第08讲 实际问题与一元一次方程-方案选择与阶段收费问题（3个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第08讲 实际问题与一元一次方程（方案选择与阶段收费） 课程标准 学习目标 ①方案选择问题 ②阶段收费问题 ③其他问题 1. 掌握解决方案选择问题的具体步骤，并能够在解决问题时熟练应用。 2. 掌握分阶段收费问题的基本方法，并能够熟练应用。 3. 掌握其他实际问题的核心等量关系，能快速建立方程并解决问题。 知识点01 方案选择问题 1. 解决方案选择问题的具体步骤： （1） 设：设未知数； （2） 列式：列出各个方案的表达式； （3） 比较：带入数值计算出结果比较或者式子之间作差比较； （4） 选择：根据比较的结果选择合适的方案。 【即学即练1】 1．某校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（x＞40），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按90%付款． （1）请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付 　 　元，到乙商店购买需要支付 　 　元； （2）若x＝100，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； （3）若到甲、乙两家的优惠相同，可列方程为 　 　． 知识点02 阶段收费问题 1. 阶段收费问题： 分段计费问题主要解决的时电费分段，水费分段，网费分段，车费分段，电话费分段等。 总费用＝各分段费用之和。在解决问题时一定要注意各分段中未知数的取值范围，在相应的范围内验证答案是否符合题意。 【即学即练1】 2．为了提倡节约用水，采用“阶梯水价”收费办法：每户用水不超过5方，每方水费x元，超过5方，超过部分每方加收2元，小张家今年3月份用水11方共交水费56元，根据题意列出关于x的方程，正确的是（　　） A．5x+6（x﹣2）＝56 B．5x+6（x+2）＝56 C．11（x+2）＝56 D．11（x+2）﹣6×2＝56 【即学即练2】 长春市居民生活用电阶梯收费标准如表： 档级 月用电量 电价 第1档 170度以下（含170度） 0.525元/度 第2档 170度～260度（含260度） 超过170度部分按0.575元/度 第3档 260度以上 超过260度部分按0.825元/度 根据收费标准，解答下列问题： （1）小军家6月用电量为150度，求这个月应缴的电费； （2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费 　 　元（用含x的代数式表示）； （3）8月出现了高温天气，小军家缴电费157.5元，求这个月的用电量． 知识点03 其他实际问题 1. 其他实际问题： 在实际问题与一元一次方程中，还存在一些其他的问题，如年龄问题，数字问题，储蓄问题，面积问题等，基本核心都是找道题目中的等量关系然后列出问题然后解决问题。 【即学即练1】 4．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程（　　） A．（9﹣x）x﹣[10x+（9﹣x）]＝45 B．[10（9﹣x）+x]﹣[10x+（9﹣x）]＝45 C．[10（9﹣x）+x]＝[10x+（9﹣x）]﹣45 D．（9﹣x）x﹣x（9﹣x）＝45 【即学即练2】 5．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为14cm和6cm，如图所示，则图中阴影部分的总面积为（　　）cm2． A．36 B．44 C．84 D．96 【即学即练3】 6．4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，如图是两个孩子与记者的对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 题型01 方案选择问题 【典例1】某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出食品的质量（单位：吨） ﹣4 4 ﹣1 3 ﹣3 进出次数 2 1 4 3 2 （1）这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是增加了还是减少了？请说明理由； （2）根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用200元，运出每吨冷冻食品费用400元； 方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是300元． 从节约运费的角度考虑，选择哪一种方案比较合算？ 【变式1】2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． （1）A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ （2）若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【变式2】某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，售价为每支12元．每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负．该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如表所示． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 每天售出的数量（支） ﹣2 +4 0 ﹣5 +7 （1）在这5天中，第一天售出该种钢笔 　 　支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔 　 支； （2）求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润； （3）该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，每支12元；若超过5支，则超过部分每支降价4元； 方案二：每支均打七五折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买x（x＞5）支该种钢笔作为奖品，通过计算说明购买钢笔多少支时两种方案价格相同． 【变式3】希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； （1）每件服装标价多少元？ （2）该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如表所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． （3）在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价50%进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有20%需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利淘，需要准备再次购进服装多少件？ 【变式4】2023年11月底，某网店从甲厂家购进了A，B两种商品，A种商品每件进价40元，B种商品每件进价10元，两种商品共购进了500件，所用资金为11000元． （1）求11月底A、B两种商品各购进了多少件？ （2）2024年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产A，B两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过2000元 不打折 超过2000元，未超过5000元 全部打九折 超过5000元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买A种商品的总件数 购买B种商品的总件数 优惠 未超过50件 未超过200件 打九折 超过50件，未超过130件的部分 超过200件，未超过400件的部分 打八折 超过130件的部分 超过400件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进A，B两种商品，进价与11月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进A种商品实际付款4320元，第二次全部购进B两种商品实际付款3690元．已知从乙厂家购买A种商品每件进价34元，购买B种商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的A，B两种商品，并享受乙家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，该网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 题型02 阶段收费问题 【典例1】水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.5元/立方米收费，超过20立方米的部分按2.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费40元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用x立方米的水，下列方程正确的是（　　） A．1.5x＝40 B．1.5×20+2.5（x﹣20）＝40 C．2.5x＝40 D．2.5×20+1.5（x﹣20）＝40 【变式1】某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（　　） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【变式2】为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． （1）林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ （2）马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 【变式3】我国资源产品价格严重偏低，是造成加工业经营粗放、浪费严重的重要原因之一．因此，资源产品价格改革可以充分地反映资源的稀缺程度、供求关系和环境成本，是转变发展方式，实现经济健康可持续发展的必然途径．资源价格改革的方向是要逐步建立由市场供求决定的价格机制．优化销售电价分类结构，有利于减少交叉补贴，建立有利于节能减排，引导用户合理用电的电价体系．因此，厦门市某小区2023年1月1日开始实行新的阶梯电价制，居民生活用电价格方案如下： 档次 月用电量 电价（单位：元/度） 春秋季 （3，4，5，9，10，11月） 冬夏季 （1，2，6，7，8，12月） 第一档 不超过200度的部分 不超过200度的部分 0.5 第二档 超过200度但是不超过350度的部分 超过200度但是不超过450度的部分 0.55 第三档 超过350度的部分 超过450度的部分 0.8 （1）若小炜家2023年1月用电量为100度，则需交电费 　 　元；若他家同年5月缴纳电费155元，则这个月用电量为 　 　度． （2）若小豪家2023年5月用电量为400度，则需交电费多少元？ （3）若小豪家2023年8月和9月用电量相同，共交电费660元，则小豪家8月份用多少度电？ 【变式4】“阶梯水价”充分发挥市场、价格因素在水资源配置、水需求调节等方面的作用，拓展了水价上调的空间，增强了企业和居民的节水意识，避免了水资源的浪费．阶梯式计量水价将水价分为两段或者多段，每一分段都有一个保持不变的单位水价，但是单位水价会随着耗水量分段而增加．某地“阶梯水价”收费标准如下表（按月计算）： 用水量（单位：m3） 单价（元/m3） 不超过10m3 2 超出10m3，不超出15m3的部分 3 超出15m3的部分 5 例如：该地区某户居民3月份用水12m3，则应交水费为2×10+3×（12﹣10）＝26（元）．根据上表的内容解答下列问题： （1）用户甲5月份用水16m3，则该用户5月份应交水费多少元？ （2）用户乙5月份交水费50元，则该用户5月份的用水量为多少m3？ （3）用户丙5、6两个月共用水30m3，其中6月份用水量超过了15m3，设5月份用水x m3，请用含x的式子表示该户居民5、6两个月共交的水费． 题型03 其他实际问题 【典例1】有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）．若长方形的周长为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（　　） A．x+（x+2）＝26 B．2x+2（x+2）＝26 C．x+（x﹣2）＝26 D．2x+2（x﹣2）＝26 【变式2】如图所示8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形． （1）将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由． （2）除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有 　 　（填写序号） （3）将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由． 【变式3】如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为40；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可得这根木棒的长为 　 　cm； （2）图中点A所表示的数是 　 　，点B所表示的数是 　 ； （3）受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小艺去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我就125岁啦！”分别求爷爷和小艺现在的年龄． 1．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（　　） A．2×10﹣3.5×（x﹣10）＝34 B．3.5×10+2×（x﹣10）＝34 C．2×10+3.5×（10﹣x）＝34 D．2×10+3.5×（x﹣10）＝34 2．惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（　　） A．50+0.8x＝x﹣10 B．50+0.8x+x＝10 C．0.8（50+x）＝x﹣10 D．50﹣0.8x＝10x 3．父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲（　　）岁． A．28 B．30 C．32 D．35 4．某商场针对一款服装给出两个调价方案： ①先提价10%，再降价10%； ②先降价20%，再提价20%． 下列说法正确的是（　　） A．①②两种方案的调价结果相同 B．方案①的售价比方案②的售价低 C．方案①的售价比方案②的售价高 D．无法比较，调整后的售价高低取决于服装原售价 5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（　　） A．77 B．84 C．90 D．105 6．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本1.5元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为1.4元；方式二：购买数量不多于50本时按定价销售，超过50本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为x（x＞50）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（　　） A．75 B．50 C．150 D．100 7．如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（　　） A．m B． C． D． 8．潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如表： 行驶里程 计费方法 不超过3公里 起步价8元 超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费 超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50% 超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75% 超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100% 说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算； 行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里． 若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（　　） A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里 9．某超市推出如下优惠方案： （1）购物款不超过200元不享受优惠； （2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； （3）购物款超过600元一律享受八折优惠． 小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（　　）元． A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80 10．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则x+y的值为（　　） A．1 B．9 C．5 D．4 11．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是 ． 12．《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为x cm，根据题意，可列方程为 　 　． 13．我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过15m3，每立方米收费3元；若用水超过15m3，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 　 　m3． 14．小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 　 　花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差 　 　元． 15．在长为4，宽为x（2＜x＜4）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 　 　． 16．经过市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种热水壶和杯子． （1）根据图中提供的信息，求一个杯子的价格是多少元？（列方程解决问题） （2）荔城区五校决定联合购买一批热水壶和杯子．经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买一个热水壶，送一个水杯；乙商场的优惠方案是：若购买热水壶超过50个，则购买的水杯打九折，若购买热水壶不超过50个，不打折．若城区五校联合购买100个热水壶和a（a＞100）个水杯，假如你是本次购买任务的负责人，你会选择到甲、乙两家中的哪一家商场购买更便宜？请说明理由． 17．古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： （1）丢番图的寿命； （2）丢番图开始当爸爸时的年龄； （3）儿子死时丢番图的年龄． 18．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 a+0.3 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元． （1）表中a的值为 　 　． （2）求老李家9月份的用电量； （3）若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量． 19．育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择． （1）已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ （2）因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 20．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，即它的对角线、横行、纵列的数字之和都相等．这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，每个横行数字和都是15，每个纵列的数字和也是15，每条对角线上的数字和也是15．所以在此幻方中有：幻和＝中心数×3． （1）如图2所示，则幻和＝ 　 　； （2）若b＝4，c＝6，求a的值是 　 　； （3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当x＝2，y＝﹣3时，则a﹣b﹣c+d的值为多少？（写出求解过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 实际问题与一元一次方程（方案选择与阶段收费） 课程标准 学习目标 ①方案选择问题 ②阶段收费问题 ③其他问题 1. 掌握解决方案选择问题的具体步骤，并能够在解决问题时熟练应用。 2. 掌握分阶段收费问题的基本方法，并能够熟练应用。 3. 掌握其他实际问题的核心等量关系，能快速建立方程并解决问题。 知识点01 方案选择问题 1. 解决方案选择问题的具体步骤： （1） 设：设未知数； （2） 列式：列出各个方案的表达式； （3） 比较：带入数值计算出结果比较或者式子之间作差比较； （4） 选择：根据比较的结果选择合适的方案。 【即学即练1】 1．某校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（x＞40），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按90%付款． （1）请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付 　（25x+3000）　元，到乙商店购买需要支付 　（22.5x+3600）　元； （2）若x＝100，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠； （3）若到甲、乙两家的优惠相同，可列方程为 　25x+3000＝22.5x+3600　． 【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把x＝100代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）根据甲、乙两家的优惠相同，可列方程即可． 【解答】解：（1）甲商店购买需付款：40×100+（x﹣40）×25＝（25x+3000）元， 乙商店购买需付款：100×90%×40+25×90%×x＝（22.5x+3600）元； 故答案为：（25x+3000），（22.5x+3600）； （2）当x＝100时， 甲商店需25×100+3000＝5500（元），乙商店需22.5×100+3600＝5850（元）； ∵5500＜5850， ∴所以甲商店购买合算； （3）若到甲、乙两家的优惠相同，可列方程为25x+3000＝22.5x+3600． 故答案为：25x+3000＝22.5x+3600． 知识点02 阶段收费问题 1. 阶段收费问题： 分段计费问题主要解决的时电费分段，水费分段，网费分段，车费分段，电话费分段等。 总费用＝各分段费用之和。在解决问题时一定要注意各分段中未知数的取值范围，在相应的范围内验证答案是否符合题意。 【即学即练1】 2．为了提倡节约用水，采用“阶梯水价”收费办法：每户用水不超过5方，每方水费x元，超过5方，超过部分每方加收2元，小张家今年3月份用水11方共交水费56元，根据题意列出关于x的方程，正确的是（　　） A．5x+6（x﹣2）＝56 B．5x+6（x+2）＝56 C．11（x+2）＝56 D．11（x+2）﹣6×2＝56 【分析】根据应交水费＝5×不超过5方时的每方水费+超出5方的部分×超过5方时的每方水费，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：5x+（11﹣5）×（x+2）＝56， 即5x+6（x+2）＝56． 故选：B． 【即学即练2】 长春市居民生活用电阶梯收费标准如表： 档级 月用电量 电价 第1档 170度以下（含170度） 0.525元/度 第2档 170度～260度（含260度） 超过170度部分按0.575元/度 第3档 260度以上 超过260度部分按0.825元/度 根据收费标准，解答下列问题： （1）小军家6月用电量为150度，求这个月应缴的电费； （2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费 　（0.575x﹣8.5）　元（用含x的代数式表示）； （3）8月出现了高温天气，小军家缴电费157.5元，求这个月的用电量． 【分析】（1）根据第一档电费算法列式计算即可； （2）据第二档电费算法列式，化简即可； （3）根据题意先计算第二档电费，再根据第三档电费的价格求得用电量即可． 【解答】解：（1）∵150＜170， ∴150×0.525＝78.75 （元）， 答：小军家这个月应缴纳电费 78.75元； （2）依题意，设用电量为x度，则这个月应缴电费0.525×170+（x﹣170）×0.575＝89.25+0.575（x﹣170）＝0.575x﹣8.5， 故答案为：（0.575x﹣8.5）； （3）当用电量为260度，即x＝260时，电费为：0.575x﹣8.5＝0.575×260﹣8.5＝141， 157.5＞141，即用电量超过260度， 所以用电量为：（度）， 答：小军家这个月的用电量为280度． 知识点03 其他实际问题 1. 其他实际问题： 在实际问题与一元一次方程中，还存在一些其他的问题，如年龄问题，数字问题，储蓄问题，面积问题等，基本核心都是找道题目中的等量关系然后列出问题然后解决问题。 【即学即练1】 4．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，设原两位数的十位数字是x，则可列方程（　　） A．（9﹣x）x﹣[10x+（9﹣x）]＝45 B．[10（9﹣x）+x]﹣[10x+（9﹣x）]＝45 C．[10（9﹣x）+x]＝[10x+（9﹣x）]﹣45 D．（9﹣x）x﹣x（9﹣x）＝45 【分析】根据将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数大45，可以列出相应的方程． 【解答】解：设原两位数的十位数字是x，则个位数字为（9﹣x）， 由题意可得：[10（9﹣x）+x]﹣[10x+（9﹣x）]＝45， 故选：B． 【即学即练2】 5．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为14cm和6cm，如图所示，则图中阴影部分的总面积为（　　）cm2． A．36 B．44 C．84 D．96 【分析】设小长方形的宽为x cm，则长为（x+6）cm，根据长方形的长列出关于x的一元一次方程，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论． 【解答】解：设小长方形的宽为x cm，则长为（x+6）cm， 依题意得：x+6+x+x+x＝14， 解得：x＝2， 则小长方形的长为8cm ∴图中阴影部分的总面积＝14×（6+2×2）﹣6×2×8＝44（cm2）． 故选：B． 【即学即练3】 6．4月9日上午8时，2017徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，如图是两个孩子与记者的对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄． 【分析】根据“两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄”列方程求解． 【解答】解：设妹妹的年龄为x岁，则哥哥的年龄为（16﹣x）岁， 则：3（x+2）+（16﹣x+2）＝34+2， 解得：x＝6， ∴16﹣x＝10． 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁． 题型01 方案选择问题 【典例1】某冷库一天的冷冻食品进出记录如表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出食品的质量（单位：吨） ﹣4 4 ﹣1 3 ﹣3 进出次数 2 1 4 3 2 （1）这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是增加了还是减少了？请说明理由； （2）根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用200元，运出每吨冷冻食品费用400元； 方案二：不管运进还是运出每吨冷冻食品费用都是300元． 从节约运费的角度考虑，选择哪一种方案比较合算？ 【分析】（1）利用各个进出的质量乘以对应的次数，再相加即可得； （2）方案一：先分别求出运进和运出的总质量，再求出总费用；方案二：将运进和运出的总质量的绝对值求和，再乘以300求出总费用，然后将两个总费用进行比较即可得． 【解答】解：（1）﹣4×2+4×1+（﹣1）×4+3×3+（﹣3）×2＝﹣8+4﹣4+9﹣6＝﹣5（吨）， 因为﹣5是负数，表示运出， 所以这天冷库的冷冻食品的质量相比原来是减少了． （2）解：运进的总质量为4×1+3×3＝13（吨）， 运出的总质量为﹣4×2+（﹣1）×4+（﹣3）×2＝﹣18（吨）， 方案一：总费用为13×200+|﹣18|×400＝9800（元）， 方案二：（13+|﹣18|）×300＝9300（元）， 因为9300＜9800， 所以从节约运费的角度考虑，选择方案二比较合算． 【变式1】2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． （1）A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ （2）若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【分析】（1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由（92﹣x）人参加比赛，先计算出46＜x＜90，2＜92﹣x＜46，据此可得方程50x+60（92﹣x）＝5000，解方程即可得到答案； （2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可得到答案． 【解答】解：（1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由（92﹣x）人参加比赛， ∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人， ∴92﹣x＜x＜90， 解得，46＜x＜90，即甲队的人数范围是46＜x＜90， ∴乙队人数范围是：2＜92﹣x＜46， 由题意得，50x+60（92﹣x）＝5000， 解得x＝52， ∴92﹣x＝40， 答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛； （2）由题意得，A团队参加比赛的人数为52﹣10＝42（人）， 当两个团队单独买时的费用为（42+40）×60＝4920（元）， 当两个团队一起买82套时的费用为82×50＝4100（元）， 当两个团队一起买91套时的费用为91×40＝3640（元）， ∵3640＜4100＜4920， ∴两个团队一起买91套时最省钱． 【变式2】某文具店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，售价为每支12元．每天的销售数量以20支为标准，每天售出超出20支的部分记为正，不足20支的部分记为负．该文具店记录了5天该钢笔的销售情况，如表所示． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 每天售出的数量（支） ﹣2 +4 0 ﹣5 +7 （1）在这5天中，第一天售出该种钢笔 　18　支，销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔 　12　支； （2）求该文具店这5天出售这种钢笔的总利润； （3）该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，每支12元；若超过5支，则超过部分每支降价4元； 方案二：每支均打七五折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买x（x＞5）支该种钢笔作为奖品，通过计算说明购买钢笔多少支时两种方案价格相同． 【分析】（1）认真读懂题意，列列算式求值即可； （2）按照题目给出的两种方案和数值，列数式求值比较即可； （3）按照题目给出的两种方案，列出代数式，由两种方案价格相同列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意可知：在这5天中，第一天售出该种钢笔 20﹣2＝18（支）， 销售数量最多的一天比销售数量最少的一天多售出钢笔支数：7﹣（﹣5）＝12（支）， 故答案为：18；12； （2）（12﹣6）×[20×5+（﹣2+4﹣5+7）]＝624（元）， ∴该文具店这5天出售这种钢笔的总利润为624元； （3）方案一：12×5+（12﹣4）×（x﹣5）＝8x+20（元）， 方案二：12×0.75x＝9x（元）， ∵两种方案价格相同， ∴8x+20＝9x， ∴x＝20， ∴购买钢笔20支时两种方案价格相同． 【变式3】希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； （1）每件服装标价多少元？ （2）该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如表所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． （3）在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价50%进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有20%需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利淘，需要准备再次购进服装多少件？ 【分析】（1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设每件服装标价x元， 则：0.95x﹣0.8x＝15 解得：x＝100， 答：每件服装标价为100元； （2）30000÷80＝375＞100， 甲厂可以购进服装：（30000+50）÷（80×0.95）+3×35＝≈500（件）， ∴在甲厂可购进500件服装的费用为：（500﹣3×35）×（80×0.95）﹣50＝29970（元）， 服装店在甲服装厂购进服装利润为：80×500﹣29970＝10030（元）， 乙厂：30000÷（80×0.8﹣4）＝500（件） ∴在乙厂可购进500件服装， ∴在甲厂可购进500件服装的费用为30000﹣500×0.12＝29940（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：500×80﹣29940＝10060（元）； ∵10060＞10030， ∴该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）设需在购进y件服装，由（2）知，进价为：80×0.8﹣4＝60（元）， 现标价为：60×（1+50%）＝90（元）， 按进价的基础上每件服装加价50%销售的服装有：（500+y）（1﹣20%）＝400+0.8y（件）， 按5折出售的服装有：（500+y）20%＝100+0.2y（件）， 售价为：90×50%＝45（元）， 则90（400+0.8y）+45（100+0.2y）﹣29940﹣60y＝14949， 36000+72y+4500+9y﹣29940﹣60y＝14949，即21y＝4389， 解得：y＝209， 答：需要在购进209件服装． 【变式4】2023年11月底，某网店从甲厂家购进了A，B两种商品，A种商品每件进价40元，B种商品每件进价10元，两种商品共购进了500件，所用资金为11000元． （1）求11月底A、B两种商品各购进了多少件？ （2）2024年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产A，B两种商品的乙厂家也提出了优惠方案． 甲厂家优惠方案： 购买总金额 优惠 未超过2000元 不打折 超过2000元，未超过5000元 全部打九折 超过5000元 全部打八折 乙厂家优惠方案： 购买A种商品的总件数 购买B种商品的总件数 优惠 未超过50件 未超过200件 打九折 超过50件，未超过130件的部分 超过200件，未超过400件的部分 打八折 超过130件的部分 超过400件的部分 打七折 1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进A，B两种商品，进价与11月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进A种商品实际付款4320元，第二次全部购进B两种商品实际付款3690元．已知从乙厂家购买A种商品每件进价34元，购买B种商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的A，B两种商品，并享受乙家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，该网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？ 【分析】（1）设A种商品购进了x件、则B种商品购进了（500﹣x）件，根据费用之和为11000元，列出一元一次方程求解即可； （2）根据网店在甲厂家购进A种商品的费用可以得出其两种数量，分别计算两种购买方式的费用，与在乙厂家购买两种商品的费用比较即可． 【解答】解：（1）设A商品销售x件，则B商品销售（500﹣x）件， 由题意可得：40x+10（500﹣x）＝11000， 解得：x＝200， ∴500﹣200＝300（件）， ∴A商品销售200件，则B商品销售300件； （2）5000×0.8＝4000， ∵4320＞4000，3960＜4000， ∴第一次全部购买A种商品的价格是超过5000元，第二次全部购买B种商品的价格是在2000元与5000元之间 ∴4320÷（40×0.8）＝135（件）， 3690÷（10×0.9）＝410（件）， ∴在甲厂家购买A商品135件，B商品410件， ∴在乙厂家购买A商品的费用： 50×34×0.9+（130﹣50）×34×0.8+（135﹣130）×34×0.7＝3825（元）， 在乙厂家购买B商品的费用： 200×12×0.9+200×12×0.8+（410﹣400）×12×0.7＝4164（元）， ∵（4320+3690）﹣（4161+3825）＝39（元）， ∴乙相较于从甲厂家购买，该网店实际付款金额是节省花费，节省39元． 题型02 阶段收费问题 【典例1】水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.5元/立方米收费，超过20立方米的部分按2.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费40元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用x立方米的水，下列方程正确的是（　　） A．1.5x＝40 B．1.5×20+2.5（x﹣20）＝40 C．2.5x＝40 D．2.5×20+1.5（x﹣20）＝40 【分析】根据所交水费的金额＝1.5×20+2.5×超过20立方米得数量，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：1.5×20+2.5（x﹣20）＝40． 故选：B． 【变式1】某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯．阶梯电费计价方式如下： 阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度） 第一阶梯 2760度及以下部分 0.538 第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588 第三阶梯 4801度及以上部分 0.838 小聪家去年12月份用电量为500度，电费为319元，则小聪家去年全年用电量为（　　） A．5250度 B．5100度 C．4900度 D．4850度 【分析】设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据12月份用电量为500度，电费为319元，列出方程，解方程即可． 【解答】解：∵0.588×500＝294（元），500×0.838＝419（元）， 又∵294＜319＜419， ∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度，不足4800度， 设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度，根据题意得： 0.588（500﹣x）+0.838x＝319， 解得：x＝100， 4800+100＝4900（度）， 答：小聪家去年全年用电量为4900度． 故选：C． 【变式2】为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元． （1）林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？ （2）马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？ 【分析】（1）15吨大于12吨，所以把15吨分成两部分，第一部分是12吨，按照每吨3.2元缴费；第二部分是剩下的3吨，按照每吨4.6元缴费，分别根据总价＝单价×数量求出两部分需要缴费的钱数，再相加； （2）设他家5月份用水x吨，先确定用水12吨应交的水费为38.4元，可知他家5月份用水超过12吨，超过12吨部分的水费为4.6（x﹣12）元，可列方程38.4+4.6（x﹣12）＝84.4，解方程求出x的值即可． 【解答】解：（1）12×3.2＝38.4（元）， （15﹣12）×4.6＝3×4.6＝13.8（元）， 38.4+13.8＝52.2（元）， 答：林敏家今年5月用水15吨，他家应付52.2元水费． （2）设马老师家5月份一共用水x吨， 用水12吨时，水费为12×3.2＝38.4（元）， ∵84.4元＞38.4元， ∴马老师家5月份5月份用水量超过了12吨， 根据题意得38.4+4.6（x﹣12）＝84.4， 解得x＝22， 答：马老师家5月份一共用水22吨． 【变式3】我国资源产品价格严重偏低，是造成加工业经营粗放、浪费严重的重要原因之一．因此，资源产品价格改革可以充分地反映资源的稀缺程度、供求关系和环境成本，是转变发展方式，实现经济健康可持续发展的必然途径．资源价格改革的方向是要逐步建立由市场供求决定的价格机制．优化销售电价分类结构，有利于减少交叉补贴，建立有利于节能减排，引导用户合理用电的电价体系．因此，厦门市某小区2023年1月1日开始实行新的阶梯电价制，居民生活用电价格方案如下： 档次 月用电量 电价（单位：元/度） 春秋季 （3，4，5，9，10，11月） 冬夏季 （1，2，6，7，8，12月） 第一档 不超过200度的部分 不超过200度的部分 0.5 第二档 超过200度但是不超过350度的部分 超过200度但是不超过450度的部分 0.55 第三档 超过350度的部分 超过450度的部分 0.8 （1）若小炜家2023年1月用电量为100度，则需交电费 　50　元；若他家同年5月缴纳电费155元，则这个月用电量为 　300　度． （2）若小豪家2023年5月用电量为400度，则需交电费多少元？ （3）若小豪家2023年8月和9月用电量相同，共交电费660元，则小豪家8月份用多少度电？ 【分析】（1）利用需交电费＝单价×用电量，即可求出小炜家2023年1月需交电费金额；求出用电量是200度及350度需交电费金额，结合100＜155＜182.5，可得出小炜家2023年5月用电量超过200度但是不超过350度，设小炜家2023年5月用电量为a度，根据小炜家2023年5月缴纳电费155元，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用需交电费＝单价×用电量，结合各档的单价，即可求出结论； （3）求出月用电量为450度时冬夏季及春秋季需交电费金额，将其相加，由500＜660，可得出小豪家2023年8月和9月的用电量均大于450度，设小豪家8月份的用电量为x度，根据小豪家2023年8月和9月共交电费660元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）0.5×100＝50（元）； ∵0.5×200＝100（元），0.5×200+0.55×（350﹣200）＝182.5（元），100＜155＜182.5， ∴小炜家2023年5月用电量超过200度但是不超过350度． 设小炜家2023年5月用电量为a度， 根据题意得：0.5×200+0.55（a﹣200）＝155， 解得：a＝300， ∴小炜家2023年5月用电量为300度． 故答案为：50，300； （2）根据题意得：0.5×200+0.55×（350﹣200）+0.8×（400﹣350） ＝0.5×200+0.55×150+0.8×50 ＝100+82.5+40 ＝222.5（元）． 答：小豪家2023年5月需交电费222.5元； （3）当月用电量为200度时，需交电费0.5×200＝100（元）； 当月用电量为350度时，需交电费0.5×200+0.55×（350﹣200）＝182.5（元）； 当月用电量为450度时，冬夏季需交电费0.5×200+0.55×（450﹣200）＝237.5（元）； 春秋季需交电费0.5×200+0.55×（350﹣200）+0.8×（450﹣350）＝262.5（元）． ∵237.5+262.5＝500（元），500＜660，且小豪家2023年8月和9月用电量相同， ∴小豪家2023年8月和9月的用电量均大于450度，在第三档． 设小豪家8月份的用电量为x度， 根据题意得：0.5×200+0.55×（450﹣200）+0.8（x﹣450）+0.5×200+0.55×（350﹣200）+0.8（x﹣350）＝660， 解得：x＝550． 答：小豪家8月份用550度电． 【变式4】“阶梯水价”充分发挥市场、价格因素在水资源配置、水需求调节等方面的作用，拓展了水价上调的空间，增强了企业和居民的节水意识，避免了水资源的浪费．阶梯式计量水价将水价分为两段或者多段，每一分段都有一个保持不变的单位水价，但是单位水价会随着耗水量分段而增加．某地“阶梯水价”收费标准如下表（按月计算）： 用水量（单位：m3） 单价（元/m3） 不超过10m3 2 超出10m3，不超出15m3的部分 3 超出15m3的部分 5 例如：该地区某户居民3月份用水12m3，则应交水费为2×10+3×（12﹣10）＝26（元）．根据上表的内容解答下列问题： （1）用户甲5月份用水16m3，则该用户5月份应交水费多少元？ （2）用户乙5月份交水费50元，则该用户5月份的用水量为多少m3？ （3）用户丙5、6两个月共用水30m3，其中6月份用水量超过了15m3，设5月份用水x m3，请用含x的式子表示该户居民5、6两个月共交的水费． 【分析】（1）利用该用户5月份应交水费＝2×10+3×（15﹣10）+5×超出15m3的部分，即可求出结论； （2）设该用户5月份的用水量为y m3，由50＞40，可得出y＞16，根据用户乙5月份交水费50元，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据用户丙5、6两个月的用水量及5月份的用水量，可得出用户丙6月份的用水量，分0＜x≤10及10＜x＜15两种情况，用含x的式子表示该户居民5、6两个月共交的水费即可． 【解答】解：（1）根据题意得：2×10+3×（15﹣10）+5×（16﹣15） ＝2×10+3×5+5×1 ＝20+15+5 ＝40（元）． 答：该用户5月份应交水费40元； （2）设该用户5月份的用水量为y m3， ∵50＞40， ∴y＞16． 根据题意得：2×10+3×（15﹣10）+5（y﹣15）＝50， 解得：y＝18． 答：该用户5月份的用水量为18m3； （3）∵用户丙5、6两个月共用水30m3，其中6月份用水量超过了15m3，5月份用水x m3（0＜x＜15）， ∴用户丙6月份用水（30﹣x）m3． 当0＜x≤10时，该户居民5、6两个月共交水费2x+2×10+3×（15﹣10）+5（30﹣x﹣15）＝（﹣3x+110）（元）； 当10＜x＜15时，该户居民5、6两个月共交水费2×10+3（x﹣10）+2×10+3×（15﹣10）+5（30﹣x﹣15）＝（﹣2x+100）（元）． 综上所述，该户居民5、6两个月共交水费元． 题型03 其他实际问题 【典例1】有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x，则以下列出的方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排3人，就会有100人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【解答】解：∵如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，设学校住宿的学生人数为x， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）．若长方形的周长为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（　　） A．x+（x+2）＝26 B．2x+2（x+2）＝26 C．x+（x﹣2）＝26 D．2x+2（x﹣2）＝26 【分析】根据题意可得长方形的宽为（x﹣2）cm，然后利用长方形的周长为26cm列方程即可． 【解答】解：设正方形的边长为xcm，由题意得： 2x+2（x﹣2）＝26， 故选：D． 【变式2】如图所示8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形． （1）将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由． （2）除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有 　②③④⑤⑥　（填写序号） （3）将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由． 【分析】（1）根据题意表示出5个数，然后相加求解判断即可； （2）分别表示出每个位置上的数，然后相加求解判断即可； （3）根据（2）中的结果得到3c＝33，解得c＝11，然后根据11在日历上的位置求解即可． 【解答】解：（1）∵设其圈住的中心数为n， ∴其他的数分别为n﹣7，n﹣1，n+1，n+7， ∴n﹣7+n﹣1+n+n+1+n+7＝5n ∴5n是5的倍数， ∴图形①是倍数图形； （2）图形②：设中间数为a，则其他的数分别为a﹣8，a﹣7，a﹣6，a﹣1，a+1，a+6，a+7，a+8， ∴a﹣8+a﹣7+a﹣6+a﹣1+a+a+1+a+6+a+7+a+8＝9a， ∵9a是9的整数倍， ∴图形②是倍数图形； 图形③：设第一个数为b，则其他的数分别为b+1，b+7，b+8， ∴b+b+1+b+7+b+8＝4b+16＝4（b+4）， ∵4（b+4）是4的整数倍， ∴图形③是倍数图形； 图形④：设中间数为c，则其他的数分别为c﹣6，c+6， ∴c+c﹣6+c+6＝3c， ∵3c是3的整数倍， ∴图形④是倍数图形； 图形⑤：设中间数为d，则其他的数分别为d﹣1，d+1， ∴d+d﹣1+d+1＝3d， ∵3d是3的整数倍， ∴图形⑤是倍数图形； 图形⑥：设中间数为e，则其他的数分别为e﹣8，e﹣6，e+6，e+8， ∴e﹣8+e﹣6+e+e+6+e+8＝5e， ∵5e是5的整数倍， ∴图形⑥是倍数图形； 图形⑦：设第二个数为f，则其他的数分别为f﹣1，f+1，f+6，f+7，f+8， ∴f﹣1+f+f+1+f+6+f+7+f+8＝6f+21， ∵6f+21不是6的整数倍， ∴图形⑦不是倍数图形； 图形⑧：设第一个数为g，则其他的数分别为g+2，g+8， ∴g+g+2+g+8＝3g+10， ∵3g+10不是3的整数倍， ∴图形⑧不是倍数图形； 综上所述，除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有②③④⑤⑥， 故答案为：②③④⑤⑥． （3）由（2）得，3c＝33， 解得c＝11， ∵c是中间的数，而11在日历上是最左边的数， ∴不符合题意，应舍去， ∴不能圈住三个数，使这三个数之和为33． 【变式3】如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为40；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为7，由此可得这根木棒的长为 　11　cm； （2）图中点A所表示的数是 　18　，点B所表示的数是 　29　； （3）受（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，小艺去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我就125岁啦！”分别求爷爷和小艺现在的年龄． 【分析】（1）木棒移动3次，最左端和最右端的距离是木棒长的3倍，设木棒长度为x cm，列方程，求值． （2）7+11＝18，40﹣11＝29． （3）设年龄差为x岁，仿照（1））列方程，求解，得出年龄． 【解答】解：（1）设木棒长度为x cm，列方程： 3x＝40﹣7， 解得x＝11． 答：木棒长11cm． 故答案为：11． （2）点A所表示的数是7+11＝18， 点B所表示的数是 40﹣11＝29． 故答案为：18，29． （3）设爷爷和小艺的年龄差为x岁， 3x＝125﹣（﹣40）， 解得：x＝55． 小艺年龄为﹣40+55＝15（岁）．爷爷年龄为125﹣55＝70（岁）． 答：小艺现在的年龄为15岁，爷爷现在的年龄为70岁． 1．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过10吨，水价为每吨2元；超过10吨的部分每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水多少吨？若设小莉家该月用水x吨，则可列方程为（　　） A．2×10﹣3.5×（x﹣10）＝34 B．3.5×10+2×（x﹣10）＝34 C．2×10+3.5×（10﹣x）＝34 D．2×10+3.5×（x﹣10）＝34 【分析】利用应缴水费＝2×10+3.5×超出10吨的部分，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得2×10+3.5×（x﹣10）＝34． 故选：D． 2．惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（　　） A．50+0.8x＝x﹣10 B．50+0.8x+x＝10 C．0.8（50+x）＝x﹣10 D．50﹣0.8x＝10x 【分析】此题的关键描述：“卡售价50元，购物打八折，发现使用优惠卡后可以少付10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解． 【解答】解：惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，则有：0.8（50+x）＝x﹣10． 故选：C． 3．父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲（　　）岁． A．28 B．30 C．32 D．35 【分析】设两年前儿子x岁，则两年前父亲8x岁，根据父子二人今年年龄之和为40岁，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：设两年前儿子x岁，则两年前父亲8x岁， 由题意得：x+2+8x+2＝40， 解得：x＝4， ∴8x＝8×4＝32， 即两年前父亲32岁， 故选：C． 4．某商场针对一款服装给出两个调价方案： ①先提价10%，再降价10%； ②先降价20%，再提价20%． 下列说法正确的是（　　） A．①②两种方案的调价结果相同 B．方案①的售价比方案②的售价低 C．方案①的售价比方案②的售价高 D．无法比较，调整后的售价高低取决于服装原售价 【分析】根据题意列出代数式解题即可． 【解答】解：设原来售价为a， 方案①a（1+10%）（1﹣10%）＝0.99a， 方案②a（1﹣20%）（1+20%）＝0.96a， 故方案①的售价比方案②的售价高． 故选C． 5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（　　） A．77 B．84 C．90 D．105 【分析】设这7个数中最小的数为x，则这7个数的和为7x+63，分别代入各选项中的数，解之可得出x的值，结合x为整数，即可得出结论． 【解答】解：设这7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x+2，x+7，x+9，x+14，x+15，x+16， ∴这7个数的和为x+x+2+x+7+x+9+x+14+x+15+x+16＝7x+63． A．根据题意得：7x+63＝77， 解得：x＝2， ∵2在第四列，符合题意， ∴这7个数的和可以是77，选项A不符合题意； B．根据题意得：7x+63＝84， 解得：x＝3， ∵3在第五列，符合题意， ∴这7个数的和可以是84，选项B不符合题意； C．根据题意得：7x+63＝90， 解得：x＝， ∵不是整数，不符合题意， ∴这7个数的和不可能是90，选项C符合题意； D．根据题意得：7x+63＝105， 解得：x＝6， ∵6在第一列，符合题意， ∴这7个数的和可以是105，选项D不符合题意． 故选：C． 6．某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本1.5元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为1.4元；方式二：购买数量不多于50本时按定价销售，超过50本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为x（x＞50）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（　　） A．75 B．50 C．150 D．100 【分析】利用总价＝单价×数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：1.4x＝1.5×50+1.5×0.8（x﹣50）， 解得：x＝75， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为75本． 故选：A． 7．如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（　　） A．m B． C． D． 【分析】设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，表示出x、y、m、n之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可． 【解答】解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n， 由图（1）得4x＝n， 由图（2）得2x+y＝m，y＝3x， ∴5x＝m， ∴， 图（1）中阴影部分的周长为：， 图（2）中阴影部分的周长为：， ∴阴影部分的周长之差为：． 故选：C． 8．潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如表： 行驶里程 计费方法 不超过3公里 起步价8元 超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费 超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50% 超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75% 超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100% 说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算； 行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里． 若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（　　） A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里 【分析】可设行驶里程为x公里，根据等量关系：某人一次乘车费用为26元，列出方程计算即可求解． 【解答】解：设行驶里程为x公里，依题意有： 8+（7﹣3）×1.8+（x﹣7）×1.8×（1+0.5）＝26， 解得x＝11． 故行驶里程为11公里． 故选：C． 9．某超市推出如下优惠方案： （1）购物款不超过200元不享受优惠； （2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠； （3）购物款超过600元一律享受八折优惠． 小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（　　）元． A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过200，即是168元．第二次就有两种情况，一种是超过200元但不超过600元一律9折；一种是购物超过600元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第二次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元． （2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470． ①第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去） 即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元． 综上所述，他两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此一次性购买可以按照8折付款： 638×0.8＝510.4（元） 综上所述，她应付款510.4元． 故选：C． 10．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则x+y的值为（　　） A．1 B．9 C．5 D．4 【分析】根据“三阶幻方”的知识分别列出关于x、y的一元一次方程并求解，然后代入求值即可． 【解答】解：根据题意，可得x+0+（﹣5）＝1+（﹣2）+（﹣5）， 解得x＝﹣1， ∴y+（﹣2）＝1+（﹣1）， 解得y＝2， ∴x+y＝﹣1+2＝1． 故选：A． 11．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，把十位上的数字与个位上的数字对调后，得到的新数与原数的比是6：5，则原来的两位数是　45　． 【分析】设原来的两位数十位数字是x，则个位数字是9﹣x，而新两位数十位数是9﹣x，个位数是x，于是列方程得10（9﹣x）+x＝（10x+9﹣x），解方程求出x的值，再求出代数式9﹣x的值，即可得到问题的答案． 【解答】解：设原来的两位数个位数字是x，则十位数字是9﹣x， 根据题意得10（9﹣x）+x＝（10x+9﹣x）， 解得x＝4， ∴9﹣x＝5， ∴原两位数为45， 故答案为：45． 12．《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为x cm，根据题意，可列方程为 　20（27+2x）＝11（54+2x）　． 【分析】根据题意可以得到：（27+2x）：（54+2x）＝11：20，再根据比例的基本性质，可以得到20（27+2x）＝11（54+2x），本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 20（27+2x）＝11（54+2x）， 故答案为：20（27+2x）＝11（54+2x）． 13．我市为提倡节约用水，采取分段收费，若每户每月用水不超过15m3，每立方米收费3元；若用水超过15m3，超过的部分每立方米加收1元，王老师家3月份交水费89元，则他家该月用水 　26　m3． 【分析】设小明家3月份用水x m3，先求出用水量为15m3时应交水费，与89比较后即可得出x＞15，再根据题意得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设小明家3月份用水x m3，当用水量为15m3时， 应交水费为15×3＝45（元）． ∵45＜89， ∴x＞15． 根据题意得：45+（x﹣15）×（1+3）＝89， 解得：x＝26． 答：他家该月用水26m3． 故答案为：26． 14．小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折．周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡．小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则 　①　花费较少（直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动）；两个面包的定价相差 　6　元． 【分析】可设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，根据使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，列出方程即可求解． 【解答】解：设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，依题意有： x+0.7y﹣0.85（x+y）＝x+0.7y﹣0.85x﹣0.85y＝0.15（x﹣y）， 则0.15（x﹣y）＝0.9， 解得x﹣y＝6． 故使用会员卡花费较少，两个面包的定价相差6元． 故答案为：①，6． 15．在长为4，宽为x（2＜x＜4）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为 　或3　． 【分析】先求出第一次操作后的两边分别为x和（4﹣x），第二次操作后的两边长分别为4﹣x和2x﹣4，再根据2x﹣4和4﹣x的大小分两种情况，根据剩下的纸片恰为正方形，列出方程求解即可． 【解答】解：第一次操作后的两边分别为x和（4﹣x）， 第二次操作后的两边长分别为4﹣x和[x﹣（4﹣x）]即4﹣x和2x﹣4， 当2x﹣4＞4﹣x，即时，第三次操作后一边长为4﹣x，另一条边长为2x﹣4﹣（4﹣x）即3x﹣8， ∴4﹣x＝3x﹣8， ∴x＝3， 当2x﹣4＜4﹣x，即时，第三次操作后一边长为2x﹣4，另一条边长为4﹣x﹣（2x﹣4）即8﹣3x， ∴2x﹣4＝8﹣3x， ∴， 则x的值为或3， 故答案为：或3． 16．经过市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种热水壶和杯子． （1）根据图中提供的信息，求一个杯子的价格是多少元？（列方程解决问题） （2）荔城区五校决定联合购买一批热水壶和杯子．经洽谈，甲商场的优惠方案是：每购买一个热水壶，送一个水杯；乙商场的优惠方案是：若购买热水壶超过50个，则购买的水杯打九折，若购买热水壶不超过50个，不打折．若城区五校联合购买100个热水壶和a（a＞100）个水杯，假如你是本次购买任务的负责人，你会选择到甲、乙两家中的哪一家商场购买更便宜？请说明理由． 【分析】（1）设一个杯子的价格是x元，则一个热水壶的价格是（43﹣x）元，根据两个热水壶三个杯子共94元列方程求解即可； （2）根据甲、乙两商场的优惠方案先求出到两家商场购买一样合算时足球的个数，再根据题意即可求解． 【解答】解：（1）设一个杯子的价格是x元，一个热水壶的价格是（43﹣x）元， 根据题意，得3x+2（43﹣x）＝94， 解得x＝8， 答：一个杯子的价格是8元； （2）由（1）知一个热水壶的价格是43﹣8＝35元， 到甲商场的费用是100×35+8×（a﹣100）＝（8a+2700）元， 到乙商场的费用是100×35+0.9×8a＝（7.2a+3500）元 令8a+2700＝7.2a+3500， 解得a＝1000， 当a＝1000时，选择甲或乙商场； 当a＞1000时，选择乙商场； 当100＜a＜1000时，选择甲商场． 17．古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： （1）丢番图的寿命； （2）丢番图开始当爸爸时的年龄； （3）儿子死时丢番图的年龄． 【分析】设丢番图的寿命为x岁，则根据题中的描述他的年龄＝x的童年+生命的x+x+5年+儿子的年龄+4年，可列出方程，即可求解． 【解答】解：设丢番图的寿命为x岁， 由题意得：x+x+x+5+x+4＝x， 解得：x＝84， 而×84+×84+×84+5＝38，即他38岁时有了儿子． 他儿子活了x＝42岁． 84﹣4＝80岁． 答：丢番图的寿命是84岁；丢番图开始当爸爸时的年龄是38；儿子死时丢番图的年龄是80岁． 18．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 a+0.3 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元． （1）表中a的值为 　0.6　． （2）求老李家9月份的用电量； （3）若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量． 【分析】（1）利用电费＝电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值； （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于157，可得出x＞240，再利用电费＝144+0.65×超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）依题意得：200a＝120， 解得：a＝0.6． 故答案为：0.6； （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵0.6×240＝144（元），144＜157， ∴x＞240． 依题意得：144+0.65（x﹣240）＝157， 解得：x＝260． 答：老李家9月份的用电量为260度． （3）设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：144+0.65×（400﹣240）+（0.6+0.3）（y﹣400）＝0.7y， 解得：y＝560． 答：老李家8月份的用电量为560度． 19．育才学校组织七、八年级老师到省内参加研讨会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择． （1）已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车租金便宜80元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金1140元，则学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ （2）因为第二天学习内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算出使用两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【分析】（1）设25座的客车每辆每天的租金为x元，则45座的客车每辆每天的租金为（x+80）元，根据租金费用列出方程解答即可； （2）先求得学校七年级老师的人数，再分别计算方案一和二的费用，比较可得答案． 【解答】解：（1）设25座的客车每辆每天的租金为x元，则45座的客车每辆每天的租金为（x+80）元， 2（x+80）+5x＝1140， 解得：x＝140， ∴x+80＝220， 答：25座的客车每辆每天的租金为140元，45座的客车每辆每天的租金为220元； （2）设这个学校七年级老师共有y名，则 解得：y＝135 方案一的费用： （135+15）÷25×140＝840（元）， 方案二的费用： 135÷45×220＝660（元）， ∵840＞660， 答：方案二更省钱． 20．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，即它的对角线、横行、纵列的数字之和都相等．这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，每个横行数字和都是15，每个纵列的数字和也是15，每条对角线上的数字和也是15．所以在此幻方中有：幻和＝中心数×3． （1）如图2所示，则幻和＝ 　﹣6　； （2）若b＝4，c＝6，求a的值是 　8　； （3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当x＝2，y＝﹣3时，则a﹣b﹣c+d的值为多少？（写出求解过程） 【分析】（1）由幻和＝中心数×3直接可得答案； （2）根据对角线、横行、纵列的数字之和都相等可求出a的值； （3）用x，y，m，n表示a，b，c，d，代入a﹣b﹣c+d可得答案． 【解答】解：（1）∵幻和＝中心数×3， ∴幻和＝﹣2×3＝﹣6； 故答案为：﹣6； （2）如图： ∵幻和＝﹣6， ∴d＝﹣6﹣b﹣（﹣2）＝﹣6﹣4+2＝﹣8，f＝﹣6﹣c﹣（﹣2）＝﹣6﹣6+2＝﹣10， ∴e＝﹣6﹣c﹣d＝﹣6﹣6﹣（﹣8）＝﹣4， ∴a＝﹣6﹣f﹣e＝﹣6﹣（﹣10）﹣（﹣4）＝8； 故答案为：8； （3）∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴a＝n+y，b＝x+n，c＝x+m，d＝m+y， ∴a﹣b﹣c+d＝n+y﹣x﹣n﹣x﹣m+m+y＝﹣2（x﹣y）， ∵x＝2，y＝﹣3， ∴a﹣b﹣c+d＝﹣2×（2+3）＝﹣10， ∴a﹣b﹣c+d的值为﹣10． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$