2.1 一元二次方程-2024版山东省职教高考数学复习教材

12. A　 【解析】 当 a = 0 时,集合 M = {1,0},N = { - 1,0,1},则 M ⊆ N,故充分性成立. 若 M ⊆ N,则 a = 0 或 a = - 1,故必 要性不成立. 所以“a = 0” 是“M ⊆ N” 的充分不必要条件. 13. A　 【解析】 当 α = β 时,sin α = sin β;当 sin α = sin β 时,α = β 不成立,如当 α = 30°,β = 150° 时,sin α = sin β = 1 2 , 但 α ≠ β. 故“α = β” 是“sin α = sin β” 的充分不必要条件. 14. A　 【解析】 若向量 a = b,则两个向量的模相等且方向相同;若 | a | = | b | ,则两个向量的模相等,但方向不一定相同. 故 “a = b” 是“ | a | = | b | ” 的充分不必要条件. 第二章 　 方程与不等式 2. 1　 一元二次方程 1. D　 【解析】 将 x = 3 代入 x2 - x - m = 0,得 32 - 3 - m = 0,解得 m = 6. 2. A　 【解析】∵ 一元二次方程 x2 + 3x - 1 = 0 中,a = 1,b = 3,c = - 1,∴ Δ = b2 - 4ac = 9 + 4 = 13 > 0,∴ 一元二次方程 x2 + 3x - 1 = 0 有两个不相等的实数根. 3. C　 【解析】 由根与系数的关系得 m + n = - 4 2 = - 2. 4. C　 【解析】 将方程 x2 + mx = 3x + 5 化为一般形式为 x2 + (m - 3)x - 5 = 0. 由题意得 m - 3 = 0,解得 m = 3. 5. C　 【解析】∵ 一元二次方程 x2 - 4x + 2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 ,∴ x1 + x2 = - b a = - - 4 1 = 4,x1x2 = c a = 2 1 = 2,∴ x1 + x2 - x1x2 = 4 - 2 = 2. 6. B　 【解析】 设这两年游客的年平均增长率为 x. 由题意可得 640(1 + x) 2 = 810,即(1 + x) 2 = 81 64 ,解得 x1 = 1 8 = 12. 5%, x2 = - 17 8 (舍去),即这两年游客的年平均增长率为 12. 5%. 7. - 3　 【解析】 方程 x2 + 2x = 3 整理得 x2 + 2x - 3 = 0. ∵ x1,x2 是一元二次方程 x2 + 2x - 3 = 0 的两根,∴ x1x2 = c a = - 3. 8. {m | m > 0}　 【解析】 将原方程转化为一般形式得 x2 - 10x + 25 - m = 0. ∵ 关于 x的一元二次方程(x - 5) 2 = m有两个 不相等的实数根,∴ Δ = ( - 10) 2 - 4 × 1 × (25 - m) = 4m > 0,解得 m > 0,∴ m 的取值范围是{m | m > 0} . 9. 【解析】(1) 移项得 4x2 = 36, 化简得 x2 = 9, 由此可得 x1 = 3,x2 = - 3. (2) 移项得 x2 + x = 1, 配方得 x2 + x + 1 4 = 5 4 ,即 x + 1 2( ) 2 = 5 4 , 由此可得 x + 1 2 = ± 5 2 ,即 x1 = - 1 2 + 5 2 ,x2 = - 1 2 - 5 2 . 902 (3) 移项得 x(x + 2) - 5(x + 2) = 0, 提取公因式得(x + 2)(x - 5) = 0, 由此可得 x + 2 = 0 或 x - 5 = 0, 故 x1 = - 2,x2 = 5. (4)∵ a = 1,b = 4,c = - 1, ∴ Δ = b2 - 4ac = 16 + 4 = 20 > 0, ∴ 方程有两个不等的实数根 x = - b ± b2 - 4ac 2a = - 4 ± 2 5 2 = - 2 ± 5 , ∴ x1 = - 2 + 5 ,x2 = - 2 - 5 . 2. 2　 不等式的基本性质、区间 1. A　 【解析】 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 应用左开右闭的区间表示,可以表示为( - 3,2] . 2. D　 【解析】m - n = x2 + y2 + 19 - 4(2y - x) + 1 = (x + 2)2 +(y - 4)2 ≥ 0,当且仅当 x = - 2,y = 4 时等号成立,所以 m ≥ n. 3. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac = bc,故 A 错误;当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,此时 1 a = 1, 1 b = - 1 2 ,a2 = 1,b2 = 4,则 1 a > 1 b ,a2 < b2 ,故 B,C 错误;不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 D 正确. 4. B　 【解析】 当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,但 a > b + 2,a + b = - 1 < 0, | a | < | b | ,故 A,C,D 错误. 不等式 a > b 两 边同时减去同一个数 b,不等号的方向不变,所以 a - b > 0,故 B 正确. 5. B　 【解析】 由不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 得 x < 2, x ≥- 1,{ 所以原不等式组的解集为[ - 1,2) . 6. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac2 = bc2 ,A 错误;由 a < b < 0,得 a2 - ab = a(a - b) > 0,所以 a2 > ab, B 错误;因为 c > a > b > 0,所以 c - a > 0,c - b > 0,a - b > 0,所以 a c - a - b c - b = ac - ab - bc + ab (c - a)(c - b) = c(a - b) (c - a)(c - b) > 0,所以 a c - a > b c - b , C 错误;因为 a > b > 1,所以 ab > 0,a - b > 0,ab - 1 > 0,所以 a + 1 a - b - 1 b = a - b + b - a ab = (a - b) 1 - 1 ab( ) = (a - b)·ab - 1 ab > 0,D 正确. 7. 1 3 , + ∞[ ) 　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,即 x ≥ 13 ,所以 x 的取值范围是 1 3 , + ∞[ ) . 8. ( - 3,2)　 【解析】 要使函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 有意义,须 2 - x > 0, x + 3 > 0,{ 解得 - 3 < x < 2,所以函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为( - 3,2) . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) . 012 2. 1　 一元二次方程 ! "#$%& 1. 会解一元二次方程,熟记一元二次方程的求根公式; 2. 会用根与系数的关系解决实际问题. 1.一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次) 的方程,称为一元二 次方程. 一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) . 2.一元二次方程的解法 (1) 直接开平方法 若 x2 = a(a ≥ 0),则 x1 = a ,x2 = - a . (2) 配方法 若 x2 + px + q = 0,且 p2 - 4q ≥ 0,则 x + p 2( ) 2 = - q + p 2( ) 2 ,解得 x1 = - p 2 + - q + p 2( ) 2 ,x2 = - p 2 - - q + p 2( ) 2 . (3) 提公因式法 若 ax2 + bx = 0(a ≠ 0),则 x(ax + b) = 0,即 x1 = 0,x2 = - b a . (4) 平方差公式法 若 a2x2 - b2 = 0(a ≠ 0),则(ax + b)(ax - b) = 0,即 x1 = b a ,x2 = - b a . 51 (5) 公式法 ① 把方程变为标准形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) . ② 求出 Δ = b2 - 4ac 的值,判断 Δ 的符号. ③ 当 Δ > 0 时,x1 = - b + b2 - 4ac 2a ,x2 = - b - b2 - 4ac 2a ; 当 Δ = 0 时,x1 = x2 = - b 2a ; 当 Δ < 0 时,一元二次方程没有实数根. 3.一元二次方程的根与系数的关系 方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根 x1,x2 和系数 a,b,c 有如下关系: x1 + x2 = - b a ,x1x2 = c a . 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的 相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比. !"#$ 题型一:一元二次方程的概念 ! 1 将一元二次方程 4x x + 2( ) = 25 化成一般形式,则它的一次项系数是 (　 　 ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 25 【解析】 将一元二次方程 4x x + 2( ) = 25 化成一般形式是 4x2 + 8x - 25 = 0,故它的一次项系数为 8. 【答案】 C 题型二:一元二次方程根的判别式 ! 2 关于 x 的方程(m - 2)x2 - 6x + 3 = 0 有两个不相等的实数根,则 m 的值可能是 (　 　 ) A. 6 B. 5 C. 2 D. 0 【解析】 ∵ 方程(m - 2)x2 - 6x + 3 = 0 有两个不相等的实数根, ∴ Δ = b2 - 4ac = ( - 6) 2 - 4 × (m - 2) × 3 > 0 且 m - 2 ≠ 0,解得 m < 5 且 m ≠ 2, ∴ m 的值可能是 0. 【答案】 D 题型三:解一元二次方程 ! 3 (1)(x + 2) 2 - 64 = 0;　 　 (2)3x2 + 2x = 3. 【解析】 (1) 将(x + 2) 2 - 64 = 0 整理得(x + 2) 2 = 64, ∴ x + 2 = 8 或 x + 2 = - 8,解得 x1 = 6,x2 = - 10. 61 (2) 原方程可化为 3x2 + 2x - 3 = 0. ∵ a = 3,b = 2,c = - 3, ∴ Δ = b2 - 4ac = 22 - 4 × 3 × ( - 3) = 4 + 36 = 40, ∴ x1 = - 2 + 40 2 × 3 = - 2 + 2 10 6 = - 1 + 10 3 ,x2 = - 2 - 40 2 × 3 = - 2 - 2 10 6 = - 1 - 10 3 . 题型四:一元二次方程的应用 ! 4 如图,某校准备一面用墙,其余各面用篱笆围成一个矩形花辅 ABCD. 已知墙可用的最大长度为 13 m,篱笆长为 24 m. (1) 若围成的花圃面积为 70 m2 时,求 BC 的长. (2) 若计划围成 78 m2 的花圃,请你判断能否围成这样的花圃.如果能,求 BC 的长;如果不能,请说明理由. 【解析】 (1) 设垂直于墙的边 AB 的长为 x m. 根据题意得 BC = (24 - 2x)m,则(24 - 2x)x = 70,解得 x1 = 5,x2 = 7. 当 AB = 5 时,BC = 14; 当 AB = 7 时,BC = 10. 由于墙可利用的最大长度为 13 m,所以 BC = 10. 答:BC 的长为 10 m. (2) 不能围成这样的花圃. 理由如下: 依题意得(24 - 2x)x = 78,即 x2 - 12x + 39 = 0. 因为一元二次方程 x2 - 12x + 39 = 0 根的判别式 Δ = ( - 12) 2 - 4 × 1 × 39 < 0, 所以方程无实数根. 答:不能围成这样的花圃. 1. 若关于 x 的一元二次方程 x2 - x - m = 0 的一个根是 x = 3,则 m 的值是 (　 　 ) A. - 6 B. - 3 C. 3 D. 6 2. 一元二次方程 x2 + 3x - 1 = 0 根的情况为 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 3. 一元二次方程 2x2 + 4x - 3 = 0 的两根为 m,n,则 m + n 的值是 (　 　 ) A. - 3 B. 3 C. - 2 D. 2 4. 关于 x 的一元二次方程 x2 + mx = 3x + 5 化为一般形式后不含一次项,则 m 的值为 (　 　 ) A. 0 B. ± 3 C. 3 D. - 3 71 5. 已知一元二次方程 x2 - 4x + 2 = 0 的两根为 x1,x2,则 x1 + x2 - x1x2 的值为 (　 　 ) A. 6 B. - 6 C. 2 D. - 2 6. 零陵古城,亦称永州古城,有两千多年的历史. 零陵是一座山水江河交融的城市,一座充满生机活力的城 市,一座文化底蕴深厚的城市,是湖南四大历史文化名城之一. 据有关统计,去年零陵接待国内外游客约 640 万人次,预计明年接待国内外游客约 810 万人次,则这两年游客的年平均增长率为 (　 　 ) A. 10% B. 12. 5% C. 17% D. 20% 7. 若 x1,x2 是一元二次方程 x2 + 2x = 3 的两根,则 x1x2 的值是 . 8. 若关于 x 的一元二次方程(x - 5) 2 = m 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是 . 9. 解下列方程: (1)4x2 - 36 = 0; (2)x2 + x - 1 = 0; (3)x(x + 2) = 5(x + 2); (4) x2 + 4x - 1 = 0. 2. 2　 不等式的基本性质、区间 ! "#$%& 1. 理解不等式的基本性质; 2. 会用作差比较法比较两个实数(代数式) 的大小; 3. 理解区间的概念,会用区间表示集合; 4. 会解一元一次不等式(组) . 81