1.1 集合及其表示与集合间的关系-2024版山东省职教高考数学复习教材

第一章 　 集合与常用逻辑用语 1. 1　 集合及其表示与集合间的关系 1. D　 【解析】 因为集合 M 是由 1,2,3 三个元素构成的,所以用列举法表示集合 M = {1,2,3} . 2. A　 【解析】 因为 A = {x | x ≥- 1} 表示所有不小于 - 1 的实数组成的集合,所以 1 是集合 A 中的元素,所以 1 ∈ A,故 A 正 确,B,D 错误. {1} 是集合,且{1} ⊆ A,故 C 错误. 3. A　 【解析】 因为 A = {x ∈ Z | x < 3},所以 0,2 是集合 A中元素,3 不是集合 A中元素,所以 3 ∉ A,0 ∈ A,2 ∈ A,故 A 正确, B,C 错误. 因为 ⌀ 是集合,所以 ⌀ 与集合 A 的关系不是属于关系,而是包含关系,即 ⌀ ⊆ A,故 D 错误. 4. A　 【解析】 空集是不含任何元素的集合,故 A正确,D错误;⌀ 是集合{0} 的真子集,故 B错误;对于 C,元素与集合之间的关 系只能是属于或不属于,故 C 错误. 5. D　 【解析】 由集合 M = {1,2,3},N = {1} 知,集合 N 中的元素都在集合 M 中,但 2 ∈ M 且 2 ∉ N,所以 N ⊆ M,M ⊈ N. 6. C　 【解析】 因为 N = {0},集合 N 中有一个元素,所以 N 不是空集,故 A 错误. 集合 N 中的每一个元素都是集合 M 的元素, 但集合 M 中存在元素不是集合 N 的元素,所以 N ⊆ M,M ⊈ N,故 B,D 错误,C 正确. 7. C　 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集,所以 1 2 ∉ N, 1 2 ∉ Z, 1 3 ∈ Q,故 A,B 不符合题意,C 符合题 意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 不符合题意. 8. D　 【解析】 - 1 既是{ - 1} 中元素,又是{ - 1,2} 中元素,所以{ - 1} ⊆ { - 1,2},A 错误;3 是实数,故 3 ∈ R,B 错误;1 是元 素,且 1 ∈ {x | 0 ≤ x ≤ 1},C 错误;空集是任何集合的子集,D 正确. 9. B　 【解析】 因为空集是任何集合的子集,所以 ⌀ ⊆ A,故 A 错误;因为 2 是无理数,所以 2 ∉ A,故 B 正确,C,D 错误. 10. B　 【解析】 集合 A = {1,2,3} 的真子集有 ⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 11. 4　 【解析】 因为 A = {1,3, m},B = {1,2},B ⊆ A,所以 m = 2,解得 m = 4. 12. {m | m ≤- 2}　 【解析】 将集合 A,B 表示在数轴上,如图所示. 因为 A ⊆ B,所以 m 的取值范围是{m | m ≤- 2} . 1. 2　 集合的运算 1. B　 【解析】 集合 A = {1,2,3} 与 B = {1,3} 的所有公共元素为 1,3,∴ A ∩ B = {1,3} . 2. B　 【解析】 因为集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},所以∁UA = {1,3,5} . 702 1. 1　 集合及其表示与集合间的关系 ! "#$%& 1. 理解集合与元素的概念,能正确使用符号表示元素与集合之间的关系; 2. 了解常用数集的字母表示; 3. 掌握表示集合的列举法和描述法; 4. 理解集合与集合之间的关系(子集、真子集、相等),熟练判断集合与集合间的关系. 1.集合及元素 (1) 定义:一般地,由某些确定的对象组成的整体称为集合,简称为集,组成这个集合的对象称为这个集 合的元素. 　 　 ① 组成集合的对象必须是确定的; ② 同一个集合中的元素必须是互不相同的. (2) 集合与元素的表示及关系 元素 集合(集) 表示 a,b,c A,B,C 关系 a ∈ A(a 是 A 中的元素) 或 a ∉ A(a 不是 A 中的元素) 　 　 元素与集合的关系只有两种: ∈ 和 ∉. 例如:集合 A = {1,2,3},则 1 ∈ A,0 ∉ A. 2.集合的分类 含有有限个元素的集合称为有限集,例如集合{1,2,3,4},{ - 1,1} 均为有限集. 不含任何元素的集合称为空集,记作 ⌀. 1 含有无限个元素的集合称为无限集,例如集合{x | 2 < x < 3},{ - 1,3,5,…} 均为无限集. 由数组成的集合称为数集. 3.常用数集及其记法 N 自然数集(0,1,2,3,…,非负整数组成的集合) N∗ 或 N + 正整数集(1,2,3,…,正整数组成的集合) Z 整数集(…, - 2, - 1,0,1,2,…,整数组成的集合) Q 有理数集(整数和分数组成的集合) R 实数集(有理数和无理数组成的集合) 4.集合的表示方法 (1) 列举法:把集合的所有元素一一列举出来,中间用逗号隔开,并用花括号“{}” 括起来,如集合{1,2, 3} 表示只有元素 1,2,3 的集合. (2) 描述法:在花括号“{}” 中画一条竖线,竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围,竖线的右侧是元 素所具有的特征性质,如集合{x | x > 1} 表示所有大于 1 的实数组成的集合. 　 　 有些集合只能用列举法或描述法表示,有些集合两种方法都适用,要根据具体问题进行具体分析. 例 如方程 x2 = 4 的所有实数解组成的集合 A, 用列举法可表示为 A = { - 2,2}, 用描述法可表示为 A = {x | x2 = 4} . 5.集合间的关系 子集 真子集 集合相等 概念 集合 A 中的每一个元素都是集合 B 的元素 集合 A ⊆ B, 但 存 在 x ∈ B, 且x ∉ A 集合 A 的元素与集合 B 的元素相同 记法 A ⊆ B 或 B ⊇ A A ⫋ B 或 B ⫌ A A = B 读法 “A 包含于 B”(或“B 包含 A”) “A 真包含于 B”(或“B 真包含 A”) “集合 A 等于 B” 图示 　 　 ① 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. ② 任何一个集合是它本身的子集,即 A ⊆ A. ③ 对于集合 A,B,C,如果 A ⊆ B,且 B ⊆ C,那么 A ⊆ C. ④ 若集合 A 不是集合 B 的子集,记作 A ⊈ B 或 B ⊉ A. 2 !"#$ 题型一:元素与集合的关系 ! 1 已知集合 A = {0, - 1},则 - 1 与集合 A 的关系为 (　 　 ) A. - 1 ⊆ A B. - 1 ⫋ A C. - 1 ∈ A D. - 1 ∉ A 【解析】 由已知可得 - 1 是集合 A 中的元素,根据元素与集合之间的关系,知 - 1 ∈ A. 【答案】 C ! 2 下列元素与集合的关系表示不正确的是 (　 　 ) A. 1 ∈ N B. 1 ∈ Z C. 3 2 ∈ Q D. 0 ∈ ⌀ 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集, 所以 1 ∈ N,1 ∈ Z, 3 2 ∈ Q,故 A,B,C 不符合题意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 符合题意. 【答案】 D ! 3 已知 3 ∈ {1,2,a - 1},则实数 a 的值为 . 【解析】 因为 3 ∈ {1,2,a - 1}, 所以 a - 1 = 3,即 a = 4. 【答案】 4 题型二:集合的表示方法 ! 4 集合{x ∈ N | x < 5} 用列举法表示正确的是 (　 　 ) A. {1,2,3,4} B. {0,1,2,3,4,4} C. {0,1,2,3,4} D. {0,1,2,3,4,5} 【解析】 因为 N = {0,1,2,3,4,5,…}, 所以集合{x ∈ N | x < 5} 用列举法表示为{0,1,2,3,4} . 因为同一个集合中的元素必须是互不相同的, 所以 B 不符合题意,C 符合题意. 【答案】 C 题型三:集合间的关系 ! 5 设集合 A = {1,2,3,4},B = {1,2,3,a},且 A = B,则 a = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3 【解析】 因为 A = {1,2,3,4},B = {1,2,3,a},且 A = B, 所以 a = 4. 【答案】 D ! 6 下列表达式中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∈ ⌀ B. {0} ∈ ⌀ C. ⌀ ⫋ {0} D. ⌀ ∈ {0} 【解析】 易知 ⌀ 是不含任何元素的集合, 所以 0 ∉ ⌀,故 A 不正确. 因为空集是任何非空集合的真子集, 所以 ⌀ ⫋ {0},故 B,D 不正确,C 正确. 【答案】 C ! 7 (2022,1) 已知集合 M = {1,2},N = {2,3,x},若 M ⊆ N,则实数 x 的值是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 因为集合 M = {1,2},N = {2,3,x},且 M ⊆ N, 所以集合 N 中一定有元素 1, 所以 x = 1. 【答案】 A ! 8 设集合 M = {0,1,3},则 M 的子集的个数为 (　 　 ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 【解析】 集合 M ={0,1,3} 的子集有 ⌀,{0},{1},{3},{0,1},{0,3},{1,3},{0,1,3},共 8 个. 【答案】 D 1. 已知 M 是由 1,2,3 三个元素构成的集合,则集合 M 可表示为 (　 　 ) A. {x | x = 1} B. {x | x = 2} C. {1,2} D. {1,2,3} 2. 设集合 A = {x | x ≥- 1},则下列四个关系中正确的是 (　 　 ) A. 1 ∈ A B. 1 ∉ A C. {1} ∈ A D. 1 ⊆ A 3. 已知集合 A = {x ∈ Z | x < 3},则 (　 　 ) A. 2 ∈ A B. 3 ∈ A C. 0 ∉ A D. ⌀ ∈ A 4 4. 下列关系中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∉ ⌀ B. {0} ⊆ ⌀ C. 0 ⊆ ⌀ D. 0 ∈ ⌀ 5. 设集合 M = {1,2,3},N = {1},则下列关系中正确的是 (　 　 ) A. N ∈ M B. N ∉ M C. N ⊇ M D. N ⊆ M 6. 设集合 M = { - 1,0,1},N = {0},则 (　 　 ) A. N 为空集 B. N ∈ M C. N ⊆ M D. M ⊆ N 7. 下列元素与集合的关系表示正确的是 (　 　 ) A. 1 2 ∈ N B. 1 2 ∈ Z C. 1 3 ∈ Q D. 0 ∈ ⌀ 8. 下列关于集合的符号表述中,正确的是 (　 　 ) A. { - 1} ∈ { - 1,2} B. 3 ∉ R C. 1 ⊆ {x | 0 ≤ x ≤ 1} D. ⌀ ⊆ {0} 9. 设集合 A = {x ∈ Q | x > - 1},则 (　 　 ) A. ⌀ ∉ A B. 2 ∉ A C. 2 ∈ A D. { 2 } ⊆ A 10. 设集合 A = {1,2,3},则 A 的真子集的个数是 (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 11. 已知集合 A = {1,3, m },B = {1,2},B ⊆ A,则 m = . 12. 已知集合 A = {x | - 2 ≤ x ≤ 3},B = {x | x ≥ m},若 A ⊆ B,则实数 m 的取值范围为 . 1. 2　 集合的运算 ! "#$%& 1. 理解两个集合的并集与交集的含义; 2. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义; 3. 掌握集合的交集、并集、补集运算. 5