4.1 实数指数幂和幂函数-2024版河南省职教高考数学复习教材

所以一元二次不等式 x2 - 2x - 3 < 0 的解集为{x | - 1 < x < 3}, 所以不等式 f(x) < 3 的解集为{x | - 1 < x < 3} . 17. 【解析】 设总收入减成本及渔船维修等事项上的所有费用之差为 f(n) . 根据题意得 f(n) = 50n - 98 - (n2 + 38n - 71) = -n2 + 12n - 27. 因为一 元 二 次 方 程 - n2 + 12n - 27 = 0 的 解 分 别 为 n1 = - 12 + 122 - 4 × ( - 1) × ( - 27) - 2 = 3,n2 = - 12 - 122 - 4 × ( - 1) × ( - 27) - 2 = 9, 所以不等式 f(n) > 0 即 n2 - 12n + 27 < 0 的解集为{n | 3 < n < 9}, 因为 n ∈ N∗ , 所以渔船捕捞第 4 年开始盈利. 第四章 　 指数函数与对数函数 4. 1　 实数指数幂和幂函数 1. B　 【解析】 易知 a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗ ,n > 1),所以根式 5 a3 化为分数指数幂是a 3 5 . 2. B　 【解析】 易知 a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗ ,n > 1),所以2 1 3 = 3 2 . 3. D　 【解析】 当 a = m = n = 1 时,am +an = 2,am+n = 1,故am +an ≠am+n,故 A 错误. 由指数幂运算法则可知am·an = am+n, (am) n = amn,故 B,C 错误,D 正确. 4. D　 【解析】 因为 aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R),所以 2m+n = 2m·2n . 又 2m = 3,2n = 5,所以2m+n = 2m·2n = 3 × 5 = 15. 5. C　 【解析】a 2 3 a 3 4 ÷a 5 6 = a 2 3 + 3 4 - 5 6 = a 7 12 . 6. B　 【解析】 因为 x < 1,所以 x - 1 < 0,所以 (x - 1) 2 = (1 - x) 2 = 1 - x. 7. D　 【解析】 原式 = [( - 3) 3 ] 2 3 ×(32 ) - 32 = ( - 3) 2 × 3 -3 = 9 × 1 33 = 1 3 . 8. B　 【解析】 由 f(x) = 2x x - 1 +(x - 2)0 有意义得 x - 1 > 0, x - 2 ≠ 0,{ 解得 x > 1 且 x ≠ 2,所以 f(x) 的定义域为(1,2) ∪ (2, + ∞ ). 9. B　 【解析】 因为 a < 0,所以 a3 < 0,而(a2 ) 3 2 > 0,故 ① 错误;当 n 为奇数,a < 0 时, n an = a ≠| a | ,故 ② 错误;由函数 y =(x - 2) 1 2 -(3x - 7) 0 有意义得 x - 2 ≥ 0, 3x - 7 ≠ 0,{ 解得 x ≥ 2 且 x ≠ 7 3 ,所以函数的定义域为[2, 7 3 ) ∪ ( 7 3 , + ∞ ),故 ③ 错 误; 6 22 = (22 ) 1 6 = 2 1 3 = 3 2 ,故 ④ 正确. 所以结论正确的有 1 个. 10. D　 【解析】 f(x) = - 3x + 1 在 R 上单调递减,A 不符合题意;f(x) = | x | = x,x ≥ 0, - x,x < 0{ 在( - ∞ ,0) 上单调递减,在(0, + ∞ ) 上单调递增,B 不符合题意;f(x) = - x -1 在( - ∞ ,0),(0, + ∞ ) 上单调递增,但在定义域上不具有单调性,C 不符合 题意;f(x) = x 1 2 在[0, + ∞ ) 上单调递增,D 符合题意. 791 11. ± 3　 【解析】 设 9 的平方根为 x,则x2 = 9,所以 x = ± 3,即 9 的平方根是 ± 3. 12. - 5　 【解析】 ( - 3) 2 +(π - 3) 0 -27 2 3 = 9 + 1 -(33 ) 2 3 = 3 + 1 - 9 = - 5. 13. 【解析】(1) 25 9( ) 0. 5 +0. 1 -2 -π0 + 1 3 = 25 9( ) 1 2 + 1 10( ) -2 - 1 + 1 3 = 5 3 + 100 - 1 + 1 3 = 101. (2) 2 × 10 ÷ 5 = 2 × 10 5 = 4 = 2. (3) ( 3 - 2) 2 + ( 3 - 1) 2 = | 3 - 2 | +| 3 - 1 | = 2 - 3 + 3 - 1 = 1. 4. 2　 指 数 函 数 1. A　 【解析】∵ f(0) = a0 = 1(a > 0,且 a ≠ 1),∴ 指数函数 f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 的图象必过定点(0,1) . 2. A　 【解析】 由指数函数 f(x) = 2x 在 R 上单调递增,得 f(0) < f(1) < f(2) . 3. C　 【解析】∵ 当 x ≤ 2 时,f(x) = 2x + 2,∴ f(1) = 21 + 2 = 4. 4. C　 【解析】 由题意得3x - 27 ≥ 0,即3x ≥33 . 因为指数函数 y = 3x 在 R上单调递增,所以 x ≥ 3,故 y = 3x - 27 的定义域 为[3, + ∞ ) . 5. D　 【解析】 因为函数 y = 2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 是增函数,所以函数 y = 2x + x 2 (1 ≤ x ≤ 2) 的最大值为22 + 2 2 = 5. 6. D　 【解析】 易得 f(2) = 22 - 1 = 3,又 f(x) 是偶函数,所以 f( - 2) = f(2) = 3. 7. C　 【解析】 根据指数函数性质知 3a - 2 > 1,解得 a > 1. 8. B　 【解析】0 < ( 4 3 ) -0. 1 < ( 4 3 ) 0 = 1,即 0 < a < 1,( 3 4 ) -0. 1 > ( 3 4 ) 0 = 1,即 b > 1, 5 - 3 = - 5 3 < 0,即 c < 0,所以 c < 0 < a < 1 < b. 9. B　 【解析】 取 a = 1,b = - 1,满足 a > b,但 1 a = 1 > 1 b = - 1,故选项 A 错误;易知 y = x3 在 R上单调递增,又 a > b,所 以 a3 > b3 ,故选项 B 正确;当 a = 1,b = - 1 时,a2 = 1 = b2 ,故选项 C 错误;易知 y = 3x 在 R 上单调递增,又 a > b,所以 3a > 3b,故选项 D 错误. 10. C　 【解析】 f(x) = 2x,x ∈ [0, + ∞ ) 是增函数,最小值为 f(0),没有最大值. 11. A　 【解析】∵ 函数 f(x) = ax(0 < a < 1) 在区间[0,2] 上单调递减,∴ 在区间[0,2] 上,当 x = 0 时,f(x) 取得最大值 a0 , 当 x = 2,f(x) 取得最小值 a2 . 又最大值比最小值大 3 4 ,∴ a0 - a2 = 1 - a2 = 3 4 ,解得 a = 1 2 . 12. ( - ∞ , - 1]　 【解析】 要使 f(x) = ( 1 2 ) x - 2 有意义,须( 1 2 ) x - 2 ≥ 0,即( 1 2 ) x ≥ ( 1 2 ) -1 ,解得 x ≤- 1,故函数 f(x) 的定义域为( - ∞ , - 1] . 13. (2, + ∞ )　 【解析】 由函数 y = 4x 的值域为(0, + ∞ ),得函数 y = 4x + 2 的值域为(2, + ∞ ) . 14. 2 或 1 2 　 【解析】 若 a > 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递增,故当 x = 1 时,f(x) 取得最大值 a1 = 2,得 a = 2. 若 0 < a < 1,则 f(x) 在[ - 1,1] 上单调递减,所以当 x = - 1 时,f(x) 取得最大值 a -1 = 2,得 a = 1 2 . 综上 a = 2 或 a = 1 2 . 15. e - 2　 【解析】 函数 f(x) = ex - 2 在[1,e] 上单调递增,所以在[1,e] 上,当 x = 1 时,f(x) 取得最小值,f(x) min = f(1) = e - 2. 891 4. 1　 实数指数幂和幂函数 !"#$ 1. 理解 n 次方根、整数指数幂和有理数指数幂的概念; 2. 掌握实数指数幂的运算法则,会进行指数幂的运算; 3. 了解幂函数的图象和性质,知道常见的幂函数. 1.实数指数幂 (1)n 次方根的概念与性质 概念 如果 bn = a(n > 1,n ∈ N∗ ),那么 b 叫做 a 的 n 次方根 性质 ① 当 n 是奇数时,实数 a 的 n 次方根存在且只有一个,表示为n a; ② 当 n为偶数时,正实数 a有两个 n次方根,且这两个数互为相反数,分别为n a, - n a,其中n a 称为 a的 n次算术根, 负实数 a 没有偶次方根; ③ 0 的 n(n ∈ N∗ ) 次方根为 0 　 　 (2) 根式的概念与性质 概念 式子 n a(n > 1,n ∈ N∗ ) 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数 性质 ①( n a) n = a; ② 当 n 为奇数时, n an = a; ③ 当 n 为偶数时, n an = | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0{ 　 　 (3) 分数指数幂 ① 正数的正分数指数幂:a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1); ② 正数的负分数指数幂:a - mn = 1 a m n = 1 n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1); ③0 的分数指数幂:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义,00 没有意义. 64 (4) 实数指数幂的运算法则 ①aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R); ②(ar) s = ars(a > 0,r,s ∈ R); ③(ab) r = arbr(a > 0,b > 0,r ∈ R) . 2.幂函数 (1) 幂函数的定义 一般地,形如 y = xα(α ∈ R) 的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,指数 α 为常数. (2) 常见的 5 种幂函数的图象和性质 解析式 y = x y = x2 y = x3 y = x 1 2 y = x -1 定义域 R R R [0, + ∞ ) {x | x ≠ 0} 值域 R [0, + ∞ ) R [0, + ∞ ) {y | y ≠ 0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在( - ∞ ,0) 上减, 在(0, + ∞ ) 上增 增 增 在( - ∞ ,0) 和 (0, + ∞ ) 上减 过定点 (0,0),(1,1) (1,1) 图象 !"#$ 题型一:根式的意义及化简 ! 1 若 a - 1 + 3 a - 2 有意义,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a ≥ 0 B. a ≥ 1 C. a ≥ 2 D. a ∈ R 【解析】 要使 a - 1 + 3 a - 2 有意义,须 a - 1 和 3 a - 2 都有意义. 易得对于任意实数 a, 3 a - 2 都有意义. 若 a - 1 有意义须 a - 1 ≥ 0,解得 a ≥ 1. 所以 a 的取值范围是 a ≥ 1. 【答案】 B ! 2 a 是实数,则下列式子中可能没有意义的是 (　 　 ) A. 4 a2 B. 5 a C. 7 - a D. 8 a 74 【解析】 a 是实数,a2 ≥ 0 恒成立,故 4 a2 有意义,故 A 不符合题意; a 是实数,故 a, - a 的奇次方根有意义,故 B,C 不符合题意; 当 a < 0 时,a 的奇次方根有意义,偶次方根无意义,故 D 符合题意. 【答案】 D ! 3 函数 f(x) = x -1 + x 1 2 的定义域为 (　 　 ) A. ( - ∞ , + ∞ ) B. ( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) C. [0, + ∞ ) D. (0, + ∞ ) 【解析】 要使 f(x) = x -1 + x 1 2 = 1 x + x 有意义,须 x ≠ 0, x ≥ 0,{ 解得 x > 0, 故函数 f(x) 的定义域为(0, + ∞ ) . 【答案】 D 题型二:分数指数幂与根式的互化 ! 4 若 b4 = 3(b > 0),则 b 的值为 (　 　 ) A. 3 1 4 B. 34 C. 43 D. 35 【解析】 因为 b > 0 且 b4 = 3, 所以 b = 4 3 = 3 1 4 . 【答案】 A ! 5 a· a 用分数指数幂表示为 (　 　 ) A. a 1 2 B. a 3 2 C. a 3 4 D. 以上都不对 【解析】 因为 a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,n > 1), 所以 a = a 1 2 . 又 aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R), 所以 a· a = a·a 1 2 = a1 + 12 = a 3 2 . 【答案】 B ! 6 化简 - a 3a 的结果为 (　 　 ) A. - a 2 5 B. - a 5 6 C. ( - a) 5 6 D. -( - a) 5 6 【解析】 由 - a 有意义得 - a ≥ 0,解得 a ≤ 0, 所以 - a 3a =( - a) 1 2 ·[ -( - a) 1 3 ] = -( - a) 1 2 ·( - a) 1 3 = -( - a) 1 2 + 1 3 = -( - a) 5 6 . 【答案】 D 84 题型三:指数与指数幂的运算 ! 7 下列计算正确的是 (　 　 ) A. x3y3 = x6 B. (m2) 3 = m5 C. ( - a) 6 ÷( - a) 3 = - a3 D. 2x -2 = 1 2x2 【解析】 x3y3 =(xy) 3 ≠ x6,A 错误; (m2) 3 = m6,B 错误; ( - a) 6 ÷( - a) 3 = a6 ÷ ( - a3) = - a3,C 正确; 2x -2 = 2 x2 ,D 错误. 【答案】 C ! 8 计算 8 2 3 + 9 - 12 的结果是 (　 　 ) A. 11 3 B. 13 3 C. 5 6 D. 7 6 【解析】 8 2 3 + 9 - 12 = (23) 2 3 + (32) - 12 = 22 + 3 -1 = 4 + 1 3 = 13 3 . 【答案】 B ! 9 若 2x = 3,2y = 4,则 2x+y 的值为 (　 　 ) A. 7 B. 10 C. 12 D. 34 【解析】 因为 2x = 3,2y = 4, 所以 2x+y = 2x·2y = 3 × 4 = 12. 【答案】 C 题型四:幂函数 ! 10 函数 y = 1 x 的单调递减区间是 (　 　 ) A. [0, + ∞ ) B. ( - ∞ ,0) C. ( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) D. ( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 【解析】 函数 y = 1 x 的图象如图. 由函数 y = 1 x 的图象知,函数 y = 1 x 在( - ∞ ,0) 上单调递减,在(0, + ∞ ) 上单调递 减,但在定义域( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 上,函数 y = 1 x 不具有单调性. 因为当 x1 = - 1,x2 = 1 时,满足 x1 < x2,但 f(x1) = - 1 < f(x2) = 1,所以函数 y = 1 x 不是单调递减函数,又 94 f(x) 不是增函数,所以函数 y = 1 x 在( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 上不具有单调性. 【答案】 C ! 11 下列函数中,是奇函数又严格递增的是 (　 　 ) A. y = x + 1 B. y = x 1 2 C. y = 1 x D. y = x3 【解析】 记 f(x) = x + 1,由 f( - x) + f(x) = - x + 1 + x + 1 = 2 知 f(x) = x + 1 不是奇函数,A 项错误; y = x 1 2 的定义域为[0, + ∞ ),关于原点不对称,B 项错误; y = 1 x 分别在( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 上单调递减,但在区间( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 上不具有单调性, C 项 错误; y = x3 是严格递增的奇函数,D 项正确. 【答案】 D 1. 将根式 5 a3 化为分数指数幂是 (　 　 ) A. a - 35 B. a 3 5 C. -a 3 5 D. -a 5 3 2. 2 1 3 = (　 　 ) A. 1 B. 3 2 C. 5 D. 3 5 3. 设 a > 0,则下列等式恒成立的是 (　 　 ) A. am +an =am+n B. am·an =amn C. (am) n =am+n D. am·an =am+n 4. 已知2m = 3,2n = 5,则2m+n = (　 　 ) A. 5 3 B. 2 C. 8 D. 15 5. a 2 3 a 3 4 ÷a 5 6 = (　 　 ) A. a 4 3 B. a 12 7 C. a 7 12 D. a 3 4 05 6. 已知 x < 1,则 (x - 1) 2 = (　 　 ) A. x - 1 B. 1 - x C. - x - 1 D. x + 1 7. 计算:( - 27) 2 3 × 9 - 32 = (　 　 ) A. - 3 B. - 1 3 C. 3 D. 1 3 8. 函数 f(x) = 2x x - 1 +(x - 2) 0 的定义域为 (　 　 ) A. (2, + ∞ ) B. (1,2) ∪ (2, + ∞ ) C. (0, + ∞ ) D. (0,2) ∪ (2, + ∞ ) 9. 下列结论中正确的有 (　 　 ) ① 当 a < 0 时,(a2) 3 2 = a3; ② n an =| a | ; ③ 函数 y =(x - 2) 1 2 -(3x - 7) 0 的定义域是[2, + ∞ ); ④ 6 22 = 3 2 . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 10. 下列函数在定义域上为增函数的是 (　 　 ) A. f(x) = - 3x + 1 B. f(x) =| x | C. f(x) = - x -1 D. f(x) = x 1 2 11. 9 的平方根是 . 12. 计算: ( - 3) 2 +(π - 3) 0 -27 2 3 = . 13. 求值: (1) 25 9( ) 0. 5 +0. 1 -2 -π 0 + 1 3 ; (2) 2 × 10 ÷ 5 ; (3) ( 3 - 2) 2 + ( 3 - 1) 2 . 15