1.3 常用逻辑用语-2024版山东省职教高考数学复习教材

2. 设集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},则∁UA = (　 　 ) A. {2,4} B. {1,3,5} C. {0,2,4} D. {0,1,2,3,4,5} 3. 已知集合 M = {b,c},N = {c,d},则 M ∩ N = (　 　 ) A. ⌀ B. {c} C. {b,c} D. {b,c,d} 4. 若集合 A = {2,3,4},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {1,2,3,4} 5. 已知集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},则 A ∩ B = (　 　 ) A. { - 2, - 1,0,1} B. { - 2, - 1,0} C. { - 1,0} D. { - 1,0,1} 6. 已知集合 A = {0,1,2},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0,1,2,1,2,3} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {0,1,2,3} 7. 已知集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {x | x ≤- 2 或 x ≥ 5} B. {x | x ≤ 1 或 x > 3} C. {x | - 2 < x < 5} D. {x | 1 < x ≤ 3} 8. 已知集合 A = {x | x2 - 7x < 0},则∁RA = (　 　 ) A. {x | 0 < x < 7} B. {x | 0 ≤ x ≤ 7} C. {x | x < 0 或 x > 7} D. {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} 9. 若集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 ≤ x < 3},则下列式子正确的是 (　 　 ) A. A ⊆ B B. A ⊇ B C. A ∩ B = {x | 2 < x < 3} D. A ∪ B = {x | 2 ≤ x ≤ 3} 10. 设全集 U = {0,1,2,3,4},集合 A = {1,2},B = {2,3},则(∁UA) ∩ (∁UB) = (　 　 ) A. {0,4} B. {4} C. {1,2,3} D. ⌀ 1. 3　 常用逻辑用语 ! "#$%& 1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的含义; 2. 能熟练判断命题“若 p,则 q” 条件与结论的关系(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不 充分也不必要条件); 9 3. 了解逻辑联结词“或”“且”“非” 的含义,能判断复合命题的真假; 4. 理解全称量词和存在量词的含义; 5. 能熟练对全称量词命题、存在量词命题进行否定. 1.命题 (1) 定义:能判断真假的陈述句称为命题. (2) 判断为真的命题称为真命题,判断为假的命题称为假命题. (3) 一般地,对于形如“如果 p,那么 q” 的命题,我们称 p为命题的条件,简称条件;称 q为命题的结论,简 称结论. 2.充分条件与必要条件 “若 p,则 q” 为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q,称 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件,记 作 p⇒q. 3.充要条件 如果 p 是 q 的充分条件(p⇒q),p 又是 q 的必要条件(q⇒p),则称 p 是 q 的充要条件,记作 p⇔q. 4. p 与 q 的四种关系 p 与 q 的关系 结论 p⇒q,但 q⇒/ p p 是 q 的充分不必要条件(q 是 p 的必要不充分条件) q⇒p,但 p⇒/ q p 是 q 的必要不充分条件(q 是 p 的充分不必要条件) p⇒q,且 q⇒p p 与 q 互为充要条件 p⇒/ q,且 q⇒/ p p 是 q 的既不充分也不必要条件(q 是 p 的既不充分也不必要条件) 5.命题的否定 “命题的否定” 即“非 p”,只是否定命题 p 的结论. 6.逻辑联结词 (1) 逻辑联结词有“或”“且”“非” . (2) 复合命题“p ∨ q”“p ∧ q”“􀱑 p” 的真假判断 p q p ∨ q p ∧ q 􀱑 p 真 真 真 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 假 假 假 真 命题真假的判断口诀 p ∨ q → 见真即真;p ∧ q → 见假即假;p 与􀱑 p → 真假相反. 01 7.全称量词命题和存在量词命题 (1) 全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃ 　 　 (2) 全称量词命题:含有全称量词的命题,可用符号简记为 ∀x ∈ M,p(x) . (3) 存在量词命题:含有存在量词的命题,可用符号简记为 ∃x ∈ M,p(x) . (4) 含有一个量词的命题的否定 ∀x ∈ M,p(x) 命题的否定 → ∃x ∈ M,􀱑 p(x); ∃x ∈ M,p(x) 命题的否定 → ∀x ∈ M,􀱑 p(x) . !"#$ 题型一:命题真假的判断 ! 1 已知集合 A = {x | x > 2},集合 B = {x | x > 3},则以下命题为真命题的是 (　 　 ) A. ∃x ∈ A,x ∉ B B. ∃x ∈ B,x ∉ A C. ∀x ∈ A,x ∈ B D. ∀x ∈ B,x ∉ A 【解析】 ∵ A = {x | x > 2},B = {x | x > 3}, ∴ B 是 A 的真子集, ∴ ∃x ∈ A,x ∉ B,∀x ∈ B,x ∈ A, 故 A 为真命题,B,C,D 为假命题. 【答案】 A ! 2 (2020,14) 下列命题为真命题的是 (　 　 ) A. 1 > 0 且 3 > 4 B. 1 > 2 或 4 > 5 C. ∃x ∈ R,cos x > 1 D. ∀x ∈ R,x2 ≥ 0 【解析】 因为 4 > 3,所以 1 > 0 且 3 > 4 是假命题,故 A 不符合题意. 因为 1 < 2,4 < 5,所以 1 > 2 或 4 > 5 是假命题,故 B 不符合题意. 易知 cos x ≤ 1,所以 ∃x ∈ R,cos x > 1 是假命题,故 C 不符合题意. 因为 x2 恒大于等于 0,所以 ∀x ∈ R,x2 ≥ 0 是真命题,故 D 符合题意. 【答案】 D 题型二:充要条件的判断 ! 3 (2021,7)“角 α 是第一象限角” 是“sin α > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11 【解析】 若角 α 是第一象限角,则 sin α > 0; 若 sin α > 0,则角 α 是第一、第三象限角或角 α 的终边位于 y 轴正半轴. 所以“角 α 是第一象限角” 是“sin α > 0” 的充分不必要条件. 【答案】 A ! 4 “x = 1” 是“x2 - 1 = 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 x2 - 1 = 0,即 x2 = 1 得 x = ± 1, 所以“x = 1” 能推出“x2 - 1 = 0”,即充分性成立, “x2 - 1 = 0” 不能推出“x = 1”,即必要性不成立, 所以“x = 1” 是“x2 - 1 = 0” 的充分不必要条件. 【答案】 A ! 5 “a > b” 是“a - b > 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 a > b 可得 a - b > 0,但不能推出 a - b > 1,如 a = 2,b = 1 时,满足 a > b,但 a - b = 1. 由 a - b > 1 > 0,可以推出 a > b. 所以“a > b” 是“a - b > 1” 的必要不充分条件. 【答案】 B ! 6 “向量 a + b = 0” 是“ | a | =| b | ” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 a + b = 0 得 a = - b,可以推出 | a | =| b | ,即充分性成立. 由 | a | =| b | 知,a 与 b 的模相等,但方向不确定, 所以不能推出 a + b = 0,即必要性不成立. 所以“向量 a + b = 0” 是“ | a | =| b | ” 的充分不必要条件. 【答案】 A 题型三:命题的否定 ! 7 (2021,16) 已知命题 p:甲、乙、丙三名同学都是共青团员,则􀱑 p 为 (　 　 ) A. 甲、乙、丙三名同学都不是共青团员 B. 甲、乙、丙三名同学中至少有一名不是共青团员 C. 甲、乙、丙三名同学中至少有两名不是共青团员 D. 甲、乙、丙三名同学中至多有一名不是共青团员 21 【解析】 因为命题 p:甲、乙、丙三名同学都是共青团员, 所以 ¬ p:甲、乙、丙三名同学中至少有一名不是共青团员. 【答案】 B 题型四:含有逻辑联结词的命题真假的判断 ! 8 (2022,8) 已知 p 是假命题,q 是真命题,则下列命题为真命题的是 (　 　 ) A. 􀱑 q B. 􀱑 p ∧ q C. 􀱑 (p ∨ q) D. p ∧ q 【解析】 因为 p 是假命题,q 是真命题,所以 ¬ p 为真命题,¬ q 为假命题,p ∨ q 为真命题,p ∧ q 为假命 题,故 A,D 选项不满足题意. 因为 ¬ p 为真命题,q 为真命题,所以 ¬ p ∧ q 为真命题,故 B 选项满足题意. 因为 p ∨ q 为真命题,所以 ¬ (p ∨ q) 为假命题,故 C 选项不满足题意. 【答案】 B 题型五:含有一个量词的命题的否定 ! 9 命题“∀x ∈ R,x2 ≥ 0” 的否定是 (　 　 ) A. ∀x ∈ R,x2 < 0 B. ∃x ∈ R,x2 ≤ 0 C. ∃x ∈ R,x2 < 0 D. ∀x ∈ R,x2 ≤ 0 【解析】 全称量词命题的否定是存在量词命题, 则命题“∀x ∈ R,x2 ≥ 0” 的否定是“∃x ∈ R,x2 < 0” . 【答案】 C ! 10 命题“∃x > 1,x2 - x > 0” 的否定是 (　 　 ) A. ∃x ≤ 1,x2 - x > 0 B. ∀x > 1,x2 - x ≤ 0 C. ∃x > 1,x2 - x ≤ 0 D. ∀x ≤ 1,x2 - x > 0 【解析】 存在量词命题的否定是全称量词命题, 则命题“∃x > 1,x2 - x > 0” 的否定是“∀x > 1,x2 - x ≤ 0” . 【答案】 B 1. (2019,12) 设集合 M = { - 2,0,2,4},则下列命题为真命题的是 (　 　 ) A. ∀a ∈ M,a 是正数 B. ∀b ∈ M,b 是自然数 C. ∃c ∈ M,c 是奇数 D. ∃d ∈ M,d 是有理数 2. “a + c = 2b” 是“a,b,c 成等差数列” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 31 3. “a < 5” 是“a < 3” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若 x,y ∈ R,则“x = 0” 是“xy = 0” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “a > 3” 是“a - 3 > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. “(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设 x ∈ R,则“x < 1” 是“ | x | < 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. “ | e | = 1” 是“向量 e 为单位向量” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 命题“∃x ≥ 0,ex - 1 ≥ x” 的否定是 (　 　 ) A. ∃x < 0,ex - 1 < x B. ∃x ≥ 0,ex - 1 < x C. ∀x < 0,ex - 1 < x D. ∀x ≥ 0,ex - 1 < x 10. 已知 p 为真命题,q 为真命题,则下列命题中为真命题的是 (　 　 ) A. p ∧ q B. 􀱑 p ∧ q C. p ∧ 􀱑 q D. 􀱑 (p ∨ q) 11. 已知 p 为假命题,q 为真命题,则下列命题中为真命题的是 (　 　 ) A. p ∧ q B. (􀱑 p) ∧ q C. p ∧ (􀱑 q) D. (􀱑 p) ∧ (􀱑 q) 12. (2020,11) 已知 a ∈ R,若集合 M = {1,a},N = { - 1,0,1},则“a = 0” 是“M ⊆ N” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. (2019,7) 对于任意角 α,β,“α = β” 是“sin α = sin β” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. “a = b” 是“ | a | =| b | ” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 41 3. B　 【解析】 因为集合 M = {b,c} 和 N = {c,d} 的所有公共元素为 c,所以 M ∩ N = {c} . 4. D　 【解析】 因为集合 A = {2,3,4} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{1,2,3,4},所以 A ∪ B = {1,2,3,4} . 5. B　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},所以 A ∩ B = { - 2, - 1,0} . 6. D　 【解析】 因为集合 A = {0,1,2} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1,2,3} . 因 为同一个集合中的元素必须是互不相同的,所以 A 不符合题意. 7. C　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},所以 A ∪ B = {x | - 2 < x < 5} . 8. D　 【解析】 易得A = {x | x2 - 7x < 0} = {x | x(x - 7) < 0} = {x | 0 < x < 7},则 ∁RA = {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} . 9. C　 【解析】 因为集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},集合 B = {x | 1 ≤ x < 3},所以 A ⊈ B,B ⊈ A,A ∩ B = {x | 2 < x < 3},A ∪ B = {x | 1 ≤ x ≤ 3},故 C 正确,A,B,D 不正确. 10. A　 【解析】因为全集U = {0,1,2,3,4},A = {1,2},B = {2,3},所以∁UA = {0,3,4},∁UB = {0,1,4},所以(∁UA) ∩ (∁UB) = {0,4} . 1. 3　 常用逻辑用语 1. D　 【解析】A 项, - 2 是负数,所以命题“∀a∈M,a是正数” 不成立;B 项, - 2 不是自然数,所以命题“∀b∈M,b是自然数” 不成立;C 项,集合 M 中的元素为 - 2,0,2,4,都不是奇数,所以命题“∃c ∈ M,c 是奇数” 不成立;D 项,集合 M 中的元素为 - 2,0,2,4,都是有理数,所以命题“∃d ∈ M,d 是有理数” 成立. 2. C　 【解析】 由 a + c = 2b得 a,b,c成等差数列,由 a,b,c成等差数列得 a + c = 2b,所以“a + c = 2b” 是“a,b,c成等差数列” 的充要条件. 3. B　 【解析】 由“a < 5” 不能推出“a < 3”,所以充分性不成立. 由“a < 3” 能推出“a < 5”,所以必要性成立. 故“a < 5” 是 “a < 3” 的必要不充分条件. 4. C　 【解析】 当 x = 0 时,xy = 0;当 xy = 0 时,x = 0 或 y = 0. 故“x = 0” 是“xy = 0” 的充分不必要条件. 5. C　 【解析】 由 a > 3 知 a - 3 > 0,所以“a > 3” 是“a - 3 > 0” 的充要条件. 6. B　 【解析】 由(x + 2)(x - 4) = 0 得 x = - 2 或 x = 4. 所以“(x + 2)(x - 4) = 0” 不能推出“x = 4”,即充分性不成立;由 “x = 4” 能推出“(x + 2)(x - 4) = 0”,即必要性成立. 综上,“(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的必要不充分条件. 7. B　 【解析】 由 | x | < 1 得 - 1 < x < 1. 因为“x < 1” 不能推出“ - 1 < x < 1”,但“ - 1 < x < 1” 可以推出“x < 1”,所以 “x < 1” 是“ | x | < 1” 的必要不充分条件. 8. C　 【解析】 单位向量是指模长为 1 的向量,因此若 | e | = 1,则 e是单位向量;若 e是单位向量,则 | e | = 1. 故“ | e | = 1” 是 “向量 e 为单位向量” 的充要条件. 9. D　 【解析】 由存在量词命题的否定为全称量词命题可知该命题的否定为 ∀x ≥ 0,ex - 1 < x,故选 D. 10. A　 【解析】 因为 p为真命题,q为真命题,所以􀱑 p为假命题,􀱑 q为假命题,p ∧ q为真命题,p ∨ q为真命题,所以􀱑 p ∧ q为 假命题,p ∧ 􀱑 q 为假命题,􀱑 (p ∨ q) 为假命题. 11. B　 【解析】 因为 p 为假命题,q 为真命题,所以􀱑 p 为真命题,􀱑 q 为假命题,p ∧ q 为假命题,所以(􀱑 p) ∧ q 为真命题, p ∧ (􀱑 q) 为假命题,(􀱑 p) ∧ (􀱑 q) 为假命题. 802 12. A　 【解析】 当 a = 0 时,集合 M = {1,0},N = { - 1,0,1},则 M ⊆ N,故充分性成立. 若 M ⊆ N,则 a = 0 或 a = - 1,故必 要性不成立. 所以“a = 0” 是“M ⊆ N” 的充分不必要条件. 13. A　 【解析】 当 α = β 时,sin α = sin β;当 sin α = sin β 时,α = β 不成立,如当 α = 30°,β = 150° 时,sin α = sin β = 1 2 , 但 α ≠ β. 故“α = β” 是“sin α = sin β” 的充分不必要条件. 14. A　 【解析】 若向量 a = b,则两个向量的模相等且方向相同;若 | a | = | b | ,则两个向量的模相等,但方向不一定相同. 故 “a = b” 是“ | a | = | b | ” 的充分不必要条件. 第二章 　 方程与不等式 2. 1　 一元二次方程 1. D　 【解析】 将 x = 3 代入 x2 - x - m = 0,得 32 - 3 - m = 0,解得 m = 6. 2. A　 【解析】∵ 一元二次方程 x2 + 3x - 1 = 0 中,a = 1,b = 3,c = - 1,∴ Δ = b2 - 4ac = 9 + 4 = 13 > 0,∴ 一元二次方程 x2 + 3x - 1 = 0 有两个不相等的实数根. 3. C　 【解析】 由根与系数的关系得 m + n = - 4 2 = - 2. 4. C　 【解析】 将方程 x2 + mx = 3x + 5 化为一般形式为 x2 + (m - 3)x - 5 = 0. 由题意得 m - 3 = 0,解得 m = 3. 5. C　 【解析】∵ 一元二次方程 x2 - 4x + 2 = 0 的两根分别为 x1 ,x2 ,∴ x1 + x2 = - b a = - - 4 1 = 4,x1x2 = c a = 2 1 = 2,∴ x1 + x2 - x1x2 = 4 - 2 = 2. 6. B　 【解析】 设这两年游客的年平均增长率为 x. 由题意可得 640(1 + x) 2 = 810,即(1 + x) 2 = 81 64 ,解得 x1 = 1 8 = 12. 5%, x2 = - 17 8 (舍去),即这两年游客的年平均增长率为 12. 5%. 7. - 3　 【解析】 方程 x2 + 2x = 3 整理得 x2 + 2x - 3 = 0. ∵ x1,x2 是一元二次方程 x2 + 2x - 3 = 0 的两根,∴ x1x2 = c a = - 3. 8. {m | m > 0}　 【解析】 将原方程转化为一般形式得 x2 - 10x + 25 - m = 0. ∵ 关于 x的一元二次方程(x - 5) 2 = m有两个 不相等的实数根,∴ Δ = ( - 10) 2 - 4 × 1 × (25 - m) = 4m > 0,解得 m > 0,∴ m 的取值范围是{m | m > 0} . 9. 【解析】(1) 移项得 4x2 = 36, 化简得 x2 = 9, 由此可得 x1 = 3,x2 = - 3. (2) 移项得 x2 + x = 1, 配方得 x2 + x + 1 4 = 5 4 ,即 x + 1 2( ) 2 = 5 4 , 由此可得 x + 1 2 = ± 5 2 ,即 x1 = - 1 2 + 5 2 ,x2 = - 1 2 - 5 2 . 902