2.2 不等式的基本性质、区间-2024版山东省职教高考数学复习教材

5. 已知一元二次方程 x2 - 4x + 2 = 0 的两根为 x1,x2,则 x1 + x2 - x1x2 的值为 (　 　 ) A. 6 B. - 6 C. 2 D. - 2 6. 零陵古城,亦称永州古城,有两千多年的历史. 零陵是一座山水江河交融的城市,一座充满生机活力的城 市,一座文化底蕴深厚的城市,是湖南四大历史文化名城之一. 据有关统计,去年零陵接待国内外游客约 640 万人次,预计明年接待国内外游客约 810 万人次,则这两年游客的年平均增长率为 (　 　 ) A. 10% B. 12. 5% C. 17% D. 20% 7. 若 x1,x2 是一元二次方程 x2 + 2x = 3 的两根,则 x1x2 的值是 . 8. 若关于 x 的一元二次方程(x - 5) 2 = m 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 . 9. 解下列方程: (1)4x2 - 36 = 0; (2)x2 + x - 1 = 0; (3)x(x + 2) = 5(x + 2); (4) x2 + 4x - 1 = 0. 2. 2　 不等式的基本性质、区间 ! "#$%& 1. 理解不等式的基本性质; 2. 会用作差比较法比较两个实数(代数式) 的大小; 3. 理解区间的概念,会用区间表示集合; 4. 会解一元一次不等式(组) . 81 1.比较实数的大小 关于实数 a,b 的大小关系,可以通过以下运算来表示: a > b⇔a - b > 0, a = b⇔a - b = 0, a < b⇔a - b < 0. ì î í ï ï ï ï 比较两个实数(或代数式) 的大小,可以转化为比较它们的差与 0 的大小. 这种比较大小的方法称为作 差比较法. 2.不等式的基本性质 (1) 不等式的加法法则 性质 1:如果 a > b,那么 a + c > b + c. 性质 1 表明,不等式两边同时加上(或减去) 同一个数(或代数式),不等号的方向不变. (2) 不等式的乘法法则 性质 2:如果 a > b,c > 0,那么 ac > bc;如果 a > b,c < 0,那么 ac < bc. 性质 2 表明,不等式两边同时乘(或除以) 同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边同时乘(或除 以) 同一个负数,不等号的方向改变. (3) 不等式的传递性 性质 3:如果 a > b,b > c,那么 a > c. (4) 同向不等式的可加性 性质 4:如果 a > b,c > d,那么 a + c > b + d. 3.区间 集合表示 区间名称 区间表示 数轴表示 {x | a ≤ x ≤ b} 闭区间 [a,b] {x | a < x < b} 开区间 (a,b) {x | a ≤ x < b} 半开半闭区间 [a,b) {x | a < x ≤ b} 半开半闭区间 (a,b] {x | x ≥ a} [a, + ∞ ) {x | x > a} (a, + ∞ ) 91 续表 {x | x ≤ a} ( - ∞ ,a] {x | x < a} ( - ∞ ,a) R ( - ∞ , + ∞ ) 4.一元一次不等式的解法 ① 去分母;② 去括号;③ 移项;④ 合并同类项;⑤ 未知数的系数化为 1. 系数化为 1 时,注意不等号的方向是否改变. 例如一元一次不等式 x + 1 2 - 1 > 2 + 2 - x 4 的解法如下: 第一步:去分母(不等式两边同乘 4),得 2(x + 1) - 4 > 8 + (2 - x) . 第二步:去括号,得 2x + 2 - 4 > 8 + 2 - x. 第三步:移项,得 2x + x > 8 + 2 - 2 + 4. 第四步:合并同类项,得 3x > 12. 第五步:系数化为 1,得 x > 4. 　 　 ① 去分母时,不等式两边易漏乘各分母的最小公倍数; ② 移项时,易忘记改变符号; ③ 括号前有“ -” 时,去括号易忘记改变括号内各项的符号. 5.一元一次不等式组的解法 若 a < b,则 x < a, x < b{ 的解为 x < a,即“同小取小”; x > a, x > b{ 的解为 x > b,即“同大取大”; x > a, x < b{ 的解为 a < x < b,即“大小小大中间找”; x < a, x > b{ 无解,即“大大小小无解” . 02 !"#$ 题型一:作差法比较两个实数(代数式) 的大小 ! 1 已知 a ∈ R,M = a2 + 4a + 1,N = 2a - 1 2 ,则 M,N 的大小关系是 (　 　 ) A. M > N B. M < N C. M = N D. 不能确定 【解析】 因为 M - N = a2 + 4a + 1 - 2a + 1 2 = a2 + 2a + 3 2 = a + 1( ) 2 + 1 2 > 0, 所以 M > N. 【答案】 A 题型二:不等式的基本性质 ! 2 (2022,2) 已知 a > b,则下列不等式成立的是 (　 　 ) A. a + b > 0 B. ab > 0 C. | a | > | b | D. 3 + a > 3 + b 【解析】 当 a = - 2,b = - 3 时,满足 a > b,但 a + b = - 5 < 0, | a | < | b | ,故 A,C 错误; 当 a = 2,b = - 1 时,满足 a > b,但 ab = - 2 < 0,故 B 错误; 因为 a > b,不等号两边同时加上同一个数,不等号的方向不变,所以 3 + a > 3 + b,故 D 正确. 【答案】 D ! 3 (2019,2) 若实数 a,b 满足 ab > 0,a + b > 0,则下列选项正确的是 (　 　 ) A. a > 0,b > 0 B. a > 0,b < 0 C. a < 0,b > 0 D. a < 0,b < 0 【解析】 由 ab > 0 得 a > 0, b > 0{ 或 a < 0, b < 0.{ 当 a > 0,b > 0 时,a + b > 0,满足题意; 当 a < 0,b < 0 时,a + b < 0,不满足题意. 所以若实数 a,b 满足 ab > 0,a + b > 0,则 a > 0,b > 0. 【答案】 A 题型三:集合的区间表示 ! 4 数集{x | - 1 ≤ x < 2,x ∈ R} 用区间表示为 (　 　 ) A. ( - 1,2) B. ( - 1,2] C. [ - 1,2) D. [1,2] 【解析】 易知数集{x | - 1 ≤ x < 2,x ∈ R} 用区间表示为[ - 1,2) . 【答案】 C 12 题型四:一元一次不等式(组) 的解法 ! 5 不等式 3 + 5x < 3(x + 3) 的解集为 (　 　 ) A. ( - 3, + ∞ ) B. ( - ∞ , - 3) C. ( - ∞ ,3) D. (3, + ∞ ) 【解析】 去括号,得 3 + 5x < 3x + 9, 移项,得 5x - 3x < 9 - 3, 合并同类项,得 2x < 6, 系数化为 1,得 x < 3, 所以原不等式的解集为( - ∞ ,3) . 【答案】 C ! 6 函数 f(x) = x - 1 + 1 x - 2 的定义域为 . (用区间表示) 【解析】 要使函数 f(x) = x - 1 + 1 x - 2 有意义,须 x - 1 ≥ 0, x - 2 > 0.{ 由 x - 1 ≥ 0,移项得 x ≥ 1, 由 x - 2 > 0,移项得 x > 2, 所以不等式组的解集为{x | x > 2}, 所以函数 f(x) = x - 1 + 1 x - 2 的定义域为(2, + ∞ ) . 【答案】 (2, + ∞ ) 1. 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 用区间表示为 (　 　 ) A. ( - 3,2] B. ( - 3,2) C. [ - 3,2) D. [ - 3,2] 2. 已知 x,y 满足 m = x2 + y2 + 19,n = 4(2y - x) - 1,则 m,n 满足的大小关系是 (　 　 ) A. m > n B. m < n C. m ≤ n D. m ≥ n 3. 若 a > b,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. ac > bc B. 1 a < 1 b C. a2 > b2 D. a + c > b + c 4. 若 a > b,则下列不等式成立的是 (　 　 ) A. a < b + 2 B. a - b > 0 C. | a | > | b | D. a + b > 0 22 5. 不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 的解集为 (　 　 ) A. ( - 1,2] B. [ - 1,2) C. [ - 1,2] D. ( - 1,2) 6. 已知 a,b,c ∈ R,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. 若 a > b,则 ac2 > bc2 B. 若 a < b < 0,则 a2 < ab C. 若 c > a > b > 0,则 a c - a < b c - b D. 若 a > b > 1,则 a + 1 a > b + 1 b 7. 若 3x - 1 有意义,则 x 的取值范围用区间表示为 . 8. 函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为 . (用区间表示) 2. 3　 含绝对值的不等式 ! "#$%& 1. 了解绝对值的概念及几何意义; 2. 会解形如 | ax + b | ≥ c 或 | ax + b | < c 的含绝对值的不等式. 1.绝对值的概念及几何意义 (1) 数轴上表示实数 a 对应的点到原点的距离称为 a 的绝对值. (2) 性质: | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 　 　 正数的绝对值是它本身,0 的绝对值是 0,负数的绝对值是它的相反数. 32 (3) 移项得 x(x + 2) - 5(x + 2) = 0, 提取公因式得(x + 2)(x - 5) = 0, 由此可得 x + 2 = 0 或 x - 5 = 0, 故 x1 = - 2,x2 = 5. (4)∵ a = 1,b = 4,c = - 1, ∴ Δ = b2 - 4ac = 16 + 4 = 20 > 0, ∴ 方程有两个不等的实数根 x = - b ± b2 - 4ac 2a = - 4 ± 2 5 2 = - 2 ± 5 , ∴ x1 = - 2 + 5 ,x2 = - 2 - 5 . 2. 2　 不等式的基本性质、区间 1. A　 【解析】 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 应用左开右闭的区间表示,可以表示为( - 3,2] . 2. D　 【解析】m - n = x2 + y2 + 19 - 4(2y - x) + 1 = (x + 2)2 +(y - 4)2 ≥ 0,当且仅当 x = - 2,y = 4 时等号成立,所以 m ≥ n. 3. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac = bc,故 A 错误;当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,此时 1 a = 1, 1 b = - 1 2 ,a2 = 1,b2 = 4,则 1 a > 1 b ,a2 < b2 ,故 B,C 错误;不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 D 正确. 4. B　 【解析】 当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,但 a > b + 2,a + b = - 1 < 0, | a | < | b | ,故 A,C,D 错误. 不等式 a > b 两 边同时减去同一个数 b,不等号的方向不变,所以 a - b > 0,故 B 正确. 5. B　 【解析】 由不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 得 x < 2, x ≥- 1,{ 所以原不等式组的解集为[ - 1,2) . 6. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac2 = bc2 ,A 错误;由 a < b < 0,得 a2 - ab = a(a - b) > 0,所以 a2 > ab, B 错误;因为 c > a > b > 0,所以 c - a > 0,c - b > 0,a - b > 0,所以 a c - a - b c - b = ac - ab - bc + ab (c - a)(c - b) = c(a - b) (c - a)(c - b) > 0,所以 a c - a > b c - b , C 错误;因为 a > b > 1,所以 ab > 0,a - b > 0,ab - 1 > 0,所以 a + 1 a - b - 1 b = a - b + b - a ab = (a - b) 1 - 1 ab( ) = (a - b)·ab - 1 ab > 0,D 正确. 7. 1 3 , + ∞[ ) 　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,即 x ≥ 13 ,所以 x 的取值范围是 1 3 , + ∞[ ) . 8. ( - 3,2)　 【解析】 要使函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 有意义,须 2 - x > 0, x + 3 > 0,{ 解得 - 3 < x < 2,所以函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为( - 3,2) . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) . 012