 1,1.且不等式 x2 - 1 ≥ 0的 二次项系数大于零,所以不等式 x2 ≥ 1 的解集为{x | x ≥ 1 或 x ≤- 1},所以函数 y = x2 - 1 的定义域是{x | x ≥ 1 或x ≤- 1}. 9. A　 【解析】 由函数 y = log2(x - x2 ) 有意义得 x - x2 > 0,即 x2 - x < 0,故 x(x - 1) < 0. 由 x(x - 1) = 0 得 x = 0 或 x = 1. 又不等式 x2 - x < 0 的二次项系数大于零,所以 x(x - 1) < 0 的解集为(0,1),所以 x - x2 > 0 的解集为(0,1),所以函数 y = log2(x - x2 ) 的定义域为(0,1) . 10. 【解析】 当 a = 0 时,不等式化为 - 1 > 0,解集为 ⌀,满足题意; 当 a ≠ 0 时,若不等式 ax2 + ax - 1 > 0 的解集为 ⌀,则 a < 0, Δ = a2 + 4a ≤ 0.{ 由 a2 + 4a ≤ 0 得 a(a + 4) ≤ 0. 易知方程 a(a + 4) = 0 的两根为 0, - 4. 又二次函数 y = a2 + 4a 的图象开口向上, 所以不等式 a(a + 4) ≤ 0 的解集为{a | - 4 ≤ a ≤ 0}, 所以 - 4 ≤ a < 0. 综上,实数 a 的取值范围是{a | - 4 ≤ a ≤ 0} . 第三章 　 函 　 　 数 3. 1　 函数的概念及表示方法 1. C　 【解析】对于A,定义域为[0,1],但值域不是[0,1],故A不符合题意. 对于B,值域为[0,1],但定义域不是[0,1],故B不 符合题意. 对于 C,定义域和值域均为[0,1],故 C 符合题意. 对于 D, 当 0 < x < 1 时,有两个 y值与之对应,不满足函数的定 义,故 D 不符合题意. 2. C　 【解析】 因为 f(x) = x + 3 + 1 x + 2 ,所以 f(1) = 1 + 3 + 1 1 + 2 = 7 3 . 3. B　 【解析】由函数的定义可知,在定义域内任取一个值,都有唯一的一个函数值 f(x) 与之对应. 当 x = 2 023在定义域内时, 函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 2 023 有唯一的交点;当 x = 2 023 不在定义域内时,函数值 f(x) 不存在,此时函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 2 023 没有交点. 综上,函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 2 023 至多有 1 个交点. 212 4. 不等式 | 3x | < 15 的解集是 (　 　 ) A. {x | x ≤- 3 或 x ≥ 3} B. {x | - 5 < x < 5} C. {x | x < - 3 或 x > 3} D. {x | - 5 ≤ x ≤ 5} 5. 不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 (　 　 ) A. [5,7] B. ( - ∞ , - 7) ∪ ( - 5, + ∞ ) C. (5,7) D. ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) 6. 在数轴上与原点距离不大于 3 的点表示的数的集合是 (　 　 ) A. {x | x ≤- 3 或 x ≥ 3} B. {x | - 3 ≤ x ≤ 3} C. {x | x ≤- 3} D. {x | x ≥ 3} 7. 已知集合 A = {1,2,3},集合 B = {x | | x - 1 | < 1},则 A ∩ B = (　 　 ) A. ⌀ B. {1} C. {1,2} D. {1,2,3} 8. “ | x - 2 | > 1” 是“x > 3” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数 y = x - 1 | x | - 2 的定义域是 (　 　 ) A. [1, + ∞ ) B. (2, + ∞ ) C. ( - ∞ , - 2) ∪ (2, + ∞ ) D. [1,2) ∪ (2, + ∞ ) 10. 计算 | - 5 | - 22 = . 11. 若 | 2x | - 8 = 0,则 x = . 12. 解绝对值不等式 | 5 - 3x | ≤ 7. 2. 4　 一元二次不等式 ! "#$%& 1. 会解一元二次不等式; 2. 能利用不等式的知识解决有关实际问题. 1.一元二次不等式的概念及一般形式 概念:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的不等式. 一般形式:ax2 + bx + c > 0(≥ 0),ax2 + bx + c < 0(≤ 0),a ≠ 0. 62 2.一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 在一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 根的判别式 Δ = b2 - 4ac 的不同情况下,对应函数的图象与 x 轴的位置关系及对应不等式的解集如下表所示. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根 x1 ,x2(x1 < x2 ) x0 没有实数根 ax2 + bx + c > 0(a > 0) 的解集 ( - ∞ ,x1 ) ∪ (x2 , + ∞ ) 大号取两边 ( - ∞ ,x0 ) ∪ (x0 , + ∞ ) R ax2 + bx + c < 0(a > 0) 的解集 (x1 ,x2 ) 小号取中间 ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≥ 0(a > 0) 的解集 ( - ∞ ,x1 ] ∪ [x2 , + ∞ ) 大号取两边 R R ax2 + bx + c ≤ 0(a > 0) 的解集 [x1 ,x2 ] 小号取中间 {x0 } ⌀ 3.一元二次不等式的求解过程 4.分式不等式的解法 (1) ax + b cx + d > 0 可化为(ax + b)(cx + d) > 0,然后根据一元二次不等式的解法求解; (2) ax + b cx + d ≥ 0 可化为 (ax + b)(cx + d) ≥ 0, cx + d ≠ 0,{ 然后根据一元二次不等式的解法求解; (3) ax + b cx + d < 0 可化为(ax + b)(cx + d) < 0,然后根据一元二次不等式的解法求解; (4) ax + b cx + d ≤ 0 可化为 (ax + b)(cx + d) ≤ 0, cx + d ≠ 0,{ 然后根据一元二次不等式的解法求解. 72 !"#$ 题型一:一元二次不等式的解法 ! 1 不等式(x - 2) 2 ≤ 4 的解集为 . 【解析】 解一元二次方程(x - 2) 2 = 4 得 x1 = 0,x2 = 4. 又不等式(x - 2) 2 ≤ 4 的二次项系数大于零, ∴ 原不等式的解集为{x | 0 ≤ x ≤ 4} . 【答案】 {x | 0 ≤ x ≤ 4} ! 2 不等式 x2 + 5x > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x < 0 或 x > 5} B. {x | 0 < x < 5} C. {x | x < - 5 或 x > 0} D. {x | - 5 < x < 0} 【解析】 易得方程 x2 + 5x = 0 即 x(x + 5) = 0 的两根分别为 - 5,0. 又不等式 x2 + 5x > 0 的二次项系数大于零, 所以不等式 x2 + 5x > 0 的解集为{x | x < - 5 或 x > 0} . 【答案】 C ! 3 不等式 x2 - 2x - 3 ≤ 0 的解集是 (　 　 ) A. [ - 1,3] B. [ - 3,1] C. ( - ∞ , - 1) ∪ [3, + ∞ ) D. ( - ∞ , - 3) ∪ [1, + ∞ ) 【解析】 易 得 方 程 x2 - 2x - 3 = 0 的 两 根 分 别 为 x1 = 2 + ( - 2) 2 - 4 × ( - 3) 2 × 1 = 3,x2 = 2 - ( - 2) 2 - 4 × ( - 3) 2 × 1 = - 1. 又不等式 x2 - 2x - 3 ≤ 0 的二次项系数为 1 > 0, 所以不等式 x2 - 2x - 3 ≤ 0 的解集是[ - 1,3] . 【答案】 A ! 4 不等式 x(x + 1) < 0 的解集是 (　 　 ) A. {x | x < 1} B. {x | x > 0} C. {x | - 1 < x < 0} D. {x | x < - 1 或 x > 0} 【解析】 易得方程 x(x + 1) = 0 的根为 x = - 1 或 x = 0. 因为不等式 x(x + 1) < 0 的二次项系数为 1 > 0, 所以不等式 x(x + 1) < 0 的解集是{x | - 1 < x < 0} . 【答案】 C 82 题型二:一元二次不等式与二次函数的关系 ! 5 (2020,12) 已知二次函数 y = ax2 + bx + c的图象如图所示,则不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是 (　 　 ) A. ( - 2,1) B. ( - ∞ , - 2) ∪ (1, + ∞ ) C. [ - 2,1] D. ( - ∞ , - 2] ∪ [1, + ∞ ) 【解析】 由函数 y = ax2 + bx + c的图象可知,当 x < - 2 时,y < 0,当 - 2 < x < 1 时,y > 0,当 x > 1 时, y < 0, 所以不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为( - 2,1) . 【答案】 A 题型三:一元二次不等式的应用 ! 6 函数 f(x) = x(x + 2) 的定义域是 (　 　 ) A. [0,2] B. [ - 2,0] C. ( - ∞ ,0] ∪ [2, + ∞ ) D. ( - ∞ , - 2] ∪ [0, + ∞ ) 【解析】 由 f(x) = x(x + 2) 有意义得 x(x + 2) ≥ 0. 方程 x(x + 2) = 0 的根分别为 x = 0 或 x = - 2. 又不等式 x(x + 2) ≥ 0 的二次项系数为 1 > 0, 所以不等式 x(x + 2) ≥ 0 的解集为( - ∞ , - 2] ∪ [0, + ∞ ), 故函数 f(x) 的定义域为( - ∞ , - 2] ∪ [0, + ∞ ) . 【答案】 D ! 7 函数 f(x) = log2 - x2 + 2x + 3 的定义域是 (　 　 ) A. ( - 1,3) B. [ - 1,3] C. ( - 3,1) D. [ - 3,1] 【解析】 要使函数 f(x) =log2 - x2 + 2x + 3 有意义,须 - x2 + 2x + 3 > 0,即 x2 - 2x - 3 < 0. 解方程 x2 - 2x - 3 = 0 得 x1 = 2 + 4 - 4 × 1 × ( - 3) 2 = 3,x2 = 2 - 4 - 4 × 1 × ( - 3) 2 = - 1. 又 x2 - 2x - 3 < 0 的二次项系数为 1 > 0, 所以不等式 x2 - 2x - 3 < 0 的解为 - 1 < x < 3, 所以函数 f(x) =log2 - x2 + 2x + 3 的定义域为( - 1,3) . 【答案】 A 92 1. 不等式 x2 - 3x > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x < 0 或 x > 3} B. {x | 0 < x < 3} C. {x | x < - 3 或 x > 0} D. {x | - 3 < x < 0} 2. 不等式(x - 1)(x + 3) > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x > 3 或 x < - 1} B. {x | - 1 < x < 3} C. {x | x > 1 或 x < - 3} D. {x | - 3 < x < 1} 3. 如图是函数 y = ax2 + bx + c 的图象,则不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x > 2} B. {x | x > - 2} C. {x | x < - 2 或 x > 2} D. {x | - 2 < x < 2} 4. 不等式 x2 - 3x + 2 < 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x > 2} B. {x | x > 1} C. {x | 1 < x < 2} D. {x | x < 1 或 x > 2} 5. 不等式 - x2 - x + 6 > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | - 2 < x < 3} B. {x | - 3 < x < 2} C. {x | x < - 2 或 x > 3} D. {x | x < - 3 或 x > 2} 6. 设 x ∈ R,则“x > 3” 是“x(x - 2) > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知不等式 ax2 + bx - 1 > 0 的解集为(3,4),则 24a + 12b 的值是 (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 函数 y = x2 - 1 的定义域是 (　 　 ) A. {x | x ≠ 1} B. {x | x ≥ 1 或 x ≤- 1} C. {x | x > 1} D. {x | x < - 1} 9. 函数 y =log2(x - x2) 的定义域为 (　 　 ) A. (0, 1) B. ( - 1,0) C. (1, + ∞ ) D. ( - ∞ ,0) 10. 若不等式 ax2 + ax - 1 > 0 的解集为 ⌀,求实数 a 的取值范围. 03