1.2 集合的运算-2024版山东省职教高考数学复习教材

第一章 　 集合与常用逻辑用语 1. 1　 集合及其表示与集合间的关系 1. D　 【解析】 因为集合 M 是由 1,2,3 三个元素构成的,所以用列举法表示集合 M = {1,2,3} . 2. A　 【解析】 因为 A = {x | x ≥- 1} 表示所有不小于 - 1 的实数组成的集合,所以 1 是集合 A 中的元素,所以 1 ∈ A,故 A 正 确,B,D 错误. {1} 是集合,且{1} ⊆ A,故 C 错误. 3. A　 【解析】 因为 A = {x ∈ Z | x < 3},所以 0,2 是集合 A中元素,3 不是集合 A中元素,所以 3 ∉ A,0 ∈ A,2 ∈ A,故 A 正确, B,C 错误. 因为 ⌀ 是集合,所以 ⌀ 与集合 A 的关系不是属于关系,而是包含关系,即 ⌀ ⊆ A,故 D 错误. 4. A　 【解析】 空集是不含任何元素的集合,故 A正确,D错误;⌀ 是集合{0} 的真子集,故 B错误;对于 C,元素与集合之间的关 系只能是属于或不属于,故 C 错误. 5. D　 【解析】 由集合 M = {1,2,3},N = {1} 知,集合 N 中的元素都在集合 M 中,但 2 ∈ M 且 2 ∉ N,所以 N ⊆ M,M ⊈ N. 6. C　 【解析】 因为 N = {0},集合 N 中有一个元素,所以 N 不是空集,故 A 错误. 集合 N 中的每一个元素都是集合 M 的元素, 但集合 M 中存在元素不是集合 N 的元素,所以 N ⊆ M,M ⊈ N,故 B,D 错误,C 正确. 7. C　 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集,所以 1 2 ∉ N, 1 2 ∉ Z, 1 3 ∈ Q,故 A,B 不符合题意,C 符合题 意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 不符合题意. 8. D　 【解析】 - 1 既是{ - 1} 中元素,又是{ - 1,2} 中元素,所以{ - 1} ⊆ { - 1,2},A 错误;3 是实数,故 3 ∈ R,B 错误;1 是元 素,且 1 ∈ {x | 0 ≤ x ≤ 1},C 错误;空集是任何集合的子集,D 正确. 9. B　 【解析】 因为空集是任何集合的子集,所以 ⌀ ⊆ A,故 A 错误;因为 2 是无理数,所以 2 ∉ A,故 B 正确,C,D 错误. 10. B　 【解析】 集合 A = {1,2,3} 的真子集有 ⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 11. 4　 【解析】 因为 A = {1,3, m},B = {1,2},B ⊆ A,所以 m = 2,解得 m = 4. 12. {m | m ≤- 2}　 【解析】 将集合 A,B 表示在数轴上,如图所示. 因为 A ⊆ B,所以 m 的取值范围是{m | m ≤- 2} . 1. 2　 集合的运算 1. B　 【解析】 集合 A = {1,2,3} 与 B = {1,3} 的所有公共元素为 1,3,∴ A ∩ B = {1,3} . 2. B　 【解析】 因为集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},所以∁UA = {1,3,5} . 702 3. B　 【解析】 因为集合 M = {b,c} 和 N = {c,d} 的所有公共元素为 c,所以 M ∩ N = {c} . 4. D　 【解析】 因为集合 A = {2,3,4} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{1,2,3,4},所以 A ∪ B = {1,2,3,4} . 5. B　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},所以 A ∩ B = { - 2, - 1,0} . 6. D　 【解析】 因为集合 A = {0,1,2} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1,2,3} . 因 为同一个集合中的元素必须是互不相同的,所以 A 不符合题意. 7. C　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},所以 A ∪ B = {x | - 2 < x < 5} . 8. D　 【解析】 易得A = {x | x2 - 7x < 0} = {x | x(x - 7) < 0} = {x | 0 < x < 7},则 ∁RA = {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} . 9. C　 【解析】 因为集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},集合 B = {x | 1 ≤ x < 3},所以 A ⊈ B,B ⊈ A,A ∩ B = {x | 2 < x < 3},A ∪ B = {x | 1 ≤ x ≤ 3},故 C 正确,A,B,D 不正确. 10. A　 【解析】因为全集U = {0,1,2,3,4},A = {1,2},B = {2,3},所以∁UA = {0,3,4},∁UB = {0,1,4},所以(∁UA) ∩ (∁UB) = {0,4} . 1. 3　 常用逻辑用语 1. D　 【解析】A 项, - 2 是负数,所以命题“∀a∈M,a是正数” 不成立;B 项, - 2 不是自然数,所以命题“∀b∈M,b是自然数” 不成立;C 项,集合 M 中的元素为 - 2,0,2,4,都不是奇数,所以命题“∃c ∈ M,c 是奇数” 不成立;D 项,集合 M 中的元素为 - 2,0,2,4,都是有理数,所以命题“∃d ∈ M,d 是有理数” 成立. 2. C　 【解析】 由 a + c = 2b得 a,b,c成等差数列,由 a,b,c成等差数列得 a + c = 2b,所以“a + c = 2b” 是“a,b,c成等差数列” 的充要条件. 3. B　 【解析】 由“a < 5” 不能推出“a < 3”,所以充分性不成立. 由“a < 3” 能推出“a < 5”,所以必要性成立. 故“a < 5” 是 “a < 3” 的必要不充分条件. 4. C　 【解析】 当 x = 0 时,xy = 0;当 xy = 0 时,x = 0 或 y = 0. 故“x = 0” 是“xy = 0” 的充分不必要条件. 5. C　 【解析】 由 a > 3 知 a - 3 > 0,所以“a > 3” 是“a - 3 > 0” 的充要条件. 6. B　 【解析】 由(x + 2)(x - 4) = 0 得 x = - 2 或 x = 4. 所以“(x + 2)(x - 4) = 0” 不能推出“x = 4”,即充分性不成立;由 “x = 4” 能推出“(x + 2)(x - 4) = 0”,即必要性成立. 综上,“(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的必要不充分条件. 7. B　 【解析】 由 | x | < 1 得 - 1 < x < 1. 因为“x < 1” 不能推出“ - 1 < x < 1”,但“ - 1 < x < 1” 可以推出“x < 1”,所以 “x < 1” 是“ | x | < 1” 的必要不充分条件. 8. C　 【解析】 单位向量是指模长为 1 的向量,因此若 | e | = 1,则 e是单位向量;若 e是单位向量,则 | e | = 1. 故“ | e | = 1” 是 “向量 e 为单位向量” 的充要条件. 9. D　 【解析】 由存在量词命题的否定为全称量词命题可知该命题的否定为 ∀x ≥ 0,ex - 1 < x,故选 D. 10. A　 【解析】 因为 p为真命题,q为真命题,所以􀱑 p为假命题,􀱑 q为假命题,p ∧ q为真命题,p ∨ q为真命题,所以􀱑 p ∧ q为 假命题,p ∧ 􀱑 q 为假命题,􀱑 (p ∨ q) 为假命题. 11. B　 【解析】 因为 p 为假命题,q 为真命题,所以􀱑 p 为真命题,􀱑 q 为假命题,p ∧ q 为假命题,所以(􀱑 p) ∧ q 为真命题, p ∧ (􀱑 q) 为假命题,(􀱑 p) ∧ (􀱑 q) 为假命题. 802 4. 下列关系中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∉ ⌀ B. {0} ⊆ ⌀ C. 0 ⊆ ⌀ D. 0 ∈ ⌀ 5. 设集合 M = {1,2,3},N = {1},则下列关系中正确的是 (　 　 ) A. N ∈ M B. N ∉ M C. N ⊇ M D. N ⊆ M 6. 设集合 M = { - 1,0,1},N = {0},则 (　 　 ) A. N 为空集 B. N ∈ M C. N ⊆ M D. M ⊆ N 7. 下列元素与集合的关系表示正确的是 (　 　 ) A. 1 2 ∈ N B. 1 2 ∈ Z C. 1 3 ∈ Q D. 0 ∈ ⌀ 8. 下列关于集合的符号表述中,正确的是 (　 　 ) A. { - 1} ∈ { - 1,2} B. 3 ∉ R C. 1 ⊆ {x | 0 ≤ x ≤ 1} D. ⌀ ⊆ {0} 9. 设集合 A = {x ∈ Q | x > - 1},则 (　 　 ) A. ⌀ ∉ A B. 2 ∉ A C. 2 ∈ A D. { 2 } ⊆ A 10. 设集合 A = {1,2,3},则 A 的真子集的个数是 (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 11. 已知集合 A = {1,3, m },B = {1,2},B ⊆ A,则 m = . 12. 已知集合 A = {x | - 2 ≤ x ≤ 3},B = {x | x ≥ m},若 A ⊆ B,则实数 m 的取值范围为 . 1. 2　 集合的运算 ! "#$%& 1. 理解两个集合的并集与交集的含义; 2. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义; 3. 掌握集合的交集、并集、补集运算. 5 1.交集 一般地,对于给定的集合 A 与集合 B,由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的交集,记作 A ∩ B,读作“A 交 B” . 用符号语言表示为 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} . 两个集合的交集可以用 Venn 图中的阴影部分表示,如图 ①②③ 所示. 当两个集合没有公共元素时,这两个集合的交集为空集,如图 ④ 所示. 图 ① 　 图 ② 　 图 ③ 　 图 ④ 2.并集 一般地,对于给定的集合 A与集合 B,由集合 A与集合 B的所有元素组成的集合,称为集合 A与集合 B的 并集,记作 A ∪ B,读作“A并 B” . 用符号语言表示为 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} . 两个集合的并集可以用 Venn 图中的阴影部分表示,如图 ①②③④ 所示. 图 ① 　 图 ② 　 图 ③ 　 图 ④ 　 　 A ∪ B:把集合 A,B 的元素合在一起,且公共元素只出现一次. 3.全集与补集 (1) 全集:在研究某些集合时,如果这些集合是一个给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通 常记作 U. (2) 补集的概念 若集合 A是全集 U的一个子集,那么全集 U中不属于集合 A的所有元素组成的集合,称为集合 A在全集 U 中的补集,记作∁UA,读作“A 在 U 中的补集” . 用符号语言表示为∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} . 用 Venn 图可表示为 6 　 　 ∁UA:全集 U 中,剔除 A 集合的所有元素,剩下的元素组成的新集合. !"#$ 题型一:交集的运算 ! 1 设集合 A = {1,2,5,6},B = {1,2,3,4},则 A ∩ B = (　 　 ) A. {1,2,3,4,5,6} B. {2,3,4} C. {1,2} D. {2} 【解析】 如图,集合 A = {1,2,5,6} 与 B = {1,2,3,4} 的所有公共元素为 1,2, 所以 A ∩ B = {1,2} . 【答案】 C ! 2 已知集合 M = {a,b},N = {b,c,d},则 M ∩ N = (　 　 ) A. ⌀ B. {b} C. {a,c} D. {a,b,c,d} 【解析】 因为集合 M = {a,b} 与 N = {b,c,d} 的所有公共元素为 b, 所以 M ∩ N = {b} . 【答案】 B ! 3 已知集合 A = {x | x > - 1},B = {x | x ≤ 3},则 A ∩ B = . 【解析】 将集合 A = {x | x > - 1},B = {x | x ≤ 3} 在数轴上表示出来,如图所示. 阴影部分即 A = {x | x > - 1} 与 B = {x | x ≤ 3} 的交集, 所以 A ∩ B = {x | - 1 < x ≤ 3} . 【答案】 {x | - 1 < x ≤ 3} 题型二:并集的运算 ! 4 (2019,1) 已知集合 M = {0,1},N = {1,2},则 M ∪ N = (　 　 ) A. {1} B. {0,2} C. {0,1,2} D. ⌀ 【解析】 因为集合 M = {0,1} 与集合 N = {1,2} 的所有元素为 0,1,2, 所以 M ∪ N = {0,1,2} . 【答案】 C 7 ! 5 集合 A = {0,1,2,3},B = {1,2,4},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0,1,2,3,1,2,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0,1,2,3,4} 【解析】 由集合 A = {0,1,2,3} 与集合 B = {1,2,4} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3,4}, 所以 A ∪ B = {0,1,2,3,4} . 因为同一个集合中的元素必须是互不相同的, 所以 A 不符合题意. 【答案】 D ! 6 若集合 A = {x | 0 < x < 2 },B = {x | 1 ≤ x < 2},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {x | x ≤ 0} B. {x | x ≥ 2} C. {x | 0 ≤ x ≤ 2 } D. {x | 0 < x < 2} 【解析】 将集合 A,B 表示在数轴上,如图. 由数轴可知 A ∪ B = {x | 0 < x < 2} . 【答案】 D 题型三:全集与补集的运算 ! 7 (2020,1) 已知全集 U = {a,b,c,d},集合 M = {a,c},则∁UM = (　 　 ) A. ⌀ B. {a,c} C. {b,d} D. {a,b,c,d} 【解析】 因为全集 U = {a,b,c,d},M = {a,c}, 所以∁UM = {b,d} . 【答案】 C ! 8 (2021,1) 已知集合 U = {0,1,2,3,4},集合 M = {1,2,3},N = {2,4},则 M ∩ (∁UN) 等于 (　 　 ) A. {2} B. {1,3} C. {0,1,3} D. {0,1,2,3} 【解析】 因为集合 U = {0,1,2,3,4},N = {2,4}, 所以∁UN = {0,1,3} . 因为集合 M = {1,2,3}, 所以 M ∩(∁UN) = {1,3} . 【答案】 B 1. 已知集合 A = {1,2,3},B = {1,3},那么 A ∩ B = (　 　 ) A. {1,2,3} B. {1,3} C. {1,2} D. {2} 8 2. 设集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},则∁UA = (　 　 ) A. {2,4} B. {1,3,5} C. {0,2,4} D. {0,1,2,3,4,5} 3. 已知集合 M = {b,c},N = {c,d},则 M ∩ N = (　 　 ) A. ⌀ B. {c} C. {b,c} D. {b,c,d} 4. 若集合 A = {2,3,4},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {1,2,3,4} 5. 已知集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},则 A ∩ B = (　 　 ) A. { - 2, - 1,0,1} B. { - 2, - 1,0} C. { - 1,0} D. { - 1,0,1} 6. 已知集合 A = {0,1,2},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0,1,2,1,2,3} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {0,1,2,3} 7. 已知集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {x | x ≤- 2 或 x ≥ 5} B. {x | x ≤ 1 或 x > 3} C. {x | - 2 < x < 5} D. {x | 1 < x ≤ 3} 8. 已知集合 A = {x | x2 - 7x < 0},则∁RA = (　 　 ) A. {x | 0 < x < 7} B. {x | 0 ≤ x ≤ 7} C. {x | x < 0 或 x > 7} D. {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} 9. 若集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 ≤ x < 3},则下列式子正确的是 (　 　 ) A. A ⊆ B B. A ⊇ B C. A ∩ B = {x | 2 < x < 3} D. A ∪ B = {x | 2 ≤ x ≤ 3} 10. 设全集 U = {0,1,2,3,4},集合 A = {1,2},B = {2,3},则(∁UA) ∩ (∁UB) = (　 　 ) A. {0,4} B. {4} C. {1,2,3} D. ⌀ 1. 3　 常用逻辑用语 ! "#$%& 1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的含义; 2. 能熟练判断命题“若 p,则 q” 条件与结论的关系(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不 充分也不必要条件); 9