2.1 不等式的基本性质、区间-2024版河南省职教高考数学复习教材

11. D　 【解析】 当 a = 1 时,满足 a > 0,但不满足a2 > 1,即充分性不成立;当 a = - 2 时,满足a2 > 1,但不满足 a > 0,即必要 性不成立. 所以“a > 0” 是“a2 > 1” 的既不充分也不必要条件. 12. A　 【解析】 若向量 a = b,则两个向量的模相等且方向相同;若 | a | = | b | ,则两个向量的模相等,但方向不一定相同. 故 “a = b” 是“ | a | = | b | ” 的充分不必要条件. 第二章 　 不 　 等 　 式 2. 1　 不等式的基本性质、区间 1. A　 【解析】 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 应用左开右闭的区间表示,可以表示为( - 3,2] . 2. B　 【解析】 不等式 a > b 两边同时减去同一个数 b,不等号的方向不变,则 a - b > 0,故 A 错误,B 正确;当 a > b > 0 时, a + b > 0,故 C 错误;当 0 > a > b 时,a + b < 0,故 D 错误. 3. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac = bc,故 A 错误;当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,此时 1 a = 1, 1 b = - 1 2 ,a2 = 1,b2 = 4,则 1 a > 1 b ,a2 < b2 ,故 B,C 错误;不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 D 正确. 4. B　 【解析】 当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,但 a > b + 2,a + b = - 1 < 0, | a | < | b | ,故 A,C,D 错误. 不等式 a > b 两 边同时减去同一个数 b,不等号的方向不变,所以 a - b > 0,故 B 正确. 5. B　 【解析】 由不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 得 x < 2, x ≥- 1,{ 所以原不等式组的解集为[ - 1,2) . 6. A　 【解析】 不等式 a > b即 b < a两边同时减去一个数 c,不等号的方向不变,所以 b - c < a - c,故 A 正确. 不等式 a > b两 边同时乘一个负数 - 1,不等号的方向改变,所以 - a < - b,故 B 错误. 当 c = 0 时,ac = bc,故 C 错误. 因为 a > b > 0,所以 b - a < 0,ab > 0,所以 1 a - 1 b = b - a ab < 0,所以 D 错误. 7. C　 【解析】 不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 A 错误. 当 a = 10,b = 1 时, 满足 a > b > 0,此时 a - 3 > b + 3,故 B 错误. 因为 a > b > 0,所以 ab > 0,a - b > 0,a + b > 0,所以 a b - b a = (a - b)(a + b) ab > 0,所以 a b > b a ,故 C 正确. 因为 a > 0,b > 0,所以 ab > 0,故 D 错误. 8. D　 【解析】 当 a = 1,b = - 1,c = 1,d = - 2 时,满足 a > b,c > d,此时 a + d = - 1,b + c = 0,ac = 1,bd = 2,所以 a + d < b + c, ac < bd,故 A,B 错误. 当 c = 0 时,ac2 = bc2 ,故 C 错误. 不等式 c > d 即 d < c 的两边同时乘同一个负数 - 1,不等号 的方向改变,所以 - d > - c. 又 a > b,所以由不等式的同向可加性得 a - d > b - c,故 D 正确. 9. [ 1 3 , + ∞ )　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,即 x ≥ 1 3 ,所以 x 的取值范围是[ 1 3 , + ∞ ) . 10. ( - 3,2)　 【解析】 由函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 有意义,得 2 - x > 0, x + 3 > 0,{ 解得 - 3 < x < 2,所以函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为( - 3,2) . 981 2. 1　 不等式的基本性质、区间 !"#$ 1. 掌握比较实数大小的方法(作差比较法); 2. 掌握不等式的基本性质; 3. 理解区间的有关概念,会用区间表示集合. 1.比较实数的大小 关于实数 a,b 的大小关系,可以通过以下运算来表示: a > b⇔a - b > 0, a = b⇔a - b = 0, a < b⇔a - b < 0. ì î í ï ï ï ï 比较两个实数(或代数式) 的大小,可以转化为比较它们的差与 0 的大小. 这种比较大小的方法称为作 差比较法. 2.不等式的基本性质 (1) 不等式的加法法则 性质 1:如果 a > b,那么 a + c > b + c. 性质 1 表明,不等式两边同时加上(或减去) 同一个数(或代数式),不等号的方向不变. (2) 不等式的乘法法则 性质 2:如果 a > b,c > 0,那么 ac > bc;如果 a > b,c < 0,那么 ac < bc. 性质 2 表明,不等式两边同时乘(或除以) 同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边同时乘(或除 以) 同一个负数,不等号的方向改变. (3) 不等式的传递性 性质 3:如果 a > b,b > c,那么 a > c. (4) 同向不等式的可加性 性质 4:如果 a > b,c > d,那么 a + c > b + d. 31 3.区间 集合表示 区间名称 区间表示 数轴表示 {x | a ≤ x ≤ b} 闭区间 [a,b] {x | a < x < b} 开区间 (a,b) {x | a ≤ x < b} 半开半闭区间 [a,b) {x | a < x ≤ b} 半开半闭区间 (a,b] {x | x ≥ a} [a, + ∞ ) {x | x > a} (a, + ∞ ) {x | x ≤ a} ( - ∞ ,a] {x | x < a} ( - ∞ ,a) R ( - ∞ , + ∞ ) 4.一元一次不等式的解法 ① 去分母;② 去括号;③ 移项;④ 合并同类项;⑤ 未知数的系数化为 1. 系数化为 1 时,注意不等号的方向是否改变. 例如一元一次不等式 x + 1 2 - 1 > 2 + 2 - x 4 的解法如下: 第一步:去分母(不等式两边同乘 4),得 2(x + 1) - 4 > 8 + (2 - x) . 第二步:去括号,得 2x + 2 - 4 > 8 + 2 - x. 第三步:移项,得 2x + x > 8 + 2 - 2 + 4. 第四步:合并同类项,得 3x > 12. 第五步:系数化为 1,得 x > 4. 　 　 ① 去分母时,不等式两边易漏乘各分母的最小公倍数; ② 移项时,易忘记改变符号; ③ 括号前有“ -” 时,去括号易忘记将括号内各项改变符号. 41 5.一元一次不等式组的解法 若 a < b,则 x < a, x < b{ 的解为 x < a,即“同小取小”; x > a, x > b{ 的解为 x > b,即“同大取大”; x > a, x < b{ 的解为 a < x < b,即“大小小大中间找”; x < a, x > b{ 无解,即“大大小小无解” . !"#$ 题型一:集合的区间表示 ! 1 (2022,2) 数集{x | - 1 ≤ x < 2,x ∈ R} 用区间表示为 (　 　 ) A. ( - 1,2) B. ( - 1,2] C. [ - 1,2) D. [1,2] 【解析】 易知数集{x | - 1 ≤ x < 2,x ∈ R} 用区间表示为[ - 1,2) . 【答案】 C 题型二:不等式的基本性质 ! 2 如果 a > b,那么下列结论正确的是 (　 　 ) A. a + c < b + c B. 1 - a > 1 - b C. 3a < 3b D. - a 5 < - b 5 【解析】 不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 A 错误; 不等式 a > b两边同时乘同一个负数 - 1,不等号的方向改变,所以 - a < - b,再在不等式两边同时加上 同一个数 1,不等号的方向不变,所以 1 - a < 1 - b,故 B 错误; 不等式 a > b 两边同时乘同一个正数 3,不等号的方向不变,所以 3a > 3b,故 C 错误; 不等式 a > b 两边同时乘同一个负数 - 1 5 ,不等号的方向改变,所以 - a 5 < - b 5 ,故 D 正确. 【答案】 D ! 3 若 a > b,c > d,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. a - c > b - d B. a + c > b + d C. ac > bd D. a c < b d 51 【解析】 当 a = 2,b = - 2,c = 1,d = - 4 时,满足 a > b,c > d,此时 a - c = 1,b - d = 2,ac = 2,bd = 8, a c = 2, b d = 1 2 ,所以 a - c < b - d,ac < bd, a c > b d ,故 A,C,D 错误. 当 a > b,c > d 时,由同向不等式的可加性得 a + c > b + d,故 B 正确. 【答案】 B ! 4 (2019,2) 若 a, b, c ∈ R,且 a < b < 0,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. ac2 < bc2 B. 1 a < 1 b C. b a > a b D. a2 > ab > b2 【解析】 当 c = 0 时,ac2 = bc2,A 选项不正确; 由 a < b < 0 得 ab > 0,b - a > 0,则 1 a - 1 b = b - a ab > 0,故 1 a > 1 b ,B 选项不正确; 易得 a + b < 0,b - a > 0,ab > 0,则 b a - a b = b 2 - a2 ab = (b - a)(b + a) ab < 0,故 b a < a b ,C 选项不正确; 不等式 a < b两边同时乘以 a得 a2 > ab,不等式 a < b两边同时乘以 b得 ab > b2,故 a2 > ab > b2,D 选 项正确. 【答案】 D 题型三:一元一次不等式(组) 的解法 ! 5 不等式 3 + 5x < 3(x + 3) 的解集为 (　 　 ) A. ( - 3, + ∞ ) B. ( - ∞ , - 3) C. ( - ∞ ,3) D. (3, + ∞ ) 【解析】 去括号,得 3 + 5x < 3x + 9, 移项,得 5x - 3x < 9 - 3, 合并同类项,得 2x < 6, 系数化为 1,得 x < 3, 所以原不等式的解集为( - ∞ ,3) . 【答案】 C ! 6 函数 f(x) = x - 1 + 1 x - 2 的定义域为 . (用区间表示) 【解析】 由函数 f(x) = x - 1 + 1 x - 2 有意义,得 x - 1 ≥ 0, x - 2 > 0.{ 由 x - 1 ≥ 0,移项得 x ≥ 1, 由 x - 2 > 0,移项得 x > 2, 所以不等式组的解集为{x | x > 2}, 61 所以函数 f(x) = x - 1 + 1 x - 2 的定义域为(2, + ∞ ) . 【答案】 (2, + ∞ ) 1. 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 用区间表示为 (　 　 ) A. ( - 3,2]　 B. ( - 3,2) C. [ - 3,2) D. [ - 3,2] 2. 已知 a > b,那么下列结论正确的是 (　 　 ) A. a - b < 0 B. a - b > 0 C. a + b < 0 D. a + b > 0 3. 若 a > b,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. ac > bc B. 1 a < 1 b C. a2 > b2 D. a + c > b + c 4. 若 a > b,则下列不等式成立的是 (　 　 ) A. a < b + 2 B. a - b > 0 C. | a | > | b | D. a + b > 0 5. 不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 的解集为 (　 　 ) A. ( - 1,2] B. [ - 1,2) C. [ - 1,2] D. ( - 1,2) 6. 若 a > b > 0,则下列正确的是 (　 　 ) A. b - c < a - c B. - a > - b C. ac > bc D. 1 a > 1 b 7. 若 a > b > 0,则不等式成立的是 (　 　 ) A. a + c < b + c B. a - 3 < b + 3 C. a b > b a D. ab < 0 8. 若 a > b,c > d,a,b,c,d ∈ R,则下列关系正确的是 (　 　 ) A. a + d > b + c B. ac > bd C. ac2 > bc2 D. a - d > b - c 9. 若 3x - 1 有意义,则 x 的取值范围用区间表示为 . 10. 函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为 . (用区间表示) 71