1.1 集合及其表示与集合间的关系-2024版河南省职教高考数学复习教材

1. 1　 集合及其表示与集合间的关系 !"#$ 1. 了解集合与元素的概念,能正确使用符号表示元素与集合之间的关系; 2. 掌握常用数集的字母表示; 3. 了解表示集合的列举法和描述法; 4. 理解元素与集合之间,集合与集合之间的关系(子集、真子集、相等),熟练判断集合与集合间的关系. 1.集合及元素 (1) 定义 一般地,由某些确定的对象组成的整体称为集合,简称为集,组成这个集合的对象称为这个集合的元素. 　 　 ① 组成集合的对象必须是确定的; ② 同一个集合中的元素必须是互不相同的. (2) 集合与元素的表示及关系 元素 集合(集) 表示 a,b,c A,B,C 关系 a ∈ A(a 是 A 中的元素) 或 a ∉ A(a 不是 A 中的元素) 2.集合的分类 含有有限个元素的集合称为有限集,例如集合{1,2,3,4},{ - 1,1} 均为有限集. 不含任何元素的集合称为空集,记作 ⌀. 含有无限个元素的集合称为无限集,例如集合{x | 2 < x < 3},{ - 1,3,5,…} 均为无限集. 由数组成的集合称为数集. 1 3.常用数集及其记法 N 自然数集(0,1,2,3,…,非负整数组成的集合) N∗ 或 N + 正整数集(1,2,3,…,正整数组成的集合) Z 整数集(…, - 2, - 1,0,1,2,…,整数组成的集合) Q 有理数集(整数和分数组成的集合) R 实数集(有理数和无理数组成的集合) 4.集合的表示方法 (1) 列举法:集合的所有元素用花括号“{}” 括起来,如集合{1,2,3} 表示只有元素 1,2,3 的集合. (2) 描述法:在花括号“{}” 中画一条竖线,竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围,竖线的右侧是元 素所具有的特征性质,如集合{x | x > 1} 表示所有大于 1 的实数组成的集合. 　 　 有些集合只能用列举法或描述法表示,有些集合两种方法都适用,要根据具体问题进行具体分析. 例 如方程 x2 = 4 的所有实数解组成的集合 A, 用列举法可表示为 A = { - 2,2}, 用描述法可表示为 A = {x | x2 = 4} . 5.集合之间的关系 子集 真子集 集合相等 概念 集合 A 中的每一个元素都是集合 B 的元素 集合 A ⊆ B, 但 存 在 x ∈ B, 且x ∉ A 集合 A 的元素与集合 B 的元素相同 记法 A ⊆ B 或 B ⊇ A A ⫋ B 或 B ⫌ A A = B 读法 “A 包含于 B”(或“B 包含 A”) “A 真包含于 B”(或“B 真包含 A”) “集合 A 等于 B” 图示 　 　 ① 空集是任何集合的子集. ② 若集合 A 不是集合 B 的子集,记作 A ⊈ B 或 B ⊉ A. 2 !"#$ 题型一:元素与集合的关系 ! 1 下列元素与集合的关系表示不正确的是 (　 　 ) A. 1 ∈ N B. 1 ∈ Z C. 3 2 ∈ Q D. 0 ∈ ⌀ 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集,所以 1 ∈ N,1 ∈ Z, 3 2 ∈ Q,故 A,B,C 不符合 题意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 符合题意. 【答案】 D 题型二:集合的表示方法 ! 2 集合{x ∈ N | x < 5} 用列举法表示正确的是 (　 　 ) A. {1,2,3,4} B. {0,1,2,3,4,4} C. {0,1,2,3,4} D. {0,1,2,3,4,5} 【解析】 因为 N = 0,1,2,3,4,5,…, 所以集合{x ∈ N | x < 5} 用列举法表示为{0,1,2,3,4} . 因为同一个集合中的元素必须是互不相同的, 所以 B 不符合题意,C 符合题意. 【答案】 C ! 3 (2022,11) 设集合 A 是 18 的全体约数组成的集合,则 A 表示为 . 【解析】 易知 18 的全体约数为 1,2,3,6,9,18, 所以集合 A = {1,2,3,6,9,18} . 【答案】 {1,2,3,6,9,18} 题型三:集合间的基本关系 ! 4 (2023,1) 若 A = {x | x ≤ 0},则正确的关系式是 (　 　 ) A. 0 ⊆ 0 B. {0} ∈ A C. ⌀ ∈ A D. {0} ⊆ A 【解析】 易知集合 A = {x | x ≤ 0} 中含有元素 0,所以 0 ∈ A,{0} ⊆ A,⌀ ⊆ A,故 A,B,C 不正确,D 正确. 【答案】 D 3 ! 5 已知集合 M = {0,1},N = {0,1,2},则下列结论正确的是 (　 　 ) A. N ⊆ M B. M ⊆ N C. M = N D. 以上都不正确 【解析】 由集合 M = {0,1},N = {0,1,2} 知,集合 M 中的元素都是集合 N 的元素,2 ∈ N 且 2 ∉ M, 所以 M ⫋ N, 所以 N ⊈ M,M ⊆ N,M ≠ N. 【答案】 B ! 6 设集合 M = {0,1,3},则 M 的子集的个数为 (　 　 ) A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 【解析】 集合 M = {0,1,3} 的子集有 ⌀,{0},{1},{3},{0,1},{0,3},{1,3},{0,1,3},共 8 个. 【答案】 D ! 7 (2019,11) 集合 A = {1,3,a},B = {3,a2},若 A ∩ B = {3,a},则 a 的值是 . 【解析】 因为集合 A = {1,3,a},B = {3,a2},A ∩ B = {3,a}, 所以 a2 = a,解得 a = 0 或 a = 1. 当 a = 0 时,A = {1,3,0},B = {3,0}, A ∩ B = {3,0},符合题意. 当 a = 1 时,不满足集合 A 中有 3 个元素,不符合题意. 【答案】 0 1. 已知 M 是由 1,2,3 三个元素构成的集合,则集合 M 可表示为 (　 　 ) A. {x | x = 1} B. {x | x = 2} C. {1,2} D. {1,2,3} 2. 设集合 A = {x | x ≥- 1},则下列四个关系中正确的是 (　 　 ) A. 1 ∈ A B. 1 ∉ A C. {1} ∈ A D. 1 ⊆ A 3. 下列关系中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∉ ⌀ B. {0} ⊆ ⌀ C. 0 ⊆ ⌀ D. 0 ∈ ⌀ 4 4. 设集合 M = {1,2,3},N = {1},则下列关系中正确的是 (　 　 ) A. N ∈ M B. N ∉ M C. N ⊇ M D. N ⊆ M 5. (2021,1) 设集合 M = { - 1,0,1},N = {0},则 (　 　 ) A. N 为空集 B. N ∈ M C. N ⊆ M D. M ⊆ N 6. 下列元素与集合的关系表示正确的是 (　 　 ) A. 1 2 ∈ N B. 1 2 ∈ Z C. 1 3 ∈ Q D. 0 ∈ ⌀ 7. 若集合{a,0,1} = {a2,a,0},则实数 a 的值为 (　 　 ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. - 1 或 1 8. 设集合 A = {x ∈ Q | x > - 1},则 (　 　 ) A. ⌀ ∉ A B. 2 ∉ A C. 2 ∈ A D. { 2 } ⊆ A 9. 设集合 A = {1,2,3},则 A 的真子集的个数是 (　 　 ) A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 10. 下列关系中正确的是 (　 　 ) A. 0 ∈ ⌀ B. {0} ∈ ⌀ C. 0 ∈ {0,1,2,3} D. {0} ∈ {0,1,2,3} 11. 设 A 是由大于 20 且小于 24 的所有整数组成的集合,则 A = . 12. 设 A 是方程x2 - 9 = 0 的所有实数解组成的集合,则 A = . 1. 2　 集合的运算 !"#$ 1. 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 2. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 3. 能利用集合的运算解决简单的参数问题. 5 第一章 　 集合与充要条件 1. 1　 集合及其表示与集合间的关系 1. D　 【解析】 因为集合 M 是由 1,2,3 三个元素构成,所以用列举法表示集合 M = {1,2,3} . 2. A　 【解析】 因为 A = {x | x ≥- 1} 表示所有不小于 - 1 的实数组成的集合,所以 1 是集合 A中的元素,故 1 ∈ A,故 A 正确, B,D 错误. {1} 是集合,且{1} ⊆ A,故 C 错误. 3. A　 【解析】 空集是不含任何元素的集合,故 A正确,D错误;⌀ 是集合{0} 的真子集,故 B错误;对于 C,元素与集合之间的关 系只能是属于或不属于,故 C 错误. 4. D　 【解析】 因为集合 M = {1,2,3},N = {1},则 N ⊆ M,但 2 ∈ M 且 2 ∉ N,所以 N ⊆ M. 5. C　 【解析】 因为 N = {0},集合 N 中有一个元素,所以 N 不是空集,故 A 错误. 集合 N 中的每一个元素都是集合 M 的元素, 所以 N ⊆ M,故 B,D 错误,C 正确. 6. C　 【解析】 因为 N 是自然数集,Z 是整数集,Q 是有理数集,所以 1 2 ∉ N, 1 2 ∉ Z, 1 3 ∈ Q,故 A,B 不符合题意,C 符合题 意. ⌀ 中没有任何元素,所以 0 ∉ ⌀,故 D 不符合题意. 7. A　 【解析】 因为集合{a,0,1} = {a2 ,a,0},所以a2 = 1,解得 a = - 1 或 a = 1,在集合{a,0,1} 中,由同一个集合中的元素 的互不相同,知 a ≠ 0 且 a ≠ 1,所以实数 a 的值为 - 1. 8. B　 【解析】 因为空集是任何集合的子集,所以 ⌀ ⊆ A,故 A 错误;因为 2 是无理数,所以 2 ∉ A,故 B 正确,C,D 错误. 9. B　 【解析】 集合 A = {1,2,3} 的真子集有 ⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 10. C　 【解析】 易知 0 是元素,⌀ 是空集,{0},{0,1,2,3} 是集合,所以 0 ∉ ⌀,⌀ ⫋ {0},0 ∈ {0,1,2,3},{0} ⫋ {0,1,2,3}, 故 C 正确. 11. {21,22,23}　 【解析】 大于 20 且小于 24 的所有整数有 21,22,23,所以大于 20 且小于 24 的所有整数组成的集合可表示为 {21,22,23} . 12. { - 3,3}　 【解析】 方程x2 - 9 = 0 即x2 = 9 在实数范围内的解为 x = 3 或 x = - 3,所以 A = { - 3,3} . 1. 2　 集合的运算 1. C　 【解析】 因为集合 M = {0,1,2,3},N = {2,3,4},所以 M ∩ N = {2,3} . 2. D　 【解析】 因为集合 A = {2,3,4} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{1,2,3,4},所以 A ∪ B = {1,2,3,4} . 3. B　 【解析】 因为集合 A = {x | - 2 ≤ x < 1},B = { - 2, - 1,0,1},所以 A ∩ B = { - 2, - 1,0} . 4. D　 【解析】 因为集合 A = {0,1,2} 与集合 B = {1,2,3} 的所有元素组成的集合为{0,1,2,3},所以 A ∪ B = {0,1,2,3} . 因 781