3.3 常见函数的图象和性质-2024版河南省职教高考数学复习教材

17. 已知函数 f(x) 是 R 上的减函数,若 a,b ∈ R,且 a + b < 0,证明:f(a) + f(b) > f( - a) + f( - b) . 18. 函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ≥ 0 时,f(x) =x2 - 2x. (1) 求函数 f(x) 的解析式; (2) 当 m > 0 时,若 | f(m) | = 1,求实数 m 的值. 19. 已知定义在[ - 2,2] 的函数 f(x) 在区间[0,2] 上单调递减,且 f(1 - m) < f(m) . (1) 若 f(x) 是奇函数,求 m 的取值范围; (2) 若 f(x) 是偶函数,求 m 的取值范围. 3. 3　 常见函数的图象和性质 !"#$ 1. 理解一次函数的图象和性质; 2. 理解反比例函数的图象和性质; 3. 理解一元二次函数的概念,掌握一元二次函数的图象和性质; 4. 会求一元二次函数的解析式及封闭区间内的最大(小) 值. 83 1.一次函数 k > 0 k < 0 正比例函数 y = kx(k ≠ 0) 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0,b≠ 0) b > 0 b < 0 b > 0 b < 0 图象经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 　 　 ① 当 b = 0 时,一次函数 y = kx(k ≠ 0) 是奇函数,其图象关于原点中心对称. ② 若一次函数图象从左向右呈上升趋势,则 k > 0;若呈下降趋势,则 k < 0. ③ 若一次函数图象与 y轴的交点在 y轴的正半轴上,则 b > 0;若在 y轴的负半轴上,则 b < 0;若在原 点,则 b = 0. 2.反比例函数 定义及表达式 图象 图象特征 性质 形如 y = k x (k 为常 数,k ≠ 0) 的函数称 为反比例函数,其定 义 域 和 值 域 均 为 (- ∞,0) ∪ (0,+ ∞). k > 0 k < 0 函数是奇函数, 图象关于原点 中心对称 函数图象在第一、 三象限, 在( - ∞ , 0) 和(0, + ∞ ) 上都是减函数 函数图象在第二、 四象限, 在( - ∞ , 0) 和(0, + ∞ ) 上都是增函数 　 　 当已知几个点的横坐标,比较反比例函数值大小时,先判断这几个点是否在同一个象限内. 在同一个象限内的点,用单调性判断; 不在同一个象限内的点,用坐标的符号判断. 93 3.二次函数 (1) 二次函数的定义 一般地,函数 y = ax2 + bx + c(a,b,c 是常数,a ≠ 0) 是二次函数. (2) 二次函数的解析式 一般式 f(x) = ax2 + bx + c 顶点式 f(x) = a(x - m) 2 + n,图象的顶点坐标是(m,n),对称轴是直线 x = m 零点式 f(x) = a(x - x1 )(x - x2 ),图象与 x 轴交于(x1 ,0),(x2 ,0) 两点,对称轴是直线 x = x1 + x2 2 　 　 (3) 二次函数的图象与性质 函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) y = ax2 + bx + c(a < 0) 大致图象 图象开口方向 开口向上 开口向下 定义域 R 值域 4ac - b2 4a , + ∞[ ) - ∞ ,4ac - b 2 4a( ] 对称轴 直线 x = - b 2a 顶点坐标 - b 2a ,4ac - b2 4a( ) 奇偶性 当 b = 0 时是偶函数,当 b ≠ 0 时是非奇非偶函数 单调性 在 - ∞ , - b 2a( ] 上是减函数, 在 - b 2a , + ∞[ ) 上是增函数 在 - ∞ , - b 2a( ] 上是增函数, 在 - b 2a , + ∞[ ) 上是减函数 !"#$ 题型一:一次函数的图象与性质 ! 1 一次函数 y = x - 1 的图象经过 (　 　 ) A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【解析】 由一次函数的解析式知 k = 1 > 0,b = - 1 < 0, ∴ 一次函数 y = x - 1 的图象经过一、三、四象限. 【答案】 D 04 ! 2 若一次函数 y = (2m - 1)x + 2 为增函数,则常数 m 的取值范围为 . 【解析】 ∵ y = (2m - 1)x + 2 为增函数, ∴ 2m - 1 > 0,解得 m > 1 2 . 【答案】 1 2 , + ∞( ) 题型二:反比例函数的图象与性质 ! 3 已知反比例函数 y = 6 x ,则下列描述不正确的是 (　 　 ) A. 图象位于一、三象限 B. 图象必经过点 4, 3 2( ) C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y 随 x 的增大而减小 【解析】 因为 k = 6 > 0,所以反比例函数的图象位于一、三象限,故 A 中描述正确; 把 4, 3 2( ) 代入 y = 6 x ,等号成立,故 B 中描述正确; 反比例函数的图象无限接近 x 轴、y 轴,但不与坐标轴相交,故 C 中描述正确; 反比例函数 y = 6 x 在区间( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 内,y 随 x 的增大而减小,但在区间( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ) 内,y 不随 x 的增大而减小,故 D 中描述错误. 【答案】 D ! 4 已知反比例函数的图象过(2, - 2) 和( - 1,n),则 n = (　 　 ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【解析】 设反比例函数的解析式为 y = k x (k ≠ 0) . 因为反比例函数的图象过(2, - 2) 和( - 1,n), 所以 - 2 = k 2 , n = k- 1 , ì î í ï ïï ï ï 解得 n = 4. 【答案】 B 题型三:二次函数的图象与性质 ! 5 (2017,5) 设函数 y =x2 - 2x + 3,当 x ∈ [0,3] 时,y 的取值范围是 (　 　 ) A. [3,6] B. (3,6] C. [2,6] D. (2,6] 14 【解析】 易知函数 y =x2 - 2x + 3 的图象开口向上,对称轴为直线 x = 1, 所以函数 y =x2 - 2x + 3 在[0,1] 上单调递减,在(1,3] 上单调递增, 所以函数 y =x2 - 2x + 3 在 x = 1 处取得最小值,为 2. 因为当 x = 0 时,y = 3,当 x = 3 时,y = 6, 所以当 x ∈ [0,3] 时,函数 y =x2 - 2x + 3 在 x = 3 处取得最大值,为 6, 故当 x ∈ [0,3] 时,y 的取值范围是[2,6] . 【答案】 C ! 6 (2021,22) 已知抛物线 y = x2 + px + q 经过两点 M(m,m),N(n,n)(m ≠ n), 证明:m + n = 1 - p. 【解析】 因为抛物线 y = x2 + px + q 经过两点 M(m,m),N(n,n)(m ≠ n), 所以 m =m2 + pm + q,n = n2 + pn + q, 所以m2 - n2 + p(m - n) = m - n,即(m - n)(m + n + p - 1) = 0. 因为 m ≠ n, 所以 m + n + p - 1 = 0,即 m + n = 1 - p. ! 7 已知函数 f(x) = x2 + bx - 2. (1) 若 f(x) 为偶函数,求不等式 f(x) ≤ 0 的解集; (2) 若 f(x) 在[ - 2,4] 上的最大值为 10,求 b 的值. 【解析】 (1) 由 f(x) 为偶函数知 f(x) 的图象关于 y 轴对称. 易知二次函数 f(x) = x2 + bx - 2 的图象关于直线 x = - b 2 对称, 所以 - b 2 = 0,解得 b = 0, 所以 f(x) = x2 - 2. 由 f(x) ≤ 0 得 x2 - 2 ≤ 0,解得 - 2 ≤ x ≤ 2 . (2) 易知二次函数 f(x) = x2 + bx - 2 的图象开口向上,关于直线 x = - b 2 对称. 易知区间[ - 2,4] 的中点为 - 2 + 4 2 = 1. 由二次函数的图象的对称性知, 当对称轴 x = - b 2 在直线 x = 1 左侧时,f(x) 在[ - 2,4] 上的最大值为 f(4); 当对称轴 x = - b 2 在直线 x = 1 右侧时,f(x) 在[ - 2,4] 上的最大值为 f( - 2); 当对称轴为直线 x = 1 时,f(x) 在[ - 2,4] 的两端点处同时取得最大值,即 f( - 2) = f(4) . 故当 - b 2 ≤ 1,即 b ≥- 2 时,f(x) 在[ - 2,4] 上的最大值为 f(4) = 42 + 4b - 2 = 10,解得 b = - 1; 24 当 - b 2 > 1,即 b < - 2 时,f(x) 在[ - 2,4] 上的最大值为 f( - 2) = ( - 2) 2 - 2b - 2 = 10,解得 b = - 4. 综上,b = - 1 或 b = - 4. 1. 函数 y = 1 x (x < 0) 的图象位于 (　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若函数 y = (a + 1)x + b,x ∈ R 是增函数,则 (　 　 ) A. a > - 1 B. a < - 1 C. b > 0 D. b < 0 3. 二次函数 y = 2x2 - 4x - 1 的最小值为 (　 　 ) A. 1 B. - 3 C. - 1 D. 5 4. 已知一次函数 f(x) 满足 f( - 1) = 0,f(0) = - 2,则 f(x) 的解析式为 (　 　 ) A. f(x) = 2x + 2 B. f(x) = - 2x - 2 C. f(x) = 2x - 2 D. f(x) = - 2x + 2 5. 若函数 f(x) = k x 在区间[2,4] 上的最小值为 5,则 k 的值为 (　 　 ) A. 10 B. 10 或 20 C. 20 D. 无法确定 6. 若直线 y = kx + b(k ≠ 0) 不经过第一象限,则 k,b 的取值范围是 (　 　 ) A. k > 0,b < 0 B. k > 0,b ≤ 0 C. k < 0,b < 0 D. k < 0,b ≤ 0 7. 若函数 y = 2x2 + mx - 3 图象的对称轴是直线 x = 1 2 ,则当 x = 1 时,y = (　 　 ) A. - 7 B. - 5 C. - 3 D. - 1 8. 若函数 y =x2 + (2a - 1)x + 1 在区间( - ∞ ,2] 上单调递减,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. [ - 3 2 , + ∞ ) B. ( - ∞ , 3 2 ] C. [ 3 2 , + ∞ ) D. ( - ∞ , - 3 2 ] 34 9. 如图在同一直角坐标系中,函数 y = kx2 和 y = kx - 2(k ≠ 0) 的图象可能的是 (　 　 ) A. B. C. D. 10. 已知直线 y = ax(a ≠ 0) 与双曲线 y = k x (k ≠ 0) 的一个交点坐标为(3,4),则它们的另一个交点坐标是 (　 　 ) A. ( - 3,4) B. ( - 4, - 3) C. ( - 3, - 4) D. (4,3) 11. 已知点 P(a,b) 在反比例函数 y = - 3 x 的图象上,则 ab = . 12. 若二次函数 f(x) = 3x2 - 2x + k 图象与 x 轴没有公共点,则 k 的取值范围是 . 13. 已知一次函数 f(x) = mx + 2m - 7, 若 x ∈ [ - 1,5] 时,f(x) > 0 恒成立, 则 m 的取值范围 是 . 14. 若二次函数 f(x) = - ax2 - (2 + a)x + 1 是偶函数,则 f(x) 的单调递增区间为 . 15. 若二次函数 y = f(x) 的图象的对称轴为直线 x = 1,函数的最小值为 - 1,且 f(0) = 0. (1) 求 f(x) 的解析式; (2) 若关于 x 的不等式 f(x) > m - 2x 在区间[0,3] 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 44 16. 已知函数 f(x) = - ax2 - 2x,其中 a ∈ R,a ≠ 0. (1) 若 f( - 1) = 0,求实数 a 的值; (2) 当 a = - 1 时,求不等式 f(x) < 3 的解集. 17. 某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞,若该公司从第一年到第 n 年花在该渔船维修等事 项上的所有费用为(n2 + 38n - 71) 万元,该渔船每年捕捞的总收入为 50 万元,求渔船捕捞几年开始 盈利? 54 (2) 由题意可得 | f(m) | = | m2 - 2m | = 1,m > 0, 所以m2 - 2m = ± 1,即m2 - 2m + 1 = 0 或m2 - 2m - 1 = 0, 解得 m = 1 或 m = 1 + 2 或 m = 1 - 2 (舍去) . 19. 【解析】(1) 若 f(x) 是奇函数,则 f(x) 在[ - 2,2] 上单调递减, 因为 f(1 - m) < f(m), 所以 1 - m > m, - 2 ≤ 1 - m ≤ 2, - 2 ≤ m ≤ 2, ì î í ï ï ïï 解得 m ∈ [ - 1, 1 2 ), 故 m 的取值范围为[ - 1, 1 2 ) . (2) 若 f(x) 是偶函数,因为 f(x) 在[0,2] 上单调递减, 所以 f(x) 在[ - 2,0) 上单调递增, 由 f(1 - m) < f(m) 可得 f( | 1 - m | ) < f( | m | ), 所以 | 1 - m | > | m | , - 2 ≤ 1 - m ≤ 2 - 2 ≤ m ≤ 2, , ì î í ï ï ïï 解得 m ∈ [ - 1, 1 2 ), 故 m 的取值范围为[ - 1, 1 2 ) . 3. 3　 常见函数的图象和性质 1. C　 【解析】 因为 k = 1 > 0,所以反比例函数 y = 1 x 的图象在第一、三象限. 又 x < 0,所以 y = 1 x (x < 0) 的图象在第 三象限. 2. A　 【解析】 根据一次函数 y = (a + 1)x + b,x ∈ R 是增函数得 a + 1 > 0,解得 a > - 1. 3. B　 【解析】∵ y = 2x2 - 4x - 1 = 2(x2 - 2x + 1) - 3 = 2(x - 1) 2 - 3,∴ 当 x = 1 时,ymin = - 3. 4. B　 【解析】 设一次函数 f(x) = kx + b(k ≠ 0),依题意 - k + b = 0, b = - 2,{ 解得 k = b = - 2,所以 f(x) = - 2x - 2. 5. C　 【解析】 当 k = 0 时,不符合题意;当 k > 0 时,f(x) = k x 在[2,4] 上单调递减,∴ f(x) = k x 在区间[2,4] 上的最小值为 f(4) = k 4 = 5,∴ k = 20,符合题意;当 k < 0 时,f(x) = k x 在[2,4] 上单调递增,∴ f(x) = k x 在区间[2,4] 上的最小值 为 f(2) = k 2 = 5,∴ k = 10,舍去. 综上,k = 20. 6. D　 【解析】∵ 一次函数 y = kx + b(k ≠ 0) 的图象不经过第一象限,∴ k < 0,b ≤ 0. 7. C　 【解析】 因为函数 y = 2x2 + mx - 3 图象的对称轴为直线 x = - m 4 = 1 2 ,解得 m = - 2,所以 y = 2x2 - 2x - 3. 当 x = 1 时,y = - 3. 8. D　 【解析】 易知 y = x2 + (2a - 1)x + 1 的图象开口向上,对称轴为直线 x = 1 - 2a 2 . 因为函数 y = x2 + (2a - 1)x + 1 在区 591 间( - ∞ ,2] 上单调递减,所以 1 - 2a 2 ≥ 2,解得 a ≤- 3 2 . 9. D　 【解析】 当 k > 0 时,函数 y = kx2 图象开口向上,顶点在坐标原点,y = kx - 2 的图象过第一、三、四象限;当 k < 0 时,函 数 y = kx2 图象开口向下,顶点在坐标原点,y = kx - 2 的图象过第二、三、四象限. 故 D 符合题意. 10. C　 【解析】∵ 直线 y = ax(a≠ 0) 与双曲线 y = k x (k≠ 0) 的一个交点坐标为(3,4),∴ 4 = a × 3,4 = k 3 ,解得 a = 4 3 ,k = 12,∴ y = 4 3 x,y = 12 x . 由 y = 4 3 x, y = 12 x ì î í ï ï ï ï 得 x = 3, y = 4{ 或 x = - 3, y = - 4,{ ∴ 它们的另一个交点坐标是( - 3, - 4) . 11. - 3　 【解析】 因为点 P(a,b) 在反比例函数 y = - 3 x 的图象上,所以 b = - 3 a ,即 ab = - 3. 12. k > 1 3 　 【解析】 易知 f(x) = 3x2 - 2x + k的图象开口向上,若 f(x) 的图象与 x轴没有公共点,则方程 3x2 - 2x + k = 0 无 实数解,所以 Δ = 4 - 12k < 0,解得 k > 1 3 . 13. m > 7　 【解析】 因为 x ∈ [ - 1,5] 时,f(x) > 0 恒成立,所以 f( - 1) > 0, f(5) > 0,{ 即 - m + 2m - 7 > 0, 5m + 2m - 7 > 0,{ 解得 m > 7. 14. [0, + ∞ ) 　 【解析】∵ 函数 f(x) 是偶函数,∴ f(x) = f( - x),即 - ax2 - (2 + a)x + 1 = - ax2 + (2 + a)x + 1,化简得(2 + a)x = 0,∵ x ∈ R,∴ 2 + a = 0,解得 a = - 2,∴ f(x) = 2x2 + 1. ∵ f(x) = 2x2 + 1 的图象开口向上,且对称轴为 y 轴, ∴ f(x) 的单调递增区间为[0, + ∞ ) . 15. 【解析】(1) 由 f(x) 为二次函数,设 f(x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) . ∵ f(x) 图象的对称轴为直线 x = 1,函数的最小值为 - 1,且 f(0) = 0, ∴ - b 2a = 1, c = 0, 4ac - b2 4a = - 1, ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 a = 1, b = - 2, c = 0, ì î í ï ï ïï ∴ f(x) = x2 - 2x. (2) 由不等式 f(x) > m - 2x 在区间[0,3] 上恒成立,可得 m < x2 在[0,3] 上恒成立, 又当 x ∈ [0,3] 时,x2 ≥ 0, ∴ m < 0, ∴ 实数 m 的取值范围为( - ∞ ,0) . 16. 【解析】(1) 由 f( - 1) = 0,得 - a + 2 = 0,解得 a = 2. (2) 当 a = - 1 时,f(x) = x2 - 2x, 所以 f(x) < 3,即x2 - 2x - 3 < 0. 因为 一 元 二 次 方 程 x2 - 2x - 3 = 0 的 解 分 别 为 x1 = 2 + ( - 2) 2 - 4 × 1 × ( - 3) 2 = 3,x2 = 2 - ( - 2) 2 - 4 × 1 × ( - 3) 2 = - 1, 691 所以一元二次不等式 x2 - 2x - 3 < 0 的解集为{x | - 1 < x < 3}, 所以不等式 f(x) < 3 的解集为{x | - 1 < x < 3} . 17. 【解析】 设总收入减成本及渔船维修等事项上的所有费用之差为 f(n) . 根据题意得 f(n) = 50n - 98 - (n2 + 38n - 71) = -n2 + 12n - 27. 因为一 元 二 次 方 程 - n2 + 12n - 27 = 0 的 解 分 别 为 n1 = - 12 + 122 - 4 × ( - 1) × ( - 27) - 2 = 3,n2 = - 12 - 122 - 4 × ( - 1) × ( - 27) - 2 = 9, 所以不等式 f(n) > 0 即 n2 - 12n + 27 < 0 的解集为{n | 3 < n < 9}, 因为 n ∈ N∗ , 所以渔船捕捞第 4 年开始盈利. 第四章 　 指数函数与对数函数 4. 1　 实数指数幂和幂函数 1. B　 【解析】 易知 a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗ ,n > 1),所以根式 5 a3 化为分数指数幂是a 3 5 . 2. B　 【解析】 易知 a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗ ,n > 1),所以2 1 3 = 3 2 . 3. D　 【解析】 当 a = m = n = 1 时,am +an = 2,am+n = 1,故am +an ≠am+n,故 A 错误. 由指数幂运算法则可知am·an = am+n, (am) n = amn,故 B,C 错误,D 正确. 4. D　 【解析】 因为 aras = ar+s(a > 0,r,s ∈ R),所以 2m+n = 2m·2n . 又 2m = 3,2n = 5,所以2m+n = 2m·2n = 3 × 5 = 15. 5. C　 【解析】a 2 3 a 3 4 ÷a 5 6 = a 2 3 + 3 4 - 5 6 = a 7 12 . 6. B　 【解析】 因为 x < 1,所以 x - 1 < 0,所以 (x - 1) 2 = (1 - x) 2 = 1 - x. 7. D　 【解析】 原式 = [( - 3) 3 ] 2 3 ×(32 ) - 32 = ( - 3) 2 × 3 -3 = 9 × 1 33 = 1 3 . 8. B　 【解析】 由 f(x) = 2x x - 1 +(x - 2)0 有意义得 x - 1 > 0, x - 2 ≠ 0,{ 解得 x > 1 且 x ≠ 2,所以 f(x) 的定义域为(1,2) ∪ (2, + ∞ ). 9. B　 【解析】 因为 a < 0,所以 a3 < 0,而(a2 ) 3 2 > 0,故 ① 错误;当 n 为奇数,a < 0 时, n an = a ≠| a | ,故 ② 错误;由函数 y =(x - 2) 1 2 -(3x - 7) 0 有意义得 x - 2 ≥ 0, 3x - 7 ≠ 0,{ 解得 x ≥ 2 且 x ≠ 7 3 ,所以函数的定义域为[2, 7 3 ) ∪ ( 7 3 , + ∞ ),故 ③ 错 误; 6 22 = (22 ) 1 6 = 2 1 3 = 3 2 ,故 ④ 正确. 所以结论正确的有 1 个. 10. D　 【解析】 f(x) = - 3x + 1 在 R 上单调递减,A 不符合题意;f(x) = | x | = x,x ≥ 0, - x,x < 0{ 在( - ∞ ,0) 上单调递减,在(0, + ∞ ) 上单调递增,B 不符合题意;f(x) = - x -1 在( - ∞ ,0),(0, + ∞ ) 上单调递增,但在定义域上不具有单调性,C 不符合 题意;f(x) = x 1 2 在[0, + ∞ ) 上单调递增,D 符合题意. 791