2.2 一元二次不等式-2024版河南省职教高考数学复习教材

2. 2　 一元二次不等式 1. D　 【解析】 由x2 + 5x = 0 得 x(x + 5) = 0,解得 x1 = 0,x2 = - 5. 2. A　 【解析】 易知方程(x - 1)(x + 2) = 0 的根为 - 2,1. 又不等式(x - 1)(x + 2) = x2 + x - 2 < 0 的二次项系数为 1 > 0, 所以不等式(x - 1)(x + 2) < 0 的解集为( - 2,1) . 3. A　 【 解 析 】 易 知 方 程 x2 + 5x - 24 = 0 的 两 根 分 别 为 x1 = - 5 + 52 - 4 × 1 × ( - 24) 2 = 3, x2 = - 5 - 52 - 4 × 1 × ( - 24) 2 = - 8. 因为不等式x2 + 5x - 24 > 0 的二次项系数为 1 > 0,所以不等式x2 + 5x - 24 > 0 的 解集为{x | x < - 8 或 x > 3} . 4. A　 【解析】 方程 2x2 - 5x + 2 = 0 的两根分别为x1 = 5 + ( - 5) 2 - 4 × 2 × 2 2 × 2 = 2,x2 = 5 - ( - 5) 2 - 4 × 2 × 2 2 × 2 = 1 2 . 因为不等式 2x2 - 5x + 2 ≤ 0 的二次项系数为 2 > 0,所以不等式 2x2 - 5x + 2 ≤ 0 的解集为[ 1 2 ,2] . 5. C　 【解析】 解一元二次方程(x + 1) 2 = 1 得 x1 = 0,x2 = - 2,又不等式(x + 1) 2 > 1 的二次项系数大于零,所以不等式 (x + 1) 2 > 1 的解集为( - ∞ , - 2) ∪ (0, + ∞ ) . 6. A　 【 解 析 】 易 得 方 程 x2 - 2x - 3 = 0 的 解 分 别 为 x1 = 2 + ( - 2) 2 - 4 × 1 × ( - 3) 2 × 1 = 3,x2 = 2 - ( - 2) 2 - 4 × 1 × ( - 3) 2 × 1 = - 1. 因为 x2 - 2x - 3 ≤ 0 的二次项系数为 1 > 0,所以不等式 x2 - 2x - 3 ≤ 0 的解集是 [ - 1,3] . 7. A　 【解析】 不等式 -x2 + ax - 1 > 0 有解,即不等式x2 - ax + 1 < 0 有解,所以方程x2 - ax + 1 = 0 根的判别式 Δ =a2 - 4 > 0,解得 a < - 2 或 a > 2. 8. C　 【解析】 易知方程3x2 - 7x + 2 = 0的两根分别为x1 = 7 + ( - 7) 2 - 4 × 3 × 2 2 × 3 = 2,x2 = 7 - ( - 7) 2 - 4 × 3 × 2 2 × 3 = 1 3 . 又 3x2 - 7x + 2 > 0 的二次项系数为 3 > 0,所以不等式 3x2 - 7x + 2 > 0 的解集为( - ∞ , 1 3 ) ∪ (2, + ∞ ) . 9. {x | - 3 < x < 5 2 }　 【解析】 方程 2x2 + x - 15 = 0 的解分别为 x1 = - 1 + 12 - 4 × 2 × ( - 15) 2 × 2 = 5 2 ,x2 = - 1 - 12 - 4 × 2 × ( - 15) 2 × 2 = - 3. 因为 2x2 + x - 15 < 0 的二次项系数为 2 > 0,所以不等式 2x2 + x - 15 < 0 的解集为 {x | - 3 < x < 5 2 } . 10. (0,4)　 【解析】 因为关于 x 的方程x2 - mx + m = 0 无实数根,所以方程x2 - mx + m = 0 根的判别式 Δ = m2 - 4m < 0, 即 m(m - 4) < 0,解得 0 < m < 4,所以 m 的取值范围为(0,4) . 11. ( - ∞ , - 4) ∪ (2, + ∞ )　 【解析】 易得方程(x + 4)(x - 2) = 0 的根为 x = - 4 或 x = 2. 又因为不等式(x + 4)(x -2) > 0 的二次项系数为 1 > 0,所以不等式(x + 4)(x - 2) > 0 的解集为( - ∞ , - 4) ∪ (2, + ∞ ) . 12. 【解析】 易得一元二次方程 2x2 - 3x - 4 = 0 的两根为 x1 = 3 - ( - 3) 2 - 4 × 2 × ( - 4) 2 × 2 = 3 - 41 4 ,x2 = 091 3 + ( - 3) 2 - 4 × 2 × ( - 4) 2 × 2 = 3 + 41 4 . 因为不等式 2x2 - 3x - 4 > 0 的二次项系数为 2 > 0, 所以不等式 2x2 - 3x - 4 > 0 的解集为{x | x < 3 - 41 4 或 x > 3 + 41 4 } . 13. 【解析】 当 m = 0 时,不等式 mx2 + 4mx - 4 ≥ 0 可化为 - 4 ≥ 0,不等式无解,满足题意. 当 m ≠ 0 时,根据题意得 m < 0, Δ = 16m2 + 16m < 0,{ 即 m < 0, m2 + m < 0,{ 解得 - 1 < m < 0. 综上所述,m 的取值范围为( - 1,0] . 2. 3　 含绝对值的不等式 1. A　 【解析】 由 | x - 3 | > 2 得 x - 3 > 2 或 x - 3 < - 2,解得 x > 5 或 x < 1,所以不等式 | x - 3 | > 2 的解集为( - ∞ ,1) ∪ (5, + ∞ ) . 2. C　 【解析】 由 | 2x - 6 | < 3 得 - 3 < 2x - 6 < 3,解得 3 2 < x < 9 2 ,所以不等式 | 2x - 6 | < 3 的解集为( 3 2 , 9 2 ) . 3. A　 【解析】 由 | 2x - 3 | < 5 得 - 5 < 2x - 3 < 5,解得 - 1 < x < 4,所以不等式 | 2x - 3 | < 5 的解集为( - 1,4) . 4. A　 【解析】 由 | x - 2 023 | ≥ 1 得 x - 2 023 ≥ 1 或 x - 2 023 ≤- 1,解得 x ≥ 2 024 或 x ≤ 2 022,所以不等式 | x - 2 023 | ≥ 1 的解集是( - ∞ ,2 022] ∪ [2 024, + ∞ ) . 5. B　 【解析】 将 | 3x | < 15 系数化为 1, 得 | x | < 5, 解得 - 5 < x < 5, 所以不等式 | 3x | < 15 的解集是{x | - 5 < x < 5} . 6. D　 【解析】 由 | 2x - 6 | ≤ 2 得 - 2 ≤ 2x - 6 ≤ 2,解得 2 ≤ x ≤ 4,所以不等式 | 2x - 6 | ≤ 2 的解集是[2,4] . 7. D　 【解析】 由 | 3x - 2 | < 4 得 - 4 < 3x - 2 < 4,解得 - 2 3 < x < 2,所以不等式 | 3x - 2 | < 4 的解集是{x | - 2 3 < x < 2} . 8. C　 【解析】 由 | x + 1 | > 3 得 x + 1 > 3 或 x + 1 < - 3,解得 x > 2 或 x < - 4,所以不等式 | x + 1 | > 3 的解集为{x | x < - 4 或 x > 2} . 9. D　 【解析】 由 | 3x - 18 | > 3 得 3x - 18 > 3 或 3x - 18 < - 3,解得 x > 7 或 x < 5,所以不等式 | 3x - 18 | > 3 的解集为 ( - ∞ ,5) ∪ (7, + ∞ ) . 10. 1　 【解析】 | - 5 | - 22 = 5 - 4 = 1. 11. 4 或 - 4　 【解析】 由 | 2x | - 8 = 0 得 | x | = 4,解得 x = 4 或 x = - 4. 12. 【解析】 由不等式 | 2x - 5 | ≤ 7 得 - 7 ≤ 2x - 5 ≤ 7,解得 - 1 ≤ x ≤ 6, 所以不等式 | 2x - 5 | ≤ 7 的解集为[ - 1,6] . 第三章 　 函 　 数 3. 1　 函数的概念及表示方法 1. B　 【解析】 要使函数 f(x) = x x2 - 4 有意义,须 x ≥ 0, x2 - 4 ≠ 0,{ 解得 x ≥ 0 且 x ≠ 2,所以 f(x) 的定义域为[0,2) ∪ (2, + ∞ ) . 191 2. 2　 一元二次不等式 !"#$ 1. 会解一元二次方程,熟记一元二次方程的求根公式; 2. 理解一元二次不等式与相应方程及函数间的关系; 3. 熟练掌握一元二次不等式的解法. 1.一元二次方程的解法 (1) 直接开平方法 若 x2 = a(a ≥ 0),则 x1 = a ,x2 = - a . (2) 配方法 若 x2 + px + q = 0,且 p2 - 4q ≥ 0,则 x + p 2( ) 2 = - q + p 2( ) 2 ,解得 x1 = - p 2 + - q + p 2( ) 2 ,x2 = - p 2 - - q + p 2( ) 2 . (3) 公式法 ① 把方程变为标准形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) . ② 求出 Δ = b2 - 4ac 的值,判断 Δ 的符号. ③ 当 Δ > 0 时,x1 = - b + b2 - 4ac 2a ,x2 = - b - b2 - 4ac 2a ; 当 Δ = 0 时,x1 = x2 = - b 2a ; 当 Δ < 0 时,一元二次方程没有实数根. (4) 提公因式法 若 ax2 + bx = 0(a ≠ 0),则 x(ax + b) = 0,即 x1 = 0,x2 = - b a . (5) 平方差公式法 若 a2x2 - b2 = 0(a ≠ 0),则(ax + b)(ax - b) = 0,即 x1 = b a ,x2 = - b a . 2.一元二次不等式的解法 (1) 一元二次不等式的概念及一般形式 概念:只含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的不等式. 一般形式:ax2 + bx + c > 0(≥ 0),ax2 + bx + c < 0(≤ 0),a ≠ 0. 81 (2) 一元二次不等式的解法 ① 一元二次不等式与相应方程及函数间的关系 在一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 根的判别式 Δ = b2 - 4ac 的不同情况下,对应函数的图象与 x 轴的位置关系及对应不等式的解集如下表所示. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根 x1 ,x2(x1 < x2 ) x0 没有实数根 ax2 + bx + c > 0(a > 0) 的解集 ( - ∞ ,x1 ) ∪ (x2 , + ∞ ) 大号取两边 ( - ∞ ,x0 ) ∪ (x0 , + ∞ ) R ax2 + bx + c < 0(a > 0) 的解集 (x1 ,x2 ) 小号取中间 ⌀ ⌀ ax2 + bx + c ≥ 0(a > 0) 的解集 ( - ∞ ,x1 ] ∪ [x2 , + ∞ ) 大号取两边 R R ax2 + bx + c ≤ 0(a > 0) 的解集 [x1 ,x2 ] 小号取中间 {x0 } ⌀ 　 　 ② 解一元二次不等式的步骤 第一步,判断二次项系数是不是正数,若不是正数,将不等式两边同乘 - 1; 第二步,判断对应方程解的情况,若有解,求出方程的解; 第三步,根据上表写出一元二次不等式的解集. !"#$ 题型一:一元二次不等式的解法 ! 1 不等式 x(x + 1) < 0 的解集是 (　 　 ) A. {x | x < 1} B. {x | x > 0} C. {x | - 1 < x < 0} D. {x | x < - 1 或 x > 0} 【解析】 易得方程 x(x + 1) = 0 的根为 x = - 1 或 x = 0, 因为二次项系数为 1 > 0, 所以不等式 x(x + 1) < 0 的解集是{x | - 1 < x < 0} . 【答案】 C 91 ! 2 不等式 x2 + 5x > 0 的解集为 (　 　 ) A. {x | x < 0 或 x > 5} B. {x | 0 < x < 5} C. {x | x < - 5 或 x > 0} D. {x | - 5 < x < 0} 【解析】 易得方程 x2 + 5x = 0 即 x(x + 5) = 0 的两根分别为 - 5,0. 因为 x2 + 5x > 0 的二次项系数为 1 > 0, 所以不等式 x2 + 5x > 0 的解集为{x | x < - 5 或 x > 0} . 【答案】 C ! 3 不等式(x - 2) 2 ≤ 4 的解集为 . 【解析】 解一元二次方程(x - 2) 2 = 4 得 x1 = 0,x2 = 4. 又不等式(x - 2) 2 ≤ 4 的二次项系数大于零, ∴ 原不等式的解集为{x | 0 ≤ x ≤ 4} . 【答案】 {x | 0 ≤ x ≤ 4} ! 4 (2021,19) 求不等式 2x2 > 9x - 7 的解集. 【解析】 由不等式 2x2 > 9x - 7 得 2x2 - 9x + 7 > 0. 易知一元二次方程 2x2 - 9x + 7 = 0 的 两 根 分 别 为 x1 = 9 + ( - 9) 2 - 4 × 2 × 7 2 × 2 = 7 2 ,x2 = 9 - ( - 9) 2 - 4 × 2 × 7 2 × 2 = 1. 因为 2x2 - 9x + 7 > 0 的二次项系数大于 0, 所以不等式 2x2 > 9x - 7 的解集为 x x < 1 或 x > 7 2{ } . 题型二:一元二次不等式的恒成立问题 ! 5 若不等式 2ax2 + ax - 2 < 0 对一切实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是 (　 　 ) A. - 16 < a < 0 B. - 16 < a ≤ 0 C. - 16 ≤ a ≤ 0 D. a < - 16 或 a ≥ 0 【解析】 若 a = 0,则不等式 2ax2 + ax - 2 < 0 等价于 - 2 < 0,此时不等式恒成立,故 a = 0 符合题意. 若 a ≠ 0,则 a < 0, Δ =a2 + 16a < 0,{ 解得 - 16 < a < 0. 综上, - 16 < a ≤ 0. 【答案】 B ! 6 已知一元二次不等式 mx2 - 2mx + 1 < 0 无解,求实数 m 的取值范围. 【解析】 当 m = 0 时,不等式 mx2 - 2mx + 1 < 0 等价于 1 < 0,此时不等式无解,符合题意. 当 m ≠ 0 时,根据题意得 m > 0, Δ =(2m) 2 - 4m ≤ 0,{ 解得 0 < m ≤ 1. 综上,m 的取值范围为[0,1] . 02 1. 一元二次方程x2 + 5x = 0 的解为 (　 　 ) A. x = 0　 　 B. x = - 5　 　 C. x1 = 5,x2 = - 5　 D. x1 = 0,x2 = - 5 2. 不等式(x - 1)(x + 2) < 0 的解集为 (　 　 ) A. ( - 2,1) B. ( - ∞ , - 2) ∪ (1, + ∞ ) C. ( - ∞ ,1) ∪ (2, + ∞ ) D. ( - 1,2) 3. 不等式x2 + 5x - 24 > 0 的解集是 (　 　 ) A. {x | x < - 8 或 x > 3} B. {x | x < - 3 或 x > 8} C. {x | - 3 < x < 8} D. {x | - 8 < x < 3} 4. 一元二次不等式 2x2 - 5x + 2 ≤ 0 的解集为 (　 　 ) A. [ 1 2 ,2] B. (1,2) C. ( 1 2 ,2) D. [1,2] 5. 一元二次不等式(x + 1) 2 > 1 的解集为 (　 　 ) A. ( - 2,0) B. (0,2) C. ( - ∞ , - 2) ∪ (0, + ∞ ) D. ( - ∞ ,0) ∪ (2, + ∞ ) 6. 不等式x2 - 2x - 3 ≤ 0 的解集是 (　 　 ) A. [ - 1,3] B. [ - 3,1] C. ( - ∞ , - 1) ∪ [3, + ∞ ) D. ( - ∞ , - 3) ∪ [1, + ∞ ) 7. 若不等式 -x2 + ax - 1 > 0 有解,则实数 a 的取值范围为 (　 　 ) A. a < - 2 或 a > 2 B. - 2 < a < 2 C. a ≠ ± 2 D. 1 < a < 3 8. 不等式 3x2 - 7x + 2 > 0 的解集是 (　 　 ) A. ( 1 3 ,2) B. ( - 2, - 1 3 ) C. ( - ∞ , 1 3 ) ∪ (2, + ∞ ) D. ( - ∞ , - 2) ∪ ( - 1 3 , + ∞ ) 9. 不等式 2x2 + x - 15 < 0 的解集为 . 10. 若关于 x 的方程x2 - mx + m = 0 无实数根,则 m 的取值范围为 . 11. 不等式(x + 4)(x - 2) > 0 的解集是 . 12. (2020,19) 解不等式 2x2 - 3x - 4 > 0. 12 13. 若一元二次不等式 mx2 + 4mx - 4 ≥ 0 无解,求实数 m 的取值范围. 2. 3　 含绝对值的不等式 !"#$ 1. 了解绝对值的概念及几何意义; 2. 会解简单的含绝对值的不等式. 1.绝对值的概念及几何意义 (1) 数轴上表示实数 a 对应的点到原点的距离叫做 a 的绝对值. (2) 性质: | a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ 　 　 正数的绝对值是它本身,0 的绝对值是 0,负数的绝对值是它的相反数. 2.含绝对值不等式的解法 不等式 解集 a > 0 a = 0 a < 0 | x | < a {x | - a < x < a} ⌀ ⌀ | x | > a {x | x > a 或 x < - a} {x | x ≠ 0} R | mx + n | ≤ a(m > 0) {x | - a - n m ≤ x ≤ a - n m } { - n m } ⌀ | mx + n | ≥ a(m > 0) {x | x ≥ a - n m 或 x ≤ - a - n m } R R 22