3.1 函数的概念及表示方法-2024版河南省职教高考数学复习教材

3. 1　 函数的概念及表示方法 !"#$ 1. 了解函数的概念及函数的表示方法; 2. 掌握函数的两要素,会判断两个函数是否为同一函数; 3. 会求一些常见函数的定义域、简单函数值. 1.函数的概念 一般地,设D是非空数集,对于D中的每一个 x,按照某个确定的对应法则 f,都有唯一确定的值 y与它对 应,那么就称 y 为 x 的函数,记作 y = f(x),x ∈ D. 其中,x 称为自变量,x 的取值范围 D 称为函数的定义域. 当x0 ∈ D 时, 与 x0 相对应的值 y0 称为函数在点 x0 处的函数值, 记作 y0 = f( x0) . 函数值的集合 {y | y = f(x),x ∈ D} 称为函数的值域. 2.函数的两要素 定义域、对应法则是函数的两要素. 当一个函数的定义域和对应法则确定时,这个函数的值域也被唯一确定. 因此,当两个函数的定义域和 对应法则都相同时,这两个函数表示的是同一函数. 3.函数的表示方法 表示方法 定义 特点 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 易求函数值 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 查表可得函数值 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 形象、直观,便于研究函数的性质 4.分段函数的概念 现实生活中,有很多函数是分段描述的,如阶梯电费、出租车费等. 这类函数的特点是:当自变量在不同 范围内取值时,需要用不同的解析式来表示,称这样的函数为分段函数. 52 　 　 ① 分段函数的定义域是自变量的各段不同取值范围集合的并集,值域是自变量在各段不同取值范围 的函数值集合的并集. 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数. ② 求分段函数的函数值 f(x0) 时,首先要判断x0 所属的取值范围,然后再将x0 代入相应的解析式中进 行计算. ③ 作分段函数的图象时,分别在各段不同取值范围内,根据相应解析式,作出相应部分的图象. !"#$ 题型一:函数的概念 ! 1 下列各图中,可以表示函数 y = f(x) 的是 (　 　 ) A. B. C. D. 【解析】 由函数的定义可知,定义域内的任意一个变量 x,都存在唯一确定的函数值 y 与之对应. A 中,当 x = 0 时,有两个 y 值与之对应; B 中,当 x > 0 时,有两个 y 值与之对应; C 中,当 x = 0 时,有两个 y 值与之对应; D 中,在定义域内,任意一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应. 【答案】 D　 题型二:函数的定义域 ! 2 (2023,3) 函数 y = 1 1 - log2x 的定义域为 (　 　 ) A. (0,2) ∪ (2, + ∞ ) B. ( - ∞ ,2) ∪ (2, + ∞ ) C. [0,2) D. (0,2) 【解析】 要使函数 y = 1 1 - log2x 有意义,须 x > 0, 1 - log2x ≠ 0, { 解得 x > 0 且 x ≠ 2, 所以函数 y = 1 1 - log2x 的定义域是(0,2) ∪ (2, + ∞ ) . 【答案】 A　 ! 3 (2021,3) 已知函数 f(x) 的定义域为( - 1,1),则函数 f(2x + 1) 的定义域为 (　 　 ) A. ( - 1,1) B. - 1, - 1 2( ) C. ( - 1,0) D. 1 2 ,1( ) 62 【解析】 由题意得 - 1 < 2x + 1 < 1,解得 - 1 < x < 0, 所以函数 f(2x + 1) 的定义域为( - 1,0) . 【答案】 C 　 　 函数自变量的取值范围 ① 整式型,自变量的取值是全体实数; ② 分式型,自变量的取值要使得分母不等于 0; ③ 偶次根式型,自变量的取值要使得被开方数为非负数; ④ 含有零(负整数) 次幂,自变量的取值要使得底数不为 0; ⑤ 若函数 f(x) 的定义域为[a,b],则函数 f(g(x)) 的定义域是不等式 a ≤ g(x) ≤ b 关于 x 的解集; ⑥ 若函数 f(g(x)) 的定义域为[a,b],则函数 f(x) 的定义域是 g(x) 在 x ∈ [a,b] 内的值域; ⑦ 若函数 f(g(x)) 的定义域为[a,b],求函数 f(h(x)) 的定义域的步骤:先求 g(x) 在 x∈ [a,b] 内的 值域,为[c,d],则 f(h(x)) 的定义域是不等式 c ≤ h(x) ≤ d 关于 x 的解集. 题型三:求函数值 ! 4 (2021,8) 已知函数 f(x) = x + 1 x - 1 ,则 f( - 2) = (　 　 ) A. - 1 3 B. 1 3 C. 1 D. 3 【解析】 因为 f(x) = x + 1 x - 1 , 所以 f( - 2) = - 2 + 1 - 2 - 1 = 1 3 . 【答案】 B ! 5 (2023,11) 设函数 f(x) = 2x + 1,则 f(x + 1) = . 【解析】 因为 f(x) = 2x + 1, 所以 f(x + 1) = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3. 【答案】 2x + 3 ! 6 已知函数 f(x) = x + 1,x ≥ 1, 4x,x < 1,{ 且 f(x) = 2,则 x 的值是 (　 　 ) A. 1 B. 1 2 C. 1 或 1 2 D. 2 或 1 【解析】 当 x ≥ 1 时,f(x) = x + 1 = 2,解得 x = 1; 72 当 x < 1 时,f(x) = 4x = 2,解得 x = 1 2 . 综上,x 的值是 1 或 1 2 . 【答案】 C 题型四:求函数的解析式 ! 7 已知 f(x - 1) =x2 - 2x,则 f(x) = (　 　 ) A. x2 B. x2 - 1 C. x2 + 1 D. x2 + 2 【解析】 设 x - 1 = t,则 x = t + 1. 因为 f(x - 1) =x2 - 2x, 所以 f( t) = ( t + 1) 2 - 2( t + 1) = t2 - 1, 所以 f(x) =x2 - 1. 【答案】 B 题型五:同一函数 ! 8 (2019,3) 下列各组函数中是同一个函数的是 (　 　 ) ①f(x) = - 2x3 与 g(x) = x - 2x ②f(x) = x 与 g(x) = x2 ③f(x) = x2 与 g(x) = x4 ④f(x) = x2 - 2x + 1 与 g( t) = t2 - 2t + 1 A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【解析】 易得 f(x) = - 2x3 的定义域为{x | x ≤ 0},则 f(x) = - 2x3 = - x - 2x ,与 g(x) = x - 2x 的对应法则不同,故 ① 中函数不是同一个函数; f(x) = x 与 g(x) = x2 =| x | 的对应法则不同,故 ② 中函数不是同一个函数; 易知 f(x) = x2 的定义域为 R,g(x) = x4 的定义域为 R, 又 g(x) = x4 = x2,与 f(x) = x2 的对应法则相 同,故 ③ 中函数是同一个函数; f(x) = x2 - 2x + 1 的定义域与 g( t) = t2 - 2t + 1 的定义域相同,且对应法则相同,故 ④ 中函数是同 一函数. 【答案】 C 1. 函数 f(x) = x x2 - 4 的定义域是 (　 　 ) A. [0,2) B. [0,2) ∪ (2, + ∞ ) C. ( - 2,0] D. ( - ∞ , - 2) ∪ ( - 2,0] 82 2. 已知函数 f(x) = x + 3 + 1 x + 2 ,则 f(1) = (　 　 ) A. 1 B. 5 3 C. 7 3 D. 13 3 3. 函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 1 的交点 (　 　 ) A. 有 0 个 B. 至多有 1 个 C. 有 1 个 D. 无数个 4. 若 f(x) 满足关系式 f(x + 1) = 2x - 3,则 f(x) = (　 　 ) A. 2x + 1 B. 2x - 5 C. 3x - 5 D. 3x + 1 5. 已知函数 f(x) 的定义域为(0,1),则函数 f(2x - 1) 的定义域为 (　 　 ) A. (0,1) B. ( - 1,1) C. ( - 1,0) D. ( 1 2 ,1) 6. 已知函数 f(x) =x2 + 1 的定义域为{ - 1,0,1},则 f(x) 的值域为 (　 　 ) A. {1,2} B. [1,2] C. {0,1} D. [1, + ∞ ) 7. 已知函数 f(x) = 2x - 1,x < 0, 2x,x ≥ 0,{ 那么 f(3) + f( - 1) = (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 下列各组函数表示同一个函数的是 (　 　 ) A. f(x) = x2 ,g(x) =( x ) 2 B. f(x) = 1,g(x) =x0 C. f(x) = x2 ,g(x) =| x | D. f(x) = x + 1,g(x) = x 2 - 1 x - 1 9. 若函数 f(x) 与 g(x) 分别由下表所示,则 f(3) - g(1) = (　 　 ) x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 g(x) 2 1 4 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知函数 f(x) 为一次函数,且 f(3) = 7,f(5) = - 1,则 f(1) = (　 　 ) A. 15 B. - 15 C. 9 D. - 9 92 11. 已知函数 f(x) = 3 - 2x,x ≥- 1, x - 4,x < - 1,{ 若 f(x) = 1,则 x = (　 　 ) A. 5 B. 1 或 - 5 C. 1 D. 1 或 5 12. 设 f(x) = 2x - 1,则 f(x + 2) = . 13. 函数 y =| x - 3 | - 4(1 ≤ x ≤ 4) 的值域为 . 14. 设函数 f(x) = 2x + 1, - 2 < x ≤ 0, 3 -x2,0 < x < 3.{ (1) 求函数 f(x) 的定义域; (2) 求 f( - 1),f(0),f(2) . 15. 已知函数 f(x) = x + 2 x - 1 . (1) 求 f(2) 的值; (2) 若 f(a) = 2a,求实数 a 的值. 03 3 + ( - 3) 2 - 4 × 2 × ( - 4) 2 × 2 = 3 + 41 4 . 因为不等式 2x2 - 3x - 4 > 0 的二次项系数为 2 > 0, 所以不等式 2x2 - 3x - 4 > 0 的解集为{x | x < 3 - 41 4 或 x > 3 + 41 4 } . 13. 【解析】 当 m = 0 时,不等式 mx2 + 4mx - 4 ≥ 0 可化为 - 4 ≥ 0,不等式无解,满足题意. 当 m ≠ 0 时,根据题意得 m < 0, Δ = 16m2 + 16m < 0,{ 即 m < 0, m2 + m < 0,{ 解得 - 1 < m < 0. 综上所述,m 的取值范围为( - 1,0] . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) . 2. C　 【解析】 由 | 2x - 6 | < 3 得 - 3 < 2x - 6 < 3,解得 3 2 < x < 9 2 ,所以不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为( 3 2 , 9 2 ) . 3. A　 【解析】 由 | 2x - 3 | < 5 得 - 5 < 2x - 3 < 5,解得 - 1 < x < 4,所以不等式 | 2x - 3 | < 5 的解集为( - 1,4) . 4. A　 【解析】 由 | x - 2 023 | ≥ 1 得 x - 2 023 ≥ 1 或 x - 2 023 ≤- 1,解得 x ≥ 2 024 或 x ≤ 2 022,所以不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) . 5. B　 【解析】 将 | 3x | < 15 系数化为 1, 得 | x | < 5, 解得 - 5 < x < 5, 所以不等式 | 3x | < 15 的解集是{x | - 5 < x < 5} . 6. D　 【解析】 由 | 2x - 6 | ≤ 2 得 - 2 ≤ 2x - 6 ≤ 2,解得 2 ≤ x ≤ 4,所以不等式 | 2x - 6 | ≤ 2 的解集是[2,4] . 7. D　 【解析】 由 | 3x - 2 | < 4 得 - 4 < 3x - 2 < 4,解得 - 2 3 < x < 2,所以不等式 | 3x - 2 | < 4 的解集是{x | - 2 3 < x < 2} . 8. C　 【解析】 由 | x + 1 | > 3 得 x + 1 > 3 或 x + 1 < - 3,解得 x > 2 或 x < - 4,所以不等式 | x + 1 | > 3 的解集为{x | x < - 4 或 x > 2} . 9. D　 【解析】 由 | 3x - 18 | > 3 得 3x - 18 > 3 或 3x - 18 < - 3,解得 x > 7 或 x < 5,所以不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) . 10. 1　 【解析】 | - 5 | - 22 = 5 - 4 = 1. 11. 4 或 - 4　 【解析】 由 | 2x | - 8 = 0 得 | x | = 4,解得 x = 4 或 x = - 4. 12. 【解析】 由不等式 | 2x - 5 | ≤ 7 得 - 7 ≤ 2x - 5 ≤ 7,解得 - 1 ≤ x ≤ 6, 所以不等式 | 2x - 5 | ≤ 7 的解集为[ - 1,6] . 第三章 　 函 　 数 3. 1　 函数的概念及表示方法 1. B　 【解析】 要使函数 f(x) = x x2 - 4 有意义,须 x ≥ 0, x2 - 4 ≠ 0,{ 解得 x ≥ 0 且 x ≠ 2,所以 f(x) 的定义域为[0,2) ∪ (2, + ∞ ) . 191 2. C　 【解析】 因为 f(x) = x + 3 + 1 x + 2 ,所以 f(1) = 1 + 3 + 1 1 + 2 = 7 3 . 3. B　 【解析】 由函数的定义可知,在定义域内任取一个值,都有唯一的一个函数值 f(x) 与之对应. 当 x = 1 在定义域内时,此 时函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 1 有唯一的交点;当 x = 1 不在定义域内时,函数值 f(x) 不存在,此时函数 y = f(x) 的 图象与直线 x = 1 没有交点. 综上,函数 y = f(x) 的图象与直线 x = 1 至多有 1 个交点. 4. B　 【解析】 因为 f(x + 1) = 2x - 3,所以 f(x) = f(x - 1 + 1) = 2(x - 1) - 3 = 2x - 5. 5. D　 【解析】∵ 函数 f(x) 的定义域为(0,1),∴ 要使 f(2x - 1) 有意义,须0 < 2x - 1 < 1,解得 1 2 < x < 1,∴ 函数f(2x - 1) 的 定义域为( 1 2 ,1) . 6. A　 【解析】 因为 f(x) 的定义域为{ - 1,0,1},当 x = ± 1 时,f(x) = 1 + 1 = 2,当 x = 0 时,f(x) = 1,所以 f(x) 的值域为 {1,2} . 7. D　 【解析】 因为函数 f(x) = 2x - 1,x < 0, 2x,x ≥ 0,{ 所以 f(3) + f( - 1) = 2 3 + ( - 2) - 1 = 5. 8. C　 【解析】 选项 A,f(x) = x2 = | x | (x ∈ R),g(x) = ( x ) 2 = x(x ≥ 0),因为两个函数的定义域不同,所以 f(x) 与 g(x) 不是同一函数;选项 B,f(x) = 1(x ∈ R),g(x) = x0 = 1(x ≠ 0),因为两个函数的定义域不同,所以 f(x) 与 g(x) 不 是同一函数;选项 C,f(x) = x2 = | x | (x ∈ R),g(x) = | x | (x ∈ R),因为两个函数的定义域和对应法则都相同,所以 f(x) 与 g(x) 是同一函数;选项 D,f(x) = x + 1(x ∈ R),g(x) = x 2 - 1 x - 1 = x + 1(x ≠ 1),因为两个函数的定义域不同,所以 f(x) 与 g(x) 不是同一函数. 9. B　 【解析】 由题表可知 f(3) = 4,g(1) = 2,因此 f(3) - g(1) = 2. 10. A　 【解析】 由题意可设 f(x) = kx + b(k ≠ 0) . 因为 f(3) = 7,f(5) = - 1,所以 3k + b = 7, 5k + b = - 1,{ 解得 k = - 4, b = 19,{ 所以 f(x) = - 4x + 19,所以 f(1) = - 4 + 19 = 15. 11. C　 【解析】 当 x ≥- 1 时,f(x) = 3 - 2x = 1,解得 x = 1;当 x < - 1 时,f(x) = x - 4 = 1,解得 x = 5(舍去) . 综上 x = 1. 12. 2x + 3 　 【解析】∵ f(x) = 2x - 1,∴ f(x + 2) = 2(x + 2) - 1 = 2x + 3. 13. [ - 4, - 2]　 【解析】 依题意 1 ≤ x ≤ 4 时, - 2 ≤ x - 3 ≤ 1,所以 0 ≤| x - 3 | ≤ 2,所以 - 4 ≤| x - 3 | - 4 ≤- 2,所以 函数 y = | x - 3 | - 4(1 ≤ x ≤ 4) 的值域为[ - 4, - 2] . 14. 【解析】(1) 因为函数 f(x) = 2x + 1, - 2 < x ≤ 0, 3 -x2 ,0 < x < 3,{ 所以函数 f(x) 的定义域为( - 2,3) . (2) 因为 f(x) = 2x + 1, - 2 < x ≤ 0, 3 -x2 ,0 < x < 3,{ 所以 f( - 1) = - 2 + 1 = - 1,f(0) = 0 + 1 = 1,f(2) = 3 - 4 = - 1. 15. 【解析】(1) 因为函数 f(x) = x + 2 x - 1 , 所以 f(2) = 2 + 2 2 - 1 = 4. 291 (2) 易知函数 f(x) = x + 2 x - 1 的定义域为{x | x ≠ 1} . 因为 f(a) = 2a, 所以 f(a) = a + 2 a - 1 = 2a,即 a + 2 = 2a(a - 1),即 2a2 - 3a - 2 = 0,解得 a = - 1 2 或 a = 2, 所以 a = - 1 2 或 a = 2. 3. 2　 函数的性质 1. D　 【解析】 对于 A,函数 y = x 的定义域为[0, + ∞ ),不关于原点对称,所以函数 y = x 不是奇函数,故 A 不符合题意;对 于 B,函数 y = f(x) = x2 的定义域为 R,因为 f( - x) = x2 ≠- f(x),所以函数 y = x2 不是奇函数,故 B 不符合题意;对于 C, 函数 y = 1 x 的定义域为( - ∞ ,0) ∪ (0, + ∞ ),因为 f( - x) = - 1 x = - f(x),所以函数 y = 1 x 为奇函数,易知函数 y = 1 x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,故 C 不符合题意;对于 D,函数 y = f(x) = x3 的定义域为 R,因为 f( - x) = -x3 = - f(x),所以函 数 y = x3 为奇函数,易知函数 y = x3 在区间(0, + ∞ ) 上单调递增,故 D 符合题意. 2. B　 【解析】 由图象知,该函数的单调增区间为[ - 1,2] 和[4,5] . 3. C　 【解析】 因为 f(x) 为奇函数,且当 x > 0 时,f(x) = x2 - 6x,所以 f( - 1) = - f(1) = - (1 - 6) = 5. 4. B　 【解析】 因为函数 f(x) 是定义在R上的偶函数,且当 x > 0 时,f(x) =x2 - x,所以当 x < 0 时, - x > 0,f(x) = f( - x) = ( - x) 2 - ( - x) = x2 + x. 5. D　 【解析】 易知函数 y = x2 - 2ax + 1 的图象开口向上,对称轴为直线 x = a. 因为函数 y = x2 - 2ax + 1 在区间[ - 2,1] 上 单调递减,所以 a ≥ 1. 6. C　 【解析】 当 a > 0 时,函数 y = ax + 1 为增函数,由题意得 2a + 1 - (a + 1) = 2,解得 a = 2;当 a < 0 时,函数 y = ax + 1 为减函数,由题意得 a + 1 - (2a + 1) = 2,解得 a = - 2. 综上,a = ± 2. 7. A　 【解析】 易知函数 f(x) = 1 x - 2 + 1 在[3,4] 上单调递减,所以当 x = 3 时,f(x) 取得最大值 1 3 - 2 + 1 = 2. 8. D　 【解析】 由题知 f(x),g(x) 分别为定义在 R 上的奇函数和偶函数,所以 f(x) = - f( - x),g(x) = g( - x) . 对于 A,令 h(x) = f(x) + g(x),则 h( - x) = f( - x) + g( - x) = - f(x) + g(x) ≠- h(x),所以函数 y = f(x) + g(x) 不是奇函数,故 A 不符合题意;对于 B,令m(x) = | f(x) | g(x),则m( - x) = | f( - x) | g( - x) = | - f(x) | g(x) = | f(x) | g(x) ≠- m(x), 所以函数 y = | f(x) | g(x) 不是奇函数,故 B 不符合题意;对于 C,令 n(x) = | f(x)g(x) | ,则 n( - x) = | f( - x)g( - x) | = | - f(x)g(x) | = | f(x)g(x) | ≠- n(x),所以函数 y = | f(x)g(x) | 不是奇函数,故 C 不符合题意;对于 D,令 p(x) = f(x)g(x),则 p( - x) = f( - x)g( - x) = - f(x)g(x) = - p(x),所以函数 y = f(x)g(x) 是奇函数,故 D 符合题意. 9. C　 【解析】∵ 函数 y = f(x) 在 R上单调递增,且 f(2m) > f( - m + 9),∴ 2m > - m + 9,解得 m > 3,∴ 实数 m的取值范围 是(3, + ∞ ) . 10. D　 【解析】因为函数 f(x) 为偶函数,所以 f(5) = f( - 5),f(2) = f( - 2) . 因为 f(x) 在( - ∞ ,0] 上单调递减,所以f( - 5) > f( - 2) > f( - 1),即 f(5) > f(2) > f( - 1) . 11. C　 【解析】 由题可得 f(2x - 1) ≥ f(1) . 因为函数 f(x) 为偶函数,所以 f( | 2x - 1 | ) ≥ f(1),因为函数 f(x) 在(0, + ∞ ) 上 单调递减,所以 | 2x - 1 | ≤ 1,解得 0 ≤ x ≤ 1. 12. B　 【解析】 因为函数 f(x) 是奇函数,且在[1,3] 上是增函数,所以函数 f(x) 在 x = 1 处取得最小值,所以 f(1) = 1,所以函 391