4.3 对数和对数函数-2024版河南省职教高考数学复习教材

16. 已知指数函数 f(x) =ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9) . (1) 求函数 f(x) 的解析式; (2) 若 f(2m - 1) - f(m + 3) > 0,求实数 m 的取值范围. 4. 3　 对数和对数函数 !"#$ 1. 理解对数的概念及性质,了解常用对数和自然对数; 2. 理解指数与对数的关系,会指数式与对数式的互化; 3. 理解积、商、幂的对数运算法则,能够利用对数的运算法则进行化简、求值; 4. 理解对数函数的概念,掌握与对数函数有关的函数的定义域的求法; 5. 掌握对数函数的图象和性质. 1.对数 (1) 对数的概念 一般地,如果 ab = N(a > 0,且 a ≠ 1),那么 b 为以 a 为底 N 的对数,记作 b =logaN,其中 a 称为对数的 底数,N 称为真数. (2) 常用对数与自然对数 常用对数:以 10 为底的对数叫做常用对数,log10N 记为 lg N. 自然对数:以无理数 e(e = 2. 718 28…) 为底的对数叫做自然对数,logeN 记为 ln N. (3) 对数的基本性质 性质 1 ab = N⇔b = logaN(N > 0) 性质 2 负数和 0 没有对数,即当 N ≤ 0 时,logaN 没有意义 性质 3 1 的对数等于 0,即loga1 = 0 性质 4 底数的对数等于 1,即logaa = 1 性质 5 a logaN = N(N > 0) 性质 6 logaab = b 备注:a > 0 且 a ≠ 1 75 　 　 (4) 积、商、幂的对数 如果 a > 0,且 a ≠ 1,M > 0,N > 0,那么有如下的运算性质. 性质 1 loga(MN) = logaM + logaN 性质 2 loga M N = logaM - logaN 性质 3 logaMn = nlogaM(n ∈ R) 2.对数函数 (1) 对数函数的概念 一般地,形如 y = logax(a > 0,且 a ≠ 1) 的函数叫做对数函数,其中 x是自变量,定义域是(0, + ∞ ),值 域是 R. (2) 对数函数的图象与性质 函数 y = logax(a > 0 且 a ≠ 1) a > 1 0 < a < 1 图象 性质 定义域是(0, + ∞ ),值域是 R 过定点(1,0),即当 x = 1 时,y = 0 当 x > 1 时,y > 0;当 0 < x < 1 时,y < 0 当 x > 1 时,y < 0;当 0 < x < 1 时,y > 0 在(0, + ∞ ) 上是增函数 在(0, + ∞ ) 上是减函数 !"#$ 题型一:对数的运算 ! 1 (1) 已知2x = 3,则 x = (　 　 ) A. log23 B. log32 C. 3 D. 3 2 (2) 将 lg a = b(a > 0) 化成指数式为 (　 　 ) A. 10b = a B. eb = a C. ab = 10 D. 10a = b 【解析】 (1) 由2x = 3,得 x =log23. (2) 由 lg a = b(a > 0),得 10b = a. 【答案】 (1)A　 (2)A 85 ! 2 设 a =log94,则 3a 的值是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 9 【解析】 由 a =log94,得 9a = 4,即 32a = 4,得 3a = 2. 【答案】 B ! 3 计算 ln 3 + ln 1 3 = (　 　 ) A. - 1 B. 0 C. 2 D. 3 【解析】 ln 3 + ln 1 3 = ln 3 + ln 3 -1 = ln 3 - ln 3 = 0. 【答案】 B ! 4 下列等式成立的是 (　 　 ) A. log223 = 3 B. log2(8 + 4) =log28 + log24 C. log2(8 - 4) =log28 - log24 D. log28 log24 =log2 8 4 【解析】 log223 = 3log22 = 3,故 A 正确; log2(8 + 4) =log212,log28 + log24 = log223 + log222 = 3 + 2 = 5,log2(8 + 4) ≠ log28 + log24,故 B 错误; log2(8 - 4) =log24 =log222 = 2log22 = 2,log28 - log24 = log2 8 4 = log22 = 1,log2(8 - 4) ≠ log28 - log24, 故 C 错误; log28 log24 = log223 log222 = 3log22 2log22 = 3 2 ,log2 8 4 = log22 = 1, log28 log24 ≠ log2 8 4 ,故 D 错误. 【答案】 A ! 5 已知log2(log4x) = 0,那么 x - 12 = (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. 1 2 D. - 1 2 【解析】 由log2( log4x) = 0 得log4x = 1, 所以 x = 4, 所以 x - 12 = 4 - 12 = 1 4 = 1 2 . 【答案】 C 95 题型二:对数函数的概念 ! 6 函数 f(x) =log3(1 + x) 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ , - 1) B. ( - 1, + ∞ ) C. [ - 1, + ∞ ) D. (0, + ∞ ) 【解析】 要使函数 f(x) =log3(1 + x) 有意义,须 1 + x > 0,解得 x > - 1, 所以函数 f(x) =log3(1 + x) 的定义域为( - 1, + ∞ ) . 【答案】 B ! 7 函数 f(x) = 1 log3(3x - 2) 的定义域为 (　 　 ) A. [ 2 3 , + ∞ ) B. (3, + ∞ ) C. [ 2 3 ,1) ∪ (1, + ∞ ) D. ( 2 3 ,1) ∪ (1, + ∞ ) 【解析】 由 f(x) = 1 log3(3x - 2) 有意义得 3x - 2 > 0, log3(3x - 2) ≠ 0,{ 解得 x > 2 3 且 x ≠ 1, 所以函数 f(x) = 1 log3(3x - 2) 的定义域为( 2 3 ,1) ∪ (1, + ∞ ) . 【答案】 D ! 8 函数 f(x) =log2x(x ∈ [1,8]) 的值域为 (　 　 ) A. [0,4] B. [0,3] C. [1,4] D. [1,3] 【解析】 易知对数函数 f(x) =log2x,x ∈ [1,8] 单调递增, 所以f(x)max = f(8) =log28 = 3,f(x)min = f(1) =log21 = 0, 故函数 f(x) =log2x(x ∈ [1,8]) 的值域为[0,3] . 【答案】 B 题型三:对数函数的性质 ! 9 函数 y =log 1 2 (3x - 1) 的递减区间为 . 【解析】 易知函数 y =log 1 2 (3x - 1) 的定义域为 1 3 , + ∞( ) . 因为函数 y =log 1 2 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,函数 y = 3x - 1 在 R 上单调递增, 所以函数 y =log 1 2 (3x - 1) 的递减区间为 1 3 , + ∞( ) . 【答案】 1 3 , + ∞( ) 06 ! 10 已知 a = 1 3( ) 0. 5 ,b =log42,c =log23,则 (　 　 ) A. c > a > b B. a > c > b C. a > b > c D. b > c > a 【解析】 a = 1 3( ) 0. 5 = 1 3 = 3 3 ∈ 1 2 ,1( ) ,b =log42 = 12 ,c =log23 > log22 = 1, 所以 c > a > b. 【答案】 A ! 11 已知函数 f(x) = 1 + log4(x + m),f(1) = 2. (1) 求实数 m 的值,并写出 f(x) 的定义域; (2) 若 f(x) < 3,求 x 的取值范围. 【解析】 (1) 因为函数 f(x) = 1 + log4(x + m),f(1) = 2, 所以 f(1) = 1 + log4(1 + m) = 2,即log4(1 + m) = 1, 所以 1 + m = 4,解得 m = 3. 故函数 f(x) = 1 + log4(x + 3) . 要使函数 f(x) 有意义,须 x + 3 > 0,解得 x > - 3, 所以函数 f(x) = 1 + log4(x + 3) 的定义域为( - 3, + ∞ ) . (2) f(x) < 3,即log4(x + 3) < 2 =log416. 因为函数 y =log4x 在(0, + ∞ ) 上单调递增, 所以 0 < x + 3 < 16,解得 - 3 < x < 13. 故所求 x 的取值范围为( - 3,13) . 1. log28 = (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 1 D. - 3 2. 已知 lg 2 = a,lg 3 = b,则 lg 6 = (　 　 ) A. a b B. ab C. a - b D. a + b 3. 若 lg x = 2,则 x = (　 　 ) A. 100 B. 10 C. 210 D. 2 16 4. 函数 f(x) =log2(x + 1),x ∈ [0,1] 的值域为 (　 　 ) A. [0,1] B. (0,1) C. ( - ∞ ,1] D. [1, + ∞ ) 5. 已知 a =log32,b =log52,c =3a,则 a,b,c 的大小关系为 (　 　 ) A. a < b < c B. b < a < c C. c < a < b D. c < b < a 6. 将( 1 2 ) 3 = 1 8 化为对数式正确的是 (　 　 ) A. log 1 2 3 = 1 8 B. log 1 2 1 8 = 3 C. log 1 8 1 2 = 3 D. log3 1 2 = 1 8 7. 计算:lg 4 + lg 5 2 - ( 1 2 ) -1 = (　 　 ) A. 0 B. 6 C. - 1 D. 10 3 8. 函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是 (　 　 ) A. (0, + ∞ ) B. (0,1) ∪ (1, + ∞ ) C. [0, + ∞ ) D. R 9. 函数 y = 1 log0. 5(4x - 3) 的定义域为 (　 　 ) A. ( 3 4 ,1) B. ( 3 4 , + ∞ ) C. (1, + ∞ ) D. ( 3 4 ,1) ∪ (1, + ∞ ) 10. 函数 f(x) =log 1 2 x,x ∈ [ 1 16 , 1 2 ],则 f(x) 的最大值为 (　 　 ) A. 4 B. 8 C. - 4 D. - 8 11. 2log510 - log54 = . 12. 计算log153 - log64 + log155 - 2log63 = . 13. 若log5x = 2,logy8 = 3,则 x + y = . 14. 若log8[log4(log2x)] = 0,则 x = . 15. 若log(x-2)(x2 - 7x + 13) = 0,则 x 的值为 . 16. 设函数 f(x) = ex(x ≤ 0), ln x(x > 0),{ 则 f[ f( - 1)] = . 26 17. 函数 f(x) =log2x + x(x ∈ [1,4]) 的值域是 . 18. 已知函数 f(x) =logax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象过点(4,2) . (1) 求 a 的值; (2) 求不等式 f(1 + x) < f(3) 的解集. 19. 已知函数 f(x) = ln(2 - x) + ln(2 + x) . (1) 判断函数 f(x) 的奇偶性; (2) 求方程 f(x) = 0 的解. 36 16. 【解析】(1)∵ 指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9), ∴ f( - 2) = a -2 = 1 a2 = 9,解得 a = 1 3 , ∴ 函数 f(x) 的解析式为 f(x) = 1 3( ) x . (2)∵ f(2m - 1) - f(m + 3) > 0, ∴ f(2m - 1) > f(m + 3), ∴ 1 3( ) 2m-1 > 1 3( ) m+3 . 又指数函数 f(x) = 1 3( ) x 在 R 上单调递减, ∴ 2m - 1 < m + 3,解得 m < 4, ∴ 实数 m 的取值范围是( - ∞ ,4) . 4. 3　 对数和对数函数 1. B　 【解析】 log28 = log223 = 3. 2. D　 【解析】 lg 6 = lg(2 × 3) = lg 2 + lg 3 = a + b. 3. A　 【解析】 由 lg x = 2 可得 x = 102 = 100. 4. A　 【解析】 因为函数 y = log2x 在定义域(0, + ∞ ) 上单调递增,所以当 x ∈ [0,1] 时, log21 ≤log2(x + 1) ≤log22,即 f(x) ∈ [0,1] . 5. B　 【解析】 因为函数 y = log3x在(0, + ∞ ) 上单调递增,y = log5x在(0, + ∞ ) 上单调递增,所以 1 2 = log3 3 < a = log32 < 1,b = log52 < log5 5 = 1 2 . 又 c = 3a = 3 log32 = 2,所以 b < a < c. 6. B　 【解析】( 1 2 ) 3 = 1 8 化为对数式为log 1 2 1 8 = 3. 7. C　 【解析】 lg 4 + lg 5 2 - ( 1 2 ) -1 = lg(4 × 5 2 ) - 2 = lg 10 - 2 = 1 - 2 = - 1. 8. B　 【解析】 由函数 f(x) = 1 ln x 有意义得 x > 0, ln x ≠ 0,{ 解得 x > 0 且 x ≠ 1, 故函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是(0,1) ∪ (1, + ∞ ) . 9. A　 【解析】 由函数 y = 1 log0. 5(4x - 3) 有意义得 4x - 3 > 0, log0. 5(4x - 3) > 0, { 解得 34 < x < 1,所以函数 y = 1log0. 5(4x - 3) 的定 义域为( 3 4 ,1) . 10. A　 【解析】 易知 f(x) = log 1 2 x,x ∈ [ 1 16 , 1 2 ] 为减函数,∴ f(x) max = f( 1 16 ) = log 1 2 1 16 = 4. 11. 2　 【解析】2log510 - log54 = log5100 - log54 = log5 100 4 = log525 = 2. 12. - 1　 【解析】 原式 = log15(3 × 5) - log6(4 × 32 ) = 1 - 2 = - 1. 991 13. 27　 【解析】∵ log5x = 2,∴ x = 52 = 25. ∵ logy8 = 3,∴ y3 = 8,∴ y = 2,∴ x + y = 27. 14. 16　 【解析】 因为log8 [log4(log2x)] = 0,所以log4(log2x) = 80 = 1,所以log2x = 4,所以 x = 16. 15. 4　 【解析 】 由 对 数 函 数 的 底 数 和 真 数 都 是 正 数, 且 log(x-2)(x2 - 7x + 13) = 0, 得 x2 - 7x + 13 = 1, x - 2 > 0, x - 2 ≠ 1, ì î í ï ï ïï 即 x2 - 7x + 12 = 0, x > 2, x ≠ 3, ì î í ï ï ïï 解得 x = 4. 16. - 1　 【解析】 由 f(x) = ex(x ≤ 0), ln x(x > 0){ 知 f( - 1) = e -1 ,则 f[ f( - 1)] = f(e -1 ) = ln e -1 = - 1. 17. [1,6]　 【解析】 因为函数 y = log2x和 y = x在[1,4] 上都单调递增,所以 f(x) = log2x + x(x ∈ [1,4]) 的最大值 f(x) max = f(4) = log24 + 4 = 6,最小值 f(x) min = log21 + 1 = 1,所以 f(x) = log2x + x(x ∈ [1,4]) 的值域为[1,6] . 18. 【解析】(1) 依题意得loga4 = 2loga2 = 2, ∴ a = 2. (2) 易知函数 f(x) = log2x 的定义域为(0, + ∞ ),且 f(x) = log2x 为增函数. ∵ f(1 + x) < f(3), ∴ 1 + x < 3, 1 + x > 0,{ 解得 - 1 < x < 2, ∴ 不等式 f(1 + x) < f(3) 的解集为( - 1,2) . 19. 【解析】(1) 要使函数 f(x) = ln(2 - x) + ln(2 + x) 有意义,须 2 - x > 0, 2 + x > 0,{ 解得 - 2 < x < 2, 所以函数 f(x) 的定义域为( - 2,2),关于原点对称. 又 f( - x) = ln(2 + x) + ln(2 - x) = f(x), 所以函数 f(x) 是偶函数. (2) 方程 f(x) = 0,即 ln(2 - x) + ln(2 + x) = 0,即 ln(2 - x)(2 + x) = ln 1,即(2 - x)(2 + x) = 1, 所以 4 -x2 = 1,即 x2 = 3,解得 x = ± 3 , 故方程 f(x) = 0 的解为 ± 3 . 第五章 　 三 角 函 数 5. 1　 三角函数的概念 1. B　 【解析】 因为 - 2 023° = 137° - 6 × 360°,所以根据终边相同角的定义知,角 - 2 023° 与角 137° 的终边相同,又角 137° 是第二象限角,所以角 - 2 023° 的终边位于第二象限. 2. B　 【解析】1 850° -40° =1 810° = 5 ×360° +10°,故A错误. 因为1 850° -50° = 1 800° = 5 ×360°,故B正确. 1 850° -320° = 1 530° = 4 ×360° +90°,故 C 错误. 1 850° - ( -400°) = 2 250° = 6 ×360° +90°,故 D 错误. 002