1.3 充要条件-2024版河南省职教高考数学复习教材

7. 已知集合 A = {x | x2 - 7x < 0},则∁RA = (　 　 ) A. {x | 0 < x < 7} B. {x | 0 ≤ x ≤ 7} C. {x | x < 0 或 x > 7} D. {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} 8. (2017,1) 若集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 ≤ x < 3},则下列式子正确的是 (　 　 ) A. A ⊆ B B. A ⊇ B C. A ∩ B = {x | 2 < x < 3} D. A ∪ B = {x | 2 ≤ x ≤ 3} 9. 设全集 U = {0,1,2,3,4},集合 A = {1,2},B = {2,3},则(∁UA) ∩ (∁UB) = (　 　 ) A. {0,4} B. {4} C. {1,2,3} D. ⌀ 10. 已知集合 A = {1,a},B = {1,2,3,4},且 A ∩ B = {1,4},则 a = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 设全集 U = {1,3,5,7,9},集合 A = {1,a - 5,9},∁UA = {5,7},则 a = (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. 8 D. - 8 12. 已知集合 A = {1,3},B = {0,a},且 A ∪ B = {0,1,2,3},则 a = (　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1. 3　 充 要 条 件 !"#$ 1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的含义; 2. 能熟练判断命题“若 p,则 q” 条件与结论的关系(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不 充分也不必要条件) . 1.命题 (1) 判断为真的命题称为真命题,判断为假的命题称为假命题. (2) 一般地,对于形如“如果 p,那么 q” 的命题,我们称 p为命题的条件,简称条件;称 q为命题的结论,简 称结论. 2.充分条件与必要条件 “若 p,则 q” 为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q,称 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件,记 作 p⇒q. 3.充要条件 如果 p 是 q 的充分条件(p⇒q),p 又是 q 的必要条件(q⇒p),则称 p 是 q 的充要条件,记作 p⇔q. 9 4. p 与 q 的四种关系 p 与 q 的关系 结论 p⇒q,但 q⇒/ p p 是 q 的充分不必要条件(q 是 p 的必要不充分条件) q⇒p,但 p⇒/ q p 是 q 的必要不充分条件(q 是 p 的充分不必要条件) p⇒q,且 q⇒p p 与 q 互为充要条件 p⇒/ q,且 q⇒/ p p 是 q 的既不充分也不必要条件(q 是 p 的既不充分也不必要条件) !"#$ 题型:充要条件的判断 ! 1 (2022,1)“a > 5” 是“a ≥ 3” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 易知 a > 5 可以推出 a ≥ 3,所以充分性成立, 但 a ≥ 3 不能推出 a > 5,所以必要性不成立, 故“a > 5” 是“a ≥ 3” 的充分不必要条件. 【答案】 A ! 2 若 a ∈ R,则“a = 1” 是“ | a | = 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由“a = 1” 可以推出“ | a | = 1”, 因此“a = 1” 是“ | a | = 1” 的充分条件; 当 | a | = 1 时,a = ± 1,则由“ | a | = 1” 推不出“a = 1”, 因此“a = 1” 不是“ | a | = 1” 的必要条件. 所以“a = 1” 是“ | a | = 1” 的充分不必要条件. 【答案】 A ! 3 “x = 1” 是“x2 - 1 = 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 x2 - 1 = 0,即 x2 = 1 得 x = ± 1, 所以“x = 1” 能推出“x2 - 1 = 0”,即充分性成立, “x2 - 1 = 0” 不能推出“x = 1”,即必要性不成立, 所以“x = 1” 是“x2 - 1 = 0” 的充分不必要条件. 【答案】 A 01 ! 4 “a > b” 是“a - b > 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 a > b 可得 a - b > 0,但不能推出 a - b > 1,如 a = 2,b = 1 时,满足 a > b,但 a - b = 1. 由 a - b > 1 > 0,可以推出 a > b. 所以“a > b” 是“a - b > 1” 的必要不充分条件. 【答案】 B ! 5 使不等式 x > 1 成立的一个充分不必要条件是 (　 　 ) A. 2 < x < 3 B. x > 0 C. - 2 < x < 5 D. x > 1 【解析】 结合选项可知,“2 < x < 3” 是“x > 1” 的充分不必要条件; “x > 0” 是“x > 1” 的必要不充分条件; “ - 2 < x < 5” 是“x > 1” 的既不充分也不必要条件; “x > 1” 是“x > 1” 的充要条件. 【答案】 A ! 6 (2017,8)“向量 a + b = 0” 是“ | a | =| b | ” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】 由 a + b = 0 得 a = - b,可以推出 | a | =| b | , 所以“向量 a + b = 0” 是“ | a | =| b | ” 的充分条件. 由 | a | =| b | 知,a 与 b 的模相等,因为方向不确定,所以不能推出 a + b = 0, 所以“向量 a + b = 0” 不是“ | a | =| b | ” 的必要条件. 所以“向量 a + b = 0” 是“ | a | =| b | ” 的充分不必要条件. 【答案】 A 1. “a < 5” 是“a < 3” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若 x,y ∈ R,则“x = 0” 是“xy = 0” 的 (　 　 ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11 3. “x > 4” 是“x > 2” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. “ - 1 2 < x < 3” 的一个必要不充分条件是 (　 　 ) A. - 1 2 < x < 3 B. - 3 < x < 1 2 C. - 1 < x < 6 D. - 1 2 < x < 0 5. “a > 3” 是“a - 3 > 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. “x 为整数” 是“2x + 1 为整数” 的 (　 　 ) A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 7. “(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设 x ∈ R,则“x < 1” 是“ | x | < 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. “ | x | = 0” 是“x2 = 0” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. “ | e | = 1” 是“向量 e 为单位向量” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 已知 a ∈ R,则“a > 0” 是“a2 > 1” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. “a = b” 是“ | a | =| b | ” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 21 为同一个集合中的元素必须是互不相同的,所以 A 不符合题意. 5. C　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},所以 A ∪ B = {x | - 2 < x < 5} . 6. B　 【解析】 因为集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},所以∁U A = {1,3,5} . 7. D　 【解析】 易得A = {x | x2 - 7x < 0} = {x | x(x - 7) < 0} = {x | 0 < x < 7},则 ∁RA = {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} . 8. C　 【解析】 因为集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},集合 B = {x | 1 ≤ x < 3},所以 A ⊈ B,B ⊈ A,A ∩ B = {x | 2 < x < 3} ,A ∪ B = {x | 1 ≤ x ≤ 3},故 C 正确,A,B,D 不正确. 9. A　 【解析】 因为全集U = {0,1,2,3,4},A = {1,2},B = {2,3},所以∁UA = {0,3,4},∁UB = {0,1,4},所以(∁UA) ∩ (∁UB) = {0,4} . 10. D　 【解析】 因为集合 A = {1,a},B = {1,2,3,4},且 A ∩ B = {1,4},所以集合 A 中必须含有元素 4,所以 A = {1,4},所 以 a = 4. 11. C　 【解析】 因为全集 U = {1,3,5,7,9},∁UA = {5,7},所以集合 A = {1,3,9},又 A = {1,a - 5,9},所以 a - 5 = 3,解得 a = 8. 12. C　 【解析】 因为集合 A = {1,3},B = {0,a},且 A ∪ B = {0,1,2,3},所以集合 B 中一定含有元素 2,所以 B = {0,2},所 以 a = 2. 1. 3　 充 要 条 件 1. B　 【解析】 由“a < 5” 不能推出“a < 3”,所以“a < 5” 不是“a < 3” 的充分条件. 由“a < 3” 能推出“a < 5”,所以“a < 5” 是“a < 3” 的必要条件. 故“a < 5” 是“a < 3” 的必要不充分条件. 2. C　 【解析】 当 x = 0 时,xy = 0;当 xy = 0 时,x = 0 或 y = 0. 故“x = 0” 是“xy = 0” 的充分不必要条件. 3. A　 【解析】 由“x > 4” 可推出“x > 2”,即充分性成立,由“x > 2” 不能推出“x > 4”,即必要性不成立,所以“x > 4” 是 “x > 2” 的充分不必要条件. 4. C　 【解析】 由题意可知,集合{x | - 1 2 < x < 3} 是{x | - 1 < x < 6} 的真子集,所以由 - 1 2 < x < 3 可推出 - 1 < x < 6,即充分性成立,由 - 1 < x < 6 不能推出 - 1 2 < x < 3,即必要性不成立,所以“ - 1 < x < 6” 是“ - 1 2 < x < 3” 的一个 必要不充分条件. 5. C　 【解析】 由实数大小关系的性质知 a > 3,则 a - 3 > 0,所以“a > 3” 是“a - 3 > 0” 的充要条件. 6. D　 【解析】 当 x为整数时,2x + 1 一定为整数,即充分性成立;当 2x + 1 为整数时,x不一定为整数,如 2x + 1 = 2 时,x = 1 2 , 即必要性不成立. 综上,“x 为整数” 是“2x + 1 为整数” 的充分不必要条件. 7. B　 【解析】 由(x + 2)(x - 4) = 0 得 x = - 2 或 x = 4,所以“(x + 2)(x - 4) = 0” 不能推出“x = 4”,即充分性不成立;由 “x = 4” 能推出“(x + 2)(x - 4) = 0”,即必要性成立. 综上,“(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的必要不充分条件. 8. B　 【解析】 由 | x | < 1 得 - 1 < x < 1. 因为“x < 1” 不能推出“ - 1 < x < 1”,但“ - 1 < x < 1” 可以推出“x < 1”,所以 “x < 1” 是“ | x | < 1” 的必要不充分条件. 9. C　 【解析】 若 | x | = 0,则 x = 0. 若x2 = 0,则 x = 0. 故“ | x | = 0” 是“x2 = 0” 的充要条件. 10. C　 【解析】 单位向量是指模长为 1 的向量,因此若 | e | = 1,则 e 是单位向量;若 e 是单位向量,则 | e | = 1. 故 | e | = 1 是 向量 e 为单位向量的充要条件. 881 11. D　 【解析】 当 a = 1 时,满足 a > 0,但不满足a2 > 1,即充分性不成立;当 a = - 2 时,满足a2 > 1,但不满足 a > 0,即必要 性不成立. 所以“a > 0” 是“a2 > 1” 的既不充分也不必要条件. 12. A　 【解析】 若向量 a = b,则两个向量的模相等且方向相同;若 | a | = | b | ,则两个向量的模相等,但方向不一定相同. 故 “a = b” 是“ | a | = | b | ” 的充分不必要条件. 第二章 　 不 　 等 　 式 2. 1　 不等式的基本性质、区间 1. A　 【解析】 数集{x | - 3 < x ≤ 2,x ∈ R} 应用左开右闭的区间表示,可以表示为( - 3,2] . 2. B　 【解析】 不等式 a > b 两边同时减去同一个数 b,不等号的方向不变,则 a - b > 0,故 A 错误,B 正确;当 a > b > 0 时, a + b > 0,故 C 错误;当 0 > a > b 时,a + b < 0,故 D 错误. 3. D　 【解析】 当 c = 0 时,ac = bc,故 A 错误;当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,此时 1 a = 1, 1 b = - 1 2 ,a2 = 1,b2 = 4,则 1 a > 1 b ,a2 < b2 ,故 B,C 错误;不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 D 正确. 4. B　 【解析】 当 a = 1,b = - 2 时,满足 a > b,但 a > b + 2,a + b = - 1 < 0, | a | < | b | ,故 A,C,D 错误. 不等式 a > b 两 边同时减去同一个数 b,不等号的方向不变,所以 a - b > 0,故 B 正确. 5. B　 【解析】 由不等式组 2x - 4 < 0, x + 1 ≥ 0{ 得 x < 2, x ≥- 1,{ 所以原不等式组的解集为[ - 1,2) . 6. A　 【解析】 不等式 a > b即 b < a两边同时减去一个数 c,不等号的方向不变,所以 b - c < a - c,故 A 正确. 不等式 a > b两 边同时乘一个负数 - 1,不等号的方向改变,所以 - a < - b,故 B 错误. 当 c = 0 时,ac = bc,故 C 错误. 因为 a > b > 0,所以 b - a < 0,ab > 0,所以 1 a - 1 b = b - a ab < 0,所以 D 错误. 7. C　 【解析】 不等式 a > b 两边同时加上同一个数 c,不等号的方向不变,所以 a + c > b + c,故 A 错误. 当 a = 10,b = 1 时, 满足 a > b > 0,此时 a - 3 > b + 3,故 B 错误. 因为 a > b > 0,所以 ab > 0,a - b > 0,a + b > 0,所以 a b - b a = (a - b)(a + b) ab > 0,所以 a b > b a ,故 C 正确. 因为 a > 0,b > 0,所以 ab > 0,故 D 错误. 8. D　 【解析】 当 a = 1,b = - 1,c = 1,d = - 2 时,满足 a > b,c > d,此时 a + d = - 1,b + c = 0,ac = 1,bd = 2,所以 a + d < b + c, ac < bd,故 A,B 错误. 当 c = 0 时,ac2 = bc2 ,故 C 错误. 不等式 c > d 即 d < c 的两边同时乘同一个负数 - 1,不等号 的方向改变,所以 - d > - c. 又 a > b,所以由不等式的同向可加性得 a - d > b - c,故 D 正确. 9. [ 1 3 , + ∞ )　 【解析】 要使 3x - 1 有意义,须 3x - 1 ≥ 0,即 x ≥ 1 3 ,所以 x 的取值范围是[ 1 3 , + ∞ ) . 10. ( - 3,2)　 【解析】 由函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 有意义,得 2 - x > 0, x + 3 > 0,{ 解得 - 3 < x < 2,所以函数 f(x) = log2(2 - x) + 1 x + 3 的定义域为( - 3,2) . 981