2.3 含绝对值的不等式-2024版山东省职教高考数学复习教材

(3) 移项得 x(x + 2) - 5(x + 2) = 0, 提取公因式得(x + 2)(x - 5) = 0, 由此可得 x + 2 = 0 或 x - 5 = 0, 故 x1 = - 2,x2 = 5. (4)∵ a = 1,b = 4,c = - 1, ∴ Δ = b2 - 4ac = 16 + 4 = 20 > 0, ∴ 方程有两个不等的实数根 x = - b ± b2 - 4ac 2a = - 4 ± 2 5 2 = - 2 ± 5 , ∴ x1 = - 2 + 5 ,x2 = - 2 - 5 . 2. 2　 不等式的基本性质、区间 1. A　 【解析】 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 应用左开右闭的区间表示,可以表示为( - 3,2] . 2. D　 【解析】m - n = x2 + y2 + 19 - 4(2y - x) + 1 = (x + 2)2 +(y - 4)2 ≥ 0,当且仅当 x = - 2,y = 4 时等号成立,所以 m ≥ n. 3. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac = bc,故 A 错误;当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,此时 1 a = 1, 1 b = - 1 2 ,a2 = 1,b2 = 4,则 1 a > 1 b ,a2 < b2 ,故 B,C 错误;不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 D 正确. 4. B　 【解析】 当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,但 a > b + 2,a + b = - 1 < 0, | a | < | b | ,故 A,C,D 错误. 不等式 a > b 两 边同时减去同一个数 b,不等号的方向不变,所以 a - b > 0,故 B 正确. 5. B　 【解析】 由不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 得 x < 2, x ≥- 1,{ 所以原不等式组的解集为[ - 1,2) . 6. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac2 = bc2 ,A 错误;由 a < b < 0,得 a2 - ab = a(a - b) > 0,所以 a2 > ab, B 错误;因为 c > a > b > 0,所以 c - a > 0,c - b > 0,a - b > 0,所以 a c - a - b c - b = ac - ab - bc + ab (c - a)(c - b) = c(a - b) (c - a)(c - b) > 0,所以 a c - a > b c - b , C 错误;因为 a > b > 1,所以 ab > 0,a - b > 0,ab - 1 > 0,所以 a + 1 a - b - 1 b = a - b + b - a ab = (a - b) 1 - 1 ab( ) = (a - b)·ab - 1 ab > 0,D 正确. 7. 1 3 , + ∞[ ) 　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,即 x ≥ 13 ,所以 x 的取值范围是 1 3 , + ∞[ ) . 8. ( - 3,2)　 【解析】 要使函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 有意义,须 2 - x > 0, x + 3 > 0,{ 解得 - 3 < x < 2,所以函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为( - 3,2) . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) . 012 2. C　 【解析】 由 | 2x - 6 | < 3 得 - 3 < 2x - 6 < 3,解得 3 2 < x < 9 2 ,所以不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 3 2 , 9 2( ) . 3. A　 【解析】 由 | x - 2 023 | ≥ 1 得 x - 2 023 ≥ 1 或 x - 2 023 ≤- 1,解得 x ≥ 2 024 或 x ≤ 2 022,所以不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) . 4. B　 【解析】 将 | 3x | < 15 系数化为 1, 得 | x | < 5, 解得 - 5 < x < 5, 所以不等式 | 3x | < 15 的解集是{x | - 5 < x < 5} . 5. D　 【解析】 由 | 3x - 18 | > 3 得 3x - 18 > 3 或 3x - 18 < - 3,解得 x > 7 或 x < 5,所以不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) . 6. B　 【解析】 由题意及绝对值的几何意义知,所求集合中的元素满足不等式 | x | ≤ 3. 易知不等式 | x | ≤ 3的解集为{x | - 3 ≤ x ≤ 3},故所求集合为{x | - 3 ≤ x ≤ 3} . 7. B　 【解析】 由 | x - 1 | < 1,得 - 1 < x - 1 < 1,解得 0 < x < 2,故 B = {x | | x - 1 | < 1} = {x | 0 < x < 2} . 又 A = {1, 2,3},所以 A ∩ B = {1} . 8. B　 【解析】 由 | x - 2 | > 1,得 x - 2 > 1 或 x - 2 < - 1,解得 x > 3 或 x < 1,所以“| x - 2 | > 1” 是“x > 3” 的必要不充分条件. 9. D　 【解析】 因为偶次根式被开方数不能为负, 分母不能为 0, 所以若函数 y = x - 1 | x | - 2 有意义, 须 x - 1 ≥ 0, | x | - 2 ≠ 0,{ 得 x ≥ 1, x ≠ ± 2,{ 所以函数的定义域为[1,2) ∪ (2, + ∞ ) . 10. 1　 【解析】 | - 5 | - 22 = 5 - 4 = 1. 11. 4 或 - 4　 【解析】 由 | 2x | - 8 = 0 得 | x | = 4,解得 x = 4 或 x = - 4. 12. 【解析】 由 | 5 - 3x | = | 3x - 5 | 知,不等式 | 5 - 3x | ≤ 7 可化为 | 3x - 5 | ≤ 7,则 - 7 ≤ 3x - 5 ≤ 7,解得 - 2 3 ≤ x ≤ 4, 所以不等式 | 2x - 5 | ≤ 7 的解集为 - 2 3 ,4[ ] . 2. 4　 一元二次不等式 1. A　 【解析】 易得方程 x2 - 3x = 0 即 x(x - 3) = 0 的两根分别为 0,3. 又不等式 x2 - 3x > 0 的二次项系数大于零,所以不等 式 x2 - 3x > 0 的解集为{x | x < 0 或 x > 3} . 2. C　 【解析】 解(x - 1)(x + 3) = 0 可得 x = - 3 或 x = 1, 所以不等式 (x - 1)(x + 3) > 0 的解集为 {x | x > 1 或x < - 3} . 3. C　 【解析】 由二次函数的图象可得,当 x < - 2 或 x > 2 时,函数图象在 x轴的上方,故 y > 0, 当 - 2 < x < 2 时,函数图象 在 x 轴的下方,故 y < 0,因此,不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集为{x | x < - 2 或 x > 2} . 4. C　 【解 析 】 易 得 方 程 x2 - 3x + 2 = 0 的 两 根 分 别 为 x1 = - ( - 3) + ( - 3) 2 - 4 × 1 × 2 2 × 1 = 2,x2 = - ( - 3) - ( - 3) 2 - 4 × 1 × 2 2 × 1 = 1,且不等式 x2 - 3x + 2 < 0 的二次项系数大于零,所以 x2 - 3x + 2 < 0 的解集为 {x | 1 < x < 2} . 5. B　 【解析】 不等式可化为 x2 + x - 6 < 0. 易得方程 x2 + x - 6 = 0 的两个解分别为 x1 = - 1 + 12 - 4 × 1 × ( - 6) 2 × 1 = 2, 112 5. 不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 的解集为 (　 　 ) A. ( - 1,2] B. [ - 1,2) C. [ - 1,2] D. ( - 1,2) 6. 已知 a,b,c ∈ R,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. 若 a > b,则 ac2 > bc2 B. 若 a < b < 0,则 a2 < ab C. 若 c > a > b > 0,则 a c - a < b c - b D. 若 a > b > 1,则 a + 1 a > b + 1 b 7. 若 3x - 1 有意义,则 x 的取值范围用区间表示为 . 8. 函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为 . (用区间表示) 2. 3　 含绝对值的不等式 ! "#$%& 1. 了解绝对值的概念及几何意义; 2. 会解形如 | ax + b | ≥ c 或 | ax + b | < c 的含绝对值的不等式. 1.绝对值的概念及几何意义 (1) 数轴上表示实数 a 对应的点到原点的距离称为 a 的绝对值. (2) 性质: | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 　 　 正数的绝对值是它本身,0 的绝对值是 0,负数的绝对值是它的相反数. 32 2.含绝对值不等式的解法 不等式 解集 a > 0 a = 0 a < 0 | x | < a {x | - a < x < a} ⌀ ⌀ | x | > a {x | x > a 或 x < - a} {x | x ≠ 0} R | mx + n | ≤ a(m > 0) x | - a - n m ≤ x ≤ a - n m{ } - n m{ } ⌀ | mx + n | ≥ a(m > 0) x | x ≥ a - n m 或 x ≤ - a - n m{ } R R 　 　 解形如 | ax + b | < c 的不等式的步骤: ① 去绝对值,得 - c < ax + b < c; ② 解不等式组 ax + b < c, ax + b > - c.{ !"#$ 题型一:绝对值的概念 ! 1 已知 | x | = 5,则 x = . 【解析】 当 x < 0 时,由 | x | = 5 得 - x = 5,则 x = - 5. 当 x ≥ 0 时,由 | x | = 5 得 x = 5. 综上,x = - 5 或 x = 5. 【答案】 - 5 或 5 题型二:含绝对值不等式的解法 ! 2 不等式 | x + 1 | > 2 的解集为 (　 　 ) A. [ - 3,1] B. ( - ∞ , - 3] ∪ [1, + ∞ ) C. ( - 3,1) D. ( - ∞ , - 3) ∪ (1, + ∞ ) 【解析】 由 | x + 1 | > 2 得 x + 1 > 2 或 x + 1 < - 2,解得 x > 1 或 x < - 3, 所以不等式 | x + 1 | > 2 的解集为( - ∞ , - 3) ∪ (1, + ∞ ) . 【答案】 D 42 ! 3 不等式 | 3x | > 9 的解集为 . 【解析】 将 | 3x | > 9 系数化为 1,得 | x | > 3. 由 | x | > 3 得 x > 3 或 x < - 3, 所以不等式 | 3x | > 9 的解集为( - ∞ , - 3) ∪ (3, + ∞ ) . 【答案】 ( - ∞ , - 3) ∪ (3, + ∞ ) ! 4 解绝对值不等式 | 5 - 2x | ≤ 3. 【解析】 易知 | 5 - 2x | =| 2x - 5 | , 故不等式 | 5 - 2x | ≤ 3 可化为 | 2x - 5 | ≤ 3, 所以 - 3 ≤ 2x - 5 ≤ 3,解得 1 ≤ x ≤ 4. 形如 | ax + b | > 0(≥ 0) 或 | ax + b | < 0(≤ 0) 的不等式的一次项系数 a < 0 时,可先将一次 项系数化成正数,然后再解. 如上例,先根据绝对值的性质将不等式 | 5 - 2x | ≤ 3 化为不等式 | 2x - 5 | ≤ 3,然后再解. 题型三:含绝对值不等式的应用 ! 5 (2021,2) 函数 y = | x - 1 | - 3 的定义域是 (　 　 ) A. ( - 2,4) B. ( - ∞ , - 2) ∪ (4, + ∞ ) C. [ - 2,4] D. ( - ∞ , - 2] ∪ [4, + ∞ ) 【解析】 要使函数 y = | x - 1 | - 3 有意义,须 | x - 1 | - 3 ≥ 0, 所以 | x - 1 | ≥ 3,即 x - 1 ≥ 3 或 x - 1 ≤- 3,解得 x ≥ 4 或 x ≤- 2, 故函数 y = | x - 1 | - 3 的定义域为( - ∞ , - 2] ∪ [4, + ∞ ) . 【答案】 D 1. 不等式 | x - 3 | > 2 的解集为 (　 　 ) A. ( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) B. ( - ∞ ,1) C. (5, + ∞ ) D. (1,5) 2. 不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为 (　 　 ) A. - ∞ , 3 2( ) ∪ 9 2 , + ∞( ) B. 1 2 , 7 2( ) C. 3 2 , 9 2( ) D. - ∞ , 1 2( ) ∪ 7 2 , + ∞( ) 3. 不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是 (　 　 ) A. ( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) B. ( - ∞ ,2 021] C. ( - ∞ ,2 021] ∪ [2 024, + ∞ ) D. [2 022,2 024] 52 4. 不等式 | 3x | < 15 的解集是 (　 　 ) A. {x | x ≤- 3 或 x ≥ 3} B. {x | - 5 < x < 5} C. {x | x < - 3 或 x > 3} D. {x | - 5 ≤ x ≤ 5} 5. 不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 (　 　 ) A. [5,7] B. ( - ∞ , - 7) ∪ ( - 5, + ∞ ) C. (5,7) D. ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) 6. 在数轴上与原点距离不大于 3 的点表示的数的集合是 (　 　 ) A. {x | x ≤- 3 或 x ≥ 3} B. {x | - 3 ≤ x ≤ 3} C. {x | x ≤- 3} D. {x | x ≥ 3} 7. 已知集合 A = {1,2,3},集合 B = {x | | x - 1 | < 1},则 A ∩ B = (　 　 ) A. ⌀ B. {1} C. {1,2} D. {1,2,3} 8. “ | x - 2 | > 1” 是“x > 3” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数 y = x - 1 | x | - 2 的定义域是 (　 　 ) A. [1, + ∞ ) B. (2, + ∞ ) C. ( - ∞ , - 2) ∪ (2, + ∞ ) D. [1,2) ∪ (2, + ∞ ) 10. 计算 | - 5 | - 22 = . 11. 若 | 2x | - 8 = 0,则 x = . 12. 解绝对值不等式 | 5 - 3x | ≤ 7. 2. 4　 一元二次不等式 ! "#$%& 1. 会解一元二次不等式; 2. 能利用不等式的知识解决有关实际问题. 1.一元二次不等式的概念及一般形式 概念:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的不等式. 一般形式:ax2 + bx + c > 0(≥ 0),ax2 + bx + c < 0(≤ 0),a ≠ 0. 62