1.2 集合的运算-2024版河南省职教高考数学复习教材

第一章 　 集合与充要条件 1. 1　 集合及其表示与集合间的关系 1. D　 【解析】 因为集合 M 是由 1,2,3 三个元素构成,所以用列举法表示集合 M = {1,2,3} . 2. A　 【解析】 因为 A = {x | x ≥- 1} 表示所有不小于 - 1 的实数组成的集合,所以 1 是集合 A中的元素,故 1 ∈ A,故 A 正确, B,D 错误. {1} 是集合,且{1} ⊆ A,故 C 错误. 3. A　 【解析】 空集是不含任何元素的集合,故 A正确,D错误;⌀ 是集合{0} 的真子集,故 B错误;对于 C,元素与集合之间的关 系只能是属于或不属于,故 C 错误. 4. D　 【解析】 因为集合 M = {1,2,3},N = {1},则 N ⊆ M,但 2 ∈ M 且 2 ∉ N,所以 N ⊆ M. 5. C　 【解析】 因为 N = {0},集合 N 中有一个元素,所以 N 不是空集,故 A 错误. 集合 N 中的每一个元素都是集合 M 的元素, 所以 N ⊆ M,故 B,D 错误,C 正确. 6. C　 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集,所以 1 2 ∉ N, 1 2 ∉ Z, 1 3 ∈ Q,故 A,B 不符合题意,C 符合题 意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 不符合题意. 7. A　 【解析】 因为集合{a,0,1} = {a2 ,a,0},所以a2 = 1,解得 a = - 1 或 a = 1,在集合{a,0,1} 中,由同一个集合中的元素 的互不相同,知 a ≠ 0 且 a ≠ 1,所以实数 a 的值为 - 1. 8. B　 【解析】 因为空集是任何集合的子集,所以 ⌀ ⊆ A,故 A 错误;因为 2 是无理数,所以 2 ∉ A,故 B 正确,C,D 错误. 9. B　 【解析】 集合 A = {1,2,3} 的真子集有 ⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 10. C　 【解析】 易知 0 是元素,⌀ 是空集,{0},{0,1,2,3} 是集合,所以 0 ∉ ⌀,⌀ ⫋ {0},0 ∈ {0,1,2,3},{0} ⫋ {0,1,2,3}, 故 C 正确. 11. {21,22,23}　 【解析】 大于 20 且小于 24 的所有整数有 21,22,23,所以大于 20 且小于 24 的所有整数组成的集合可表示为 {21,22,23} . 12. { - 3,3}　 【解析】 方程x2 - 9 = 0 即x2 = 9 在实数范围内的解为 x = 3 或 x = - 3,所以 A = { - 3,3} . 1. 2　 集合的运算 1. C　 【解析】 因为集合 M = {0,1,2,3},N = {2,3,4},所以 M ∩ N = {2,3} . 2. D　 【解析】 因为集合 A = {2,3,4} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{1,2,3,4},所以 A ∪ B = {1,2,3,4} . 3. B　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},所以 A ∩ B = { - 2, - 1,0} . 4. D　 【解析】 因为集合 A = {0,1,2} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1,2,3} . 因 781 为同一个集合中的元素必须是互不相同的,所以 A 不符合题意. 5. C　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},所以 A ∪ B = {x | - 2 < x < 5} . 6. B　 【解析】 因为集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4},所以∁U A = {1,3,5} . 7. D　 【解析】 易得A = {x | x2 - 7x < 0} = {x | x(x - 7) < 0} = {x | 0 < x < 7},则 ∁RA = {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} . 8. C　 【解析】 因为集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},集合 B = {x | 1 ≤ x < 3},所以 A ⊈ B,B ⊈ A,A ∩ B = {x | 2 < x < 3} ,A ∪ B = {x | 1 ≤ x ≤ 3},故 C 正确,A,B,D 不正确. 9. A　 【解析】 因为全集U = {0,1,2,3,4},A = {1,2},B = {2,3},所以∁UA = {0,3,4},∁UB = {0,1,4},所以(∁UA) ∩ (∁UB) = {0,4} . 10. D　 【解析】 因为集合 A = {1,a},B = {1,2,3,4},且 A ∩ B = {1,4},所以集合 A 中必须含有元素 4,所以 A = {1,4},所 以 a = 4. 11. C　 【解析】 因为全集 U = {1,3,5,7,9},∁UA = {5,7},所以集合 A = {1,3,9},又 A = {1,a - 5,9},所以 a - 5 = 3,解得 a = 8. 12. C　 【解析】 因为集合 A = {1,3},B = {0,a},且 A ∪ B = {0,1,2,3},所以集合 B 中一定含有元素 2,所以 B = {0,2},所 以 a = 2. 1. 3　 充 要 条 件 1. B　 【解析】 由“a < 5” 不能推出“a < 3”,所以“a < 5” 不是“a < 3” 的充分条件. 由“a < 3” 能推出“a < 5”,所以“a < 5” 是“a < 3” 的必要条件. 故“a < 5” 是“a < 3” 的必要不充分条件. 2. C　 【解析】 当 x = 0 时,xy = 0;当 xy = 0 时,x = 0 或 y = 0. 故“x = 0” 是“xy = 0” 的充分不必要条件. 3. A　 【解析】 由“x > 4” 可推出“x > 2”,即充分性成立,由“x > 2” 不能推出“x > 4”,即必要性不成立,所以“x > 4” 是 “x > 2” 的充分不必要条件. 4. C　 【解析】 由题意可知,集合{x | - 1 2 < x < 3} 是{x | - 1 < x < 6} 的真子集,所以由 - 1 2 < x < 3 可推出 - 1 < x < 6,即充分性成立,由 - 1 < x < 6 不能推出 - 1 2 < x < 3,即必要性不成立,所以“ - 1 < x < 6” 是“ - 1 2 < x < 3” 的一个 必要不充分条件. 5. C　 【解析】 由实数大小关系的性质知 a > 3,则 a - 3 > 0,所以“a > 3” 是“a - 3 > 0” 的充要条件. 6. D　 【解析】 当 x为整数时,2x + 1 一定为整数,即充分性成立;当 2x + 1 为整数时,x不一定为整数,如 2x + 1 = 2 时,x = 1 2 , 即必要性不成立. 综上,“x 为整数” 是“2x + 1 为整数” 的充分不必要条件. 7. B　 【解析】 由(x + 2)(x - 4) = 0 得 x = - 2 或 x = 4,所以“(x + 2)(x - 4) = 0” 不能推出“x = 4”,即充分性不成立;由 “x = 4” 能推出“(x + 2)(x - 4) = 0”,即必要性成立. 综上,“(x + 2)(x - 4) = 0” 是“x = 4” 的必要不充分条件. 8. B　 【解析】 由 | x | < 1 得 - 1 < x < 1. 因为“x < 1” 不能推出“ - 1 < x < 1”,但“ - 1 < x < 1” 可以推出“x < 1”,所以 “x < 1” 是“ | x | < 1” 的必要不充分条件. 9. C　 【解析】 若 | x | = 0,则 x = 0. 若x2 = 0,则 x = 0. 故“ | x | = 0” 是“x2 = 0” 的充要条件. 10. C　 【解析】 单位向量是指模长为 1 的向量,因此若 | e | = 1,则 e 是单位向量;若 e 是单位向量,则 | e | = 1. 故 | e | = 1 是 向量 e 为单位向量的充要条件. 881 4. 设集合 M = {1,2,3},N = {1},则下列关系中正确的是 (　 　 ) A. N ∈ M B. N ∉ M C. N ⊇ M D. N ⊆ M 5. (2021,1) 设集合 M = { - 1,0,1},N = {0},则 (　 　 ) A. N 为空集 B. N ∈ M C. N ⊆ M D. M ⊆ N 6. 下列元素与集合的关系表示正确的是 (　 　 ) A. 1 2 ∈ N B. 1 2 ∈ Z C. 1 3 ∈ Q D. 0 ∈ ⌀ 7. 若集合{a,0,1} = {a2,a,0},则实数 a 的值为 (　 　 ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. - 1 或 1 8. 设集合 A = {x ∈ Q | x > - 1},则 (　 　 ) A. ⌀ ∉ A B. 2 ∉ A C. 2 ∈ A D. { 2 } ⊆ A 9. 设集合 A = {1,2,3},则 A 的真子集的个数是 (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 10. 下列关系中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∈ ⌀ B. {0} ∈ ⌀ C. 0 ∈ {0,1,2,3} D. {0} ∈ {0,1,2,3} 11. 设 A 是由大于 20 且小于 24 的所有整数组成的集合,则 A = . 12. 设 A 是方程x2 - 9 = 0 的所有实数解组成的集合,则 A = . 1. 2　 集合的运算 !"#$ 1. 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 2. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 3. 能利用集合的运算解决简单的参数问题. 5 1.交集 文字语言 由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合,记作 A ∩ B,读作“A 交 B” 符号语言 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} 图形语言 说明 A ∩ B:集合 A,B 共有的元素组成的新集合 2.并集 文字语言 由集合 A 与集合 B 的所有元素组成的集合,记作 A ∪ B,读作“A 并 B” 符号语言 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} 图形语言 说明 A ∪ B:把集合 A,B 的元素合在一起,且公共元素只出现一次 3.全集与补集 (1) 全集:在研究某些集合时,如果这些集合是一个给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通 常记作 U. (2) 补集的概念 文字语言 若集合 A 是全集 U的一个子集,那么全集 U中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,称为集合 A 在全集 U 中的补集,记作∁UA,读作“A 在 U 中的补集” 符号语言 ∁UA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} 图形语言 说明 ∁UA:全集 U 中,剔除 A 集合的所有元素,剩下的元素组成的新集合 !"#$ 题型一:并集与交集的运算 ! 1 已知集合 M = {1,3,6},N = {3,4,5,6},则 M ∩ N = (　 　 ) A. {1,4,6} B. {1,4,5,6} C. {3,6} D. {1,3,4,5,6} 【解析】 因为既属于集合 M = {1,3,6} 又属于集合 N = {3,4,5,6} 的所有元素为 3,6, 所以 M ∩ N = {3,6} . 【答案】 C 6 ! 2 若集合 A = {0,1,2,3},B = {1,2,4},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0,1,2,3,1,2,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0,1,2,3,4} 【解析】 由集合 A = {0,1,2,3} 与集合 B = {1,2,4} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3,4}, 所以 A ∪ B = {0,1,2,3,4} . 因为同一个集合中的元素必须是互不相同的, 所以 A 不符合题意. 【答案】 D ! 3 若集合 A = {x | 0 < x < 2 },B = {x | 1 ≤ x < 2},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {x | x ≤ 0} B. {x | x ≥ 2} C. {x | 0 ≤ x ≤ 2 } D. {x | 0 < x < 2} 【解析】 将集合 A,B 表示在数轴上,如图. 由数轴可知 A ∪ B = {x | 0 < x < 2} . 【答案】 D ! 4 (2020,1) 已知集合 A = {x | x2 + x - 6 < 0},B = { - 2, - 1,1,2},则 A ∩ B = (　 　 ) A. { - 2, - 1,1} B. { - 2, - 1,1,2} C. { - 1,1,2} D. { - 3, - 2, - 1,1,2} 【解析】 易知一元二次方程 x2 + x - 6 = 0 的两根为 x1 = - 1 + 12 - 4 × 1 × ( - 6) 2 = 2, x2 = - 1 - 12 - 4 × 1 × ( - 6) 2 = - 3, 又 x2 + x - 6 < 0 的二次项系数为 1 > 0, 所以不等式 x2 + x - 6 < 0 的解集为{x | - 3 < x < 2}, 所以 A = {x | - 3 < x < 2} . 又 B = { - 2, - 1,1,2}, 所以 A ∩ B = { - 2, - 1,1} . 【答案】 A 题型二:全集与补集的运算 ! 5 全集 U = {0,1,2,3,4},A = {1,2,3},则∁U A = . 【解析】 全集 U = {0,1,2,3,4} 中,剔除集合 A = {1,2,3} 的所有元素, 剩下的元素组成的新集合为{0,4}, 所以∁U A = {0,4} . 【答案】 {0,4} 7 ! 6 (2021,11) 已知全集 U = {0,1,2,3,4,5}, 集合 M = {1,2,3},N = {1,2,3,4}, 则∁UM ∩ N = . 【解析】 因为全集 U ={0,1,2,3,4,5},集合 M ={1,2,3}, 所以集合∁U M ={0,4,5} . 因为集合 N ={1,2,3,4}, 所以∁UM ∩ N = {4} . 【答案】 {4} 题型三:集合运算有关参数问题 ! 7 已知集合 A = {m,2},集合 B = {1,2},若 A ∪ B = { - 1,1,2},则实数 m = . 【解析】 因为集合 A = {m,2},集合 B = {1,2},A ∪ B = { - 1,1,2}, 所以集合 A 中必含有元素 - 1, 所以 m =- 1. 【答案】 - 1 1. 设集合 M = {0,1,2,3},N = {2,3,4},则 M ∩ N = (　 　 ) A. {0,1,4} B. 2,3 C. {2,3} D. {0,1,2,3,4} 2. 若集合 A = {2,3,4},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {1,2,3,4} 3. 已知集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},则 A ∩ B = (　 　 ) A. { - 2, - 1,0,1} B. { - 2, - 1,0} C. { - 1,0} D. { - 1,0,1} 4. 已知集合 A = {0,1,2},B = {1,2,3},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {0,1,2,1,2,3} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {0,1,2,3} 5. 已知集合 A = {x | - 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 < x < 5},则 A ∪ B = (　 　 ) A. {x | x ≤- 2 或 x ≥ 5} B. {x | x ≤ 1 或 x > 3} C. {x | - 2 < x < 5} D. {x | 1 < x ≤ 3} 6. 设集合 U = {0,1,2,3,4,5},A = {0,2,4} ,则∁U A = (　 　 ) A. {2,4} B. {1,3,5} C. {0,2,4} D. {0,1,2,3,4,5} 8 7. 已知集合 A = {x | x2 - 7x < 0},则∁RA = (　 　 ) A. {x | 0 < x < 7} B. {x | 0 ≤ x ≤ 7} C. {x | x < 0 或 x > 7} D. {x | x ≤ 0 或 x ≥ 7} 8. (2017,1) 若集合 A = {x | 2 < x ≤ 3},B = {x | 1 ≤ x < 3},则下列式子正确的是 (　 　 ) A. A ⊆ B B. A ⊇ B C. A ∩ B = {x | 2 < x < 3} D. A ∪ B = {x | 2 ≤ x ≤ 3} 9. 设全集 U = {0,1,2,3,4},集合 A = {1,2},B = {2,3},则(∁UA) ∩ (∁UB) = (　 　 ) A. {0,4} B. {4} C. {1,2,3} D. ⌀ 10. 已知集合 A = {1,a},B = {1,2,3,4},且 A ∩ B = {1,4},则 a = (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 设全集 U = {1,3,5,7,9},集合 A = {1,a - 5,9},∁UA = {5,7},则 a = (　 　 ) A. 2 B. - 2 C. 8 D. - 8 12. 已知集合 A = {1,3},B = {0,a},且 A ∪ B = {0,1,2,3},则 a = (　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 1. 3　 充 要 条 件 !"#$ 1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的含义; 2. 能熟练判断命题“若 p,则 q” 条件与结论的关系(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不 充分也不必要条件) . 1.命题 (1) 判断为真的命题称为真命题,判断为假的命题称为假命题. (2) 一般地,对于形如“如果 p,那么 q” 的命题,我们称 p为命题的条件,简称条件;称 q为命题的结论,简 称结论. 2.充分条件与必要条件 “若 p,则 q” 为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q,称 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件,记 作 p⇒q. 3.充要条件 如果 p 是 q 的充分条件(p⇒q),p 又是 q 的必要条件(q⇒p),则称 p 是 q 的充要条件,记作 p⇔q. 9