15.2 二次根式的乘除运算（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

15.2 二次根式的乘除运算 数学（冀教版） 八年级 上册 第十五章 二次根式 学习目标 1.会进行简单的二次根式的乘法运算和除法运算； 2.会利用积与商的算术平方根的性质化简二次根式； 3.掌握最简二次根式的概念； 　 温故知新 二次根式有哪些性质？ ① ② =∣a∣ = a (a≥ 0) -a (a＜0) ③ 讲授新课 知识点一 二次根式的乘法 × 学校教学楼前有一矩形花坛（长宽如图所示），现在学校根据需要，想把它改建为草坪。若全部铺满，请同学们预算一下：需购买多少平方米的草皮呢？ 讲授新课 1.试一试，计算下列各式的值： ★ 观察两题计算结果：你有何新发现?（请用含有字母a，b的式子表达） 讲授新课 2.用上题你所发现的规律填空: ★ 思考与交流： （1）以上两式，是否都成立？请说明理由； （2）在你上面所发现的规律表达式中，a，b可否为任意实数？说明理由。 讲授新课 二次根式的乘法法则： 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。 推广： 讲授新课 （a≥0，b≥0） 根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数 根式和根式按公式相乘。 讲授新课 反过来，得到： 积的算术平方根,等于积中各因式算术平方根的积。 将二次根式乘法法则： 积的算术平方根的性质： ★注意：积的算术平方根与二次根式的乘法是互逆运算关系。 讲授新课 积的算术平方根,等于积中各因式算术平方根的积。 积的算术平方根的性质： 利用它可以对二次根式进行化简。 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来。 讲授新课 化简二次根式的步骤 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数。 2.应用 3.将平方项应用 化简。 根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。 讲授新课 典例精析 【例1】计算: 解: 讲授新课 练一练 1、计算： 解: 讲授新课 解：（1） ； 2、化简： （1）　　　 　；（2） ．　　 （2） 讲授新课 2、化简： 解: 讲授新课 知识点二 二次根式的除法 探究一：二次根式除法的运算法则 2 3     = = 25 0.6     0.5 36 从中你发现了什么规律？ 讲授新课 二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 讲授新课 把 反过来，就得到 利用它可以进行二次根式的化简。 探究二：二次根式商的算术平方根的性质 讲授新课 典例精析 【例2】计算: 解: 讲授新课 【例3】化简: 解: 补充解法： 讲授新课 练一练 1、计算： 解: (1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 讲授新课 2、化简: 解: 讲授新课 知识点三 最简二次根式 观察下列二次根式及其化简所得结果,比较被开方数发生了什么变化? 被开方数不含开得尽方的因数。 被开方数不含分母。 讲授新课 满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。 （1）被开方数中的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （3）分母中不含根号。 讲授新课 　化简二次根式的步骤: 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面 ； 3.将被开方数中的分母化去； 4.被开方数是带分数或小数时要化成假分数。 讲授新课 典例精析 【例4】把下列二次根式化成最简二次根式： 解: 讲授新课 练一练 1、设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值. 解:∵ ∴ 讲授新课 2、计算： 解:(1)原式 ． (2)原式 ． 当堂检测 1.计算×的结果为( ) A.2 B.4 C.2 D.4 2.下列计算正确的是( ) A.×2=6 B.5×5=5 C.4×2=6 D.4×2=8 3.下列各式化简后的结果为3的是( ) A. B. C. D. B D C 当堂检测 4．下列式子中，属于最简二次根式的是（　 ） A． B． C． D． 5．的倒数是（　 ） A． B． C． D． 6．若成立，则的值可以是（     ） A．-4 B．2 C．4 D．5 B A B 当堂检测 7.二次根式 中，最简二次根式是 ______________. 8.已知长方形的面积是48cm2， 其中一边的长是cm ,则另一边的长是______cm. 当堂检测 9.把下列二次根式化成最简二次根式： 解: 当堂检测 10．计算 (1)； (2). 解：（1）原式 ； （2）原式= = = 当堂检测 11．计算： (1)； (2)2×. 解：（1）原式=； （2）原式=． 当堂检测 12.化简. 解: 当堂检测 13.计算. 解: (1)原式 (2)原式 (3)原式 当堂检测 14.一个长方形的长和宽分别是 和 . 求这个长方形的面积. 解： 答：这个长方形的面积为 . 当堂检测 15．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式. 解得： ∴符合题意 . 课堂小结 一般地，二次根式的乘法法则是： 语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 即：二次根式相乘，________不变，________相乘. 根指数 被开方数 课堂小结 一般地，二次根式的除法法则是： 语言表述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 即：二次根式相除，________不变，________相除. 根指数 被开方数 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得 谢 谢~ $$