4.2 指数函数-2024版河南省职教高考数学复习教材

4. 2　 指 数 函 数 !"#$ 1. 理解指数函数的概念; 2. 掌握指数函数的图象与性质. 1.指数函数的概念 一般地,形如 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 的函数叫做指数函数,其中 x 是自变量,x ∈ R,a 称为指数函数的 底数. 2.指数函数 y = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象与性质 解析式 y = ax(0 < a < 1) y = ax(a > 1) 图象 定义域 R 值域 (0, + ∞ ) 性质 当 x = 0 时,y = 1,即图象过定点(0,1) 当 x > 0 时,0 < y < 1;当 x < 0 时,y > 1 当 x > 0 时,y > 1;当 x < 0 时,0 < y < 1 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 !"#$ 题型一:指数函数的概念 ! 1 若指数函数 f(x) 的图象经过点(2,9),则 f( - 1) = (　 　 ) A. 1 3 B. - 1 3 C. 2 D. - 2 【解析】 设指数函数 f(x) =ax(a > 0 且 a ≠ 1) . 25 因为 f(x) 的图象经过点(2,9), 所以a2 = 9 = 32,解得 a = 3,即 f(x) =3x, 所以 f( - 1) =3 -1 = 1 3 . 【答案】 A 题型二:指数函数的图象与性质 ! 2 函数 y =2 | x| 的大致图象是 (　 　 ) A. B. C. D. 【解析】 易得 y =2 | x| = 2x,x ≥ 0, 1 2( ) x ,x < 0. ì î í ï ï ïï 因为函数 y =2 | x| 为偶函数,图象过(0,1),且 y = 2x 在[0, + ∞ ) 上单调递增, 所以 y =2 | x| > 0, 所以函数 y = 2 | x| 在( - ∞ ,0) 上单调递减,在(0, + ∞ ) 上单调递增,故 B 符合题意. 【答案】 B 题型三:指数函数的定义域 ! 3 函数 f(x) = 2x 的定义域为 (　 　 ) A. [1, + ∞ ) B. (0, + ∞ ) C. [0, + ∞ ) D. R 【解析】 指数函数 f(x) = 2x 的定义域为 R. 【答案】 D 题型四:指数函数的值域(最值) ! 4 函数 f(x) = ( 1 3 ) x 在[ - 1,0] 上的最大值是 (　 　 ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 3 【解析】 由 0 < 1 3 < 1 知指数函数 f(x) = ( 1 3 ) x 在[ - 1,0] 上单调递减, 35 所以在[ - 1,0] 上,当 x = - 1 时,f(x) 取得最大值,为( 1 3 ) -1 = 3. 【答案】 D ! 5 若函数 y = 2x 在区间[2,a] 上的最大值比最小值大 4,则 a = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 易得指数函数 y = 2x 在区间[2,a] 上单调递增, 所以在区间[2,a] 上,当 x = a 时,y = 2x 取得最大值 2a,当 x = 2 时,y = 2x 取得最小值 22 = 4. 又函数 y = 2x 在区间[2,a] 上的最大值比最小值大 4, 所以 2a - 4 = 4,解得 a = 3. 【答案】 C ! 6 函数 f(x) =3x + 2x,x ∈ [ - 1,1] 的值域是 (　 　 ) A. 1, 5 3 é ë êê ù û úú B. - 1,5[ ] C. - 5 3 ,5é ë êê ù û úú D. 0,1[ ] 【解析】 因为函数 y =3x + 2x 在[ - 1,1] 上单调递增, 所以当 x ∈ [ - 1,1] 时,3 -1 - 2 ≤3x + 2x ≤ 31 + 2,即 - 5 3 ≤ f(x) ≤ 5, 所以函数 f(x) =3x + 2x,x ∈ [ - 1,1] 的值域是 - 5 3 ,5é ë êê ù û úú . 【答案】 C 题型五:指数函数的单调性 ! 7 已知指数函数 f(x) =(a - 2) x,且 f(2 023) > f(2 024),则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. (2,3) B. (0,1) C. (1, + ∞ ) D. (3, + ∞ ) 【解析】 由题意知函数 f(x) 在 R 上单调递减, 所以 0 < a - 2 < 1,解得 2 < a < 3, 则实数 a 的取值范围是(2,3) . 【答案】 A ! 8 “a < b” 是“2a < 2b” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 因为指数函数 y = 2x 是增函数, 45 所以当 a < b 时,2a < 2b,当 2a < 2b 时,a < b, 所以“a < b” 是“2a < 2b” 的充要条件. 【答案】 C 题型六:指数函数的综合 ! 9 已知函数 f(x) = 2x - ( 1 2 ) x,则 (　 　 ) A. f(x) 是奇函数,且在(0, + ∞ ) 上单调递增 B. f(x) 是偶函数,且在 R 上单调递增 C. f(x) 是奇函数,且在(0, + ∞ ) 上单调递减 D. f(x) 是偶函数,且在 R 上单调递减 【解析】 因为 f(x) 定义域为 R,且 f( - x) = 2 -x - ( 1 2 ) -x = ( 1 2 ) x - 2x = - f(x), 所以 f(x) 是 R 上的奇函数. 又 y = 2x 是 R 上的增函数,y = ( 1 2 ) x 是 R 上的减函数, 所以函数 f(x) = 2x - ( 1 2 ) x 是 R 上的增函数, 所以函数 f(x) = 2x - 1 2( ) x 是奇函数,且在(0, + ∞ ) 上单调递增. 【答案】 A 1. 指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象必过定点 (　 　 ) A. (0,1) B. (1,1) C. (0,0) D. (1,0) 2. 已知函数 f(x) = 2x,则下列关系正确的是 (　 　 ) A. f(0) < f(1) B. f(0) = f(1) C. f(2) < f(1) D. f(0) > f(2) 3. 已知函数 f(x) = x - 2,x > 2, 2x + 2,x ≤ 2,{ 则 f(1) = (　 　 ) A. - 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 函数 y = 3x - 27 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ , 3 ] B. ( - ∞ , 3 ) C. [3, + ∞ ) D. (3, + ∞ ) 55 5. 函数 y =2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为 (　 　 ) A. 1 7 B. 1 5 C. 1 3 D. 5 6. 已知 f(x) 是偶函数,当 x ≥ 0 时,f(x) = 2x - 1,则 f( - 2) = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. - 3 D. 3 7. 已知当 x > 0 时,函数 f(x) =(3a - 2) x 的值总大于 1,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. ( 2 3 ,1) B. ( - ∞ ,1) C. (1, + ∞ ) D. (0, 2 3 ) 8. 已知 a = ( 4 3 ) -0. 1,b = ( 3 4 ) -0. 1,c = 5 - 3 ,则 (　 　 ) A. b > c > a B. b > a > c C. a > b > c D. c > b > a 9. 已知非零实数 a,b 满足 a > b,则下列不等式中一定成立的是 (　 　 ) A. 1 a < 1 b B. a3 > b3 C. a2 > b2 D. 3a < 3b 10. 已知函数 f(x) = 2x,x ∈ [0, + ∞ ),则 (　 　 ) A. f(x) 有最大值,有最小值 B. f(x) 有最大值,无最小值 C. f(x) 无最大值,有最小值 D. f(x) 无最大值,无最小值 11. 函数 f(x) = ax(0 < a < 1) 在区间[0,2] 上的最大值比最小值大 3 4 ,则 a 的值为 (　 　 ) A. 1 2 B. 7 2 C. 2 2 D. 3 2 12. 函数 f(x) = ( 1 2 ) x - 2 的定义域为 . 13. 函数 y = 4x + 2 的值域是 . 14. 若指数函数 f(x) = ax(a > 0 且 a ≠ 1) 在[ - 1,1] 上的最大值为 2,则 a = . 15. 函数 f(x) = ex - 2 在[1,e] 上的最小值为 . 65 16. 已知指数函数 f(x) =ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9) . (1) 求函数 f(x) 的解析式; (2) 若 f(2m - 1) - f(m + 3) > 0,求实数 m 的取值范围. 4. 3　 对数和对数函数 !"#$ 1. 理解对数的概念及性质,了解常用对数和自然对数; 2. 理解指数与对数的关系,会指数式与对数式的互化; 3. 理解积、商、幂的对数运算法则,能够利用对数的运算法则进行化简、求值; 4. 理解对数函数的概念,掌握与对数函数有关的函数的定义域的求法; 5. 掌握对数函数的图象和性质. 1.对数 (1) 对数的概念 一般地,如果 ab = N(a > 0,且 a ≠ 1),那么 b 为以 a 为底 N 的对数,记作 b =logaN,其中 a 称为对数的 底数,N 称为真数. (2) 常用对数与自然对数 常用对数:以 10 为底的对数叫做常用对数,log10N 记为 lg N. 自然对数:以无理数 e(e = 2. 718 28…) 为底的对数叫做自然对数,logeN 记为 ln N. (3) 对数的基本性质 性质 1 ab = N⇔b = logaN(N > 0) 性质 2 负数和 0 没有对数,即当 N ≤ 0 时,logaN 没有意义 性质 3 1 的对数等于 0,即loga1 = 0 性质 4 底数的对数等于 1,即logaa = 1 性质 5 a logaN = N(N > 0) 性质 6 logaab = b 备注:a > 0 且 a ≠ 1 75 11. ± 3　 【解析】 设 9 的平方根为 x,则x2 = 9,所以 x = ± 3,即 9 的平方根是 ± 3. 12. - 5　 【解析】 ( - 3) 2 +(π - 3) 0 -27 2 3 = 9 + 1 -(33 ) 2 3 = 3 + 1 - 9 = - 5. 13. 【解析】(1) 25 9( ) 0. 5 +0. 1 -2 -π0 + 1 3 = 25 9( ) 1 2 + 1 10( ) -2 - 1 + 1 3 = 5 3 + 100 - 1 + 1 3 = 101. (2) 2 × 10 ÷ 5 = 2 × 10 5 = 4 = 2. (3) ( 3 - 2) 2 + ( 3 - 1) 2 = | 3 - 2 | +| 3 - 1 | = 2 - 3 + 3 - 1 = 1. 4. 2　 指 数 函 数 1. A　 【解析】∵ f(0) = a0 = 1(a > 0,且 a ≠ 1),∴ 指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象必过定点(0,1) . 2. A　 【解析】 由指数函数 f(x) = 2x 在 R 上单调递增,得 f(0) < f(1) < f(2) . 3. C　 【解析】∵ 当 x ≤ 2 时,f(x) = 2x + 2,∴ f(1) = 21 + 2 = 4. 4. C　 【解析】 由题意得3x - 27 ≥ 0,即3x ≥33 . 因为指数函数 y = 3x 在 R上单调递增,所以 x ≥ 3,故 y = 3x - 27 的定义域 为[3, + ∞ ) . 5. D　 【解析】 因为函数 y = 2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 是增函数,所以函数 y = 2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为22 + 2 2 = 5. 6. D　 【解析】 易得 f(2) = 22 - 1 = 3,又 f(x) 是偶函数,所以 f( - 2) = f(2) = 3. 7. C　 【解析】 根据指数函数性质知 3a - 2 > 1,解得 a > 1. 8. B　 【解析】0 < ( 4 3 ) -0. 1 < ( 4 3 ) 0 = 1,即 0 < a < 1,( 3 4 ) -0. 1 > ( 3 4 ) 0 = 1,即 b > 1, 5 - 3 = - 5 3 < 0,即 c < 0,所以 c < 0 < a < 1 < b. 9. B　 【解析】 取 a = 1,b = - 1,满足 a > b,但 1 a = 1 > 1 b = - 1,故选项 A 错误;易知 y = x3 在 R上单调递增,又 a > b,所 以 a3 > b3 ,故选项 B 正确;当 a = 1,b = - 1 时,a2 = 1 = b2 ,故选项 C 错误;易知 y = 3x 在 R 上单调递增,又 a > b,所以 3a > 3b,故选项 D 错误. 10. C　 【解析】 f(x) = 2x,x ∈ [0, + ∞ ) 是增函数,最小值为 f(0),没有最大值. 11. A　 【解析】∵ 函数 f(x) = ax(0 < a < 1) 在区间[0,2] 上单调递减,∴ 在区间[0,2] 上,当 x = 0 时,f(x) 取得最大值 a0 , 当 x = 2,f(x) 取得最小值 a2 . 又最大值比最小值大 3 4 ,∴ a0 - a2 = 1 - a2 = 3 4 ,解得 a = 1 2 . 12. ( - ∞ , - 1]　 【解析】 要使 f(x) = ( 1 2 ) x - 2 有意义,须( 1 2 ) x - 2 ≥ 0,即( 1 2 ) x ≥ ( 1 2 ) -1 ,解得 x ≤- 1,故函数 f(x) 的定义域为( - ∞ , - 1] . 13. (2, + ∞ )　 【解析】 由函数 y = 4x 的值域为(0, + ∞ ),得函数 y = 4x + 2 的值域为(2, + ∞ ) . 14. 2 或 1 2 　 【解析】 若 a > 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递增,故当 x = 1 时,f(x) 取得最大值 a1 = 2,得 a = 2. 若 0 < a < 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递减,所以当 x = - 1 时,f(x) 取得最大值 a -1 = 2,得 a = 1 2 . 综上 a = 2 或 a = 1 2 . 15. e - 2　 【解析】 函数 f(x) = ex - 2 在[1,e] 上单调递增,所以在[1,e] 上,当 x = 1 时,f(x) 取得最小值,f(x) min = f(1) = e - 2. 891 16. 【解析】(1)∵ 指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象过点( - 2,9), ∴ f( - 2) = a -2 = 1 a2 = 9,解得 a = 1 3 , ∴ 函数 f(x) 的解析式为 f(x) = 1 3( ) x . (2)∵ f(2m - 1) - f(m + 3) > 0, ∴ f(2m - 1) > f(m + 3), ∴ 1 3( ) 2m-1 > 1 3( ) m+3 . 又指数函数 f(x) = 1 3( ) x 在 R 上单调递减, ∴ 2m - 1 < m + 3,解得 m < 4, ∴ 实数 m 的取值范围是( - ∞ ,4) . 4. 3　 对数和对数函数 1. B　 【解析】 log28 = log223 = 3. 2. D　 【解析】 lg 6 = lg(2 × 3) = lg 2 + lg 3 = a + b. 3. A　 【解析】 由 lg x = 2 可得 x = 102 = 100. 4. A　 【解析】 因为函数 y = log2x 在定义域(0, + ∞ ) 上单调递增,所以当 x ∈ [0,1] 时, log21 ≤log2(x + 1) ≤log22,即 f(x) ∈ [0,1] . 5. B　 【解析】 因为函数 y = log3x在(0, + ∞ ) 上单调递增,y = log5x在(0, + ∞ ) 上单调递增,所以 1 2 = log3 3 < a = log32 < 1,b = log52 < log5 5 = 1 2 . 又 c = 3a = 3 log32 = 2,所以 b < a < c. 6. B　 【解析】( 1 2 ) 3 = 1 8 化为对数式为log 1 2 1 8 = 3. 7. C　 【解析】 lg 4 + lg 5 2 - ( 1 2 ) -1 = lg(4 × 5 2 ) - 2 = lg 10 - 2 = 1 - 2 = - 1. 8. B　 【解析】 由函数 f(x) = 1 ln x 有意义得 x > 0, ln x ≠ 0,{ 解得 x > 0 且 x ≠ 1, 故函数 f(x) = 1 ln x 的定义域是(0,1) ∪ (1, + ∞ ) . 9. A　 【解析】 由函数 y = 1 log0. 5(4x - 3) 有意义得 4x - 3 > 0, log0. 5(4x - 3) > 0, { 解得 34 < x < 1,所以函数 y = 1log0. 5(4x - 3) 的定 义域为( 3 4 ,1) . 10. A　 【解析】 易知 f(x) = log 1 2 x,x ∈ [ 1 16 , 1 2 ] 为减函数,∴ f(x) max = f( 1 16 ) = log 1 2 1 16 = 4. 11. 2　 【解析】2log510 - log54 = log5100 - log54 = log5 100 4 = log525 = 2. 12. - 1　 【解析】 原式 = log15(3 × 5) - log6(4 × 32 ) = 1 - 2 = - 1. 991