八年级数学第三次月考卷（浙教版八上第1～4章)-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D D C C A D D A B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．或 12．（或） 13． 14． 15． 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分） 【详解】（1）解： 移项得，， 合并同类项得， 系数化1得；……………………………………4分 （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，．……………………………………8分 18．（本题满分8分） 【详解】（1）证：∵B（3，0），C（3，2）， ∴B、C的横坐标相同． ∴BC⊥x轴．……………………………………2分 （2）解：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2）， ∴AB＝4，BC＝2． ∴S△ABC＝AB×BC＝×4×2＝4．……………………………………5分 （3）解：∵S△ABP＝2S△ABC， ∴OP＝2BC＝4． ∴P（0，4）或P（0，﹣4）．……………………………………8分 19．（本题满分8分） 【详解】（1）解：证明：B为线段的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴；……………………………………4分 （2）解： 平分， ， ， ， ，， ， ．……………………………………8分 20．（本题满分8分） 【详解】（1）解： 如图：即为所求． ……………………………………2分 （2）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． ……………………………………5分 （3）解：如图：连接，与y轴的交点P即为所求． 由平面直角坐标系可得：．……………………………………8分 21．（本题满分8分） 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响；……………………………………4分 （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有．……………………………………8分 22．（本题满分10分） 【详解】（1）解：设A，B商品每件进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B商品每件进价分别是5元，6元；……………………………………3分 （2）解：设购进A商品m件，则购买B商品件，以10元售出的商品件数为件， 由题意得，， 整理得：， 解得， ∵m为正整数， ∴的值可以有种， ∴有31种进货方案；……………………………………6分 （3）解：设购进A商品t件，则购进B商品件，捐款总额为W， ∴， ∵最大捐款为200元， ∴当时，，则，不符合题意， ∴， ∵这个式子中，140是常数，（a－1）不变的情况下，t的值越大，W的值也就越大， ∴当t最大时，W最大， ∴， 解得．……………………………………10分 23．（本题满分10分） 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形；……………………………………3分 （2）证明：由（1）知：是等边三角形，   ， 是等边三角形， ，， ， ， ，……………………………………4分 ， ， ， ，， ， ；……………………………………6分 （3）解：，证明如下： 如图2，在上截取，连接， ∴，即，    ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ．……………………………………10分 24．（本题满分12分） 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴都是直角三角形，……………………………………2分 ∵，为的中点， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴……………………………………4分 （2）证明：∵，， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴……………………………………7分 （3）解：如图所示，连接，，过点分别作的垂线， ∵ ∴， ∵，， ， ∴， ∴ ∴由（1）可得， ∴ ∴平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中， ∴……………………………………9分 ∴， 在中，， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得， ∴……………………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版八上第1-4章，其中三角形初步14.1%，特殊三角形26.7%，不等式27.5%，坐标31.7%。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（      ） A． B． C． D． 2．若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P为（   ） A． B．或 C． D．或 3．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 4．如图，已知与全等，其中点在边上，，，，，则的长是（   ） A．7 B．10 C．13 D．15 5．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则阴影部分面积是（   ） A．6 B．4 C．8 D．10 6．把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点．若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（    ） A． B． C． D． 8．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度m，要使靠墙的一边长不小于25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把 “先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在ADAC上，且，连接BMBN，当最小时，则（    ）    A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．等腰三角形两边长分别为5和4，则周长为 ． 12．如图，，请你添加一个适当的条件 ，使得 ． 13．如图，一圆柱的高为cm，它的底面周长为cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 14．已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 15．等腰直角在平面直角坐标系中如图所示，，，，，则点的坐标为 ． 16．“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分）解不等式. (1)解不等式：； (2)解不等式：. 18．（本题满分8分）已知点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2）. （1）求证：BC⊥x轴； （2）求△ABC的面积； （3）若在y轴上有一点P，使S△ABP＝2S△ABC，求点P的坐标． 19．（本题满分8分）如图，点为线段的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：CDEF； (2)若，平分，求的度数． 20．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）； (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 21．（本题满分8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为km和km，以台风中心为圆心周围km以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 22．（本题满分10分）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元． (1)求A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？ (3)在(2)的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值． 23．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 24．（本题满分12分）我们学习了性质：“直角三角形中，如果有一个锐角为，那么角所对的直角边等于斜边一半”；探究其逆命题：“在直角三角形中，如果有一个锐角所对的直角边等于斜边一半，那么这个锐角为”是真命题吗？ 已知：如图1，Rt中，，，为的中点，为上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点在的延长线上，连接、，若，求证： ； (3)如图3，在（1）的条件下，若点在的延长线上，连接、，作的垂直平分线交于点，垂足为，连接．已知，，若，求的面积． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版八上第1-4章，其中三角形初步14.1%，特殊三角形26.7%，不等式27.5%，坐标31.7%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，可得，原式变形正确，不符合题意； B、由，可得，原式变形正确，不符合题意； C、由，可得，原式变形正确，不符合题意； D、由，可得，原式变形错误，符合题意； 故选：D． 2．若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P为（   ） A． B．或 C． D． 或 【答案】D 【详解】解：∵y轴上的点P到x轴的距离为5， ∴当点P在y轴正半轴时，；当点P在y轴负半轴时，； 故选：D ． 3．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【详解】解：A、 和关于直线对称， ， ，正确，不符合题意； B、 和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，正确，不符合题意； C、 和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， 为等腰三角形，正确，不符合题意； D、 和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 4．如图，已知与全等，其中点在边上，，，，，则的长是（   ） A．7 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵与全等，， ∴是对应边， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 5．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则阴影部分面积是（   ） A．6 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵点D为中点， ∴， ∵点E为中点， ∴，， ∴， ∵点F为中点，， ∴． 故选：C． 6．把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ． 在数轴上表示为： 故选：． 7．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点． 若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴，， 故选：D． 8．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 9．如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把 “先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB=AC，B(1，0)、C(3，0)， ∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2， ∴A(2，3)， ∴第1次变换A的坐标为(-2，2)； 第2次变换A的坐标为(2，1)； 第3次变换A的坐标为(-2，0)； 第4次变换A的坐标为(2，-1)； 第5次变换A的坐标为(-2，-2)； ∴第2021次变换后的三角形在x轴下方，且第三象限， ∴点A的纵坐标为-2021+3=-2018，横坐标为-2， 所以，连续经过2021次变换后，△ABC顶点A的坐标为(-2，-2018)． 故选：A． 10．如图，等边中，为边上的高，点分别在上，且，连，当最小时，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图1中，作，使得，连接，．    是等边三角形，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 如图2中，当，，共线时，    ， ， ， ， ， 当的值最小时，， 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．等腰三角形两边长分别为5和4，则周长为 ． 【答案】或 【详解】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、4， 能组成三角形，周长为：， ②5是底边长时，三角形的三边分别为4、4、5， 能组成三角形，周长为：， 综上所述，这个等腰三角形的周长是或． 故答案为：或． 12．如图，，请你添加一个适当的条件 ，使得． 【答案】（或） 【详解】解：由题意知，，， 添加时，， 故答案为：． 13．如图，一圆柱的高为，它的底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点向上垂直剪开， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，B是的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为； 故答案为：． 14．已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 【答案】 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集是， 关于的不等式组恰好有3个整数解， 即整数解是4，5，6， ， 解得， 故答案为：． 15．等腰直角在平面直角坐标系中如图所示，，，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∵轴轴，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 则点的坐标为， 故答案为：． 16．“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本． 【答案】 【详解】解：设第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍本， ∴第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为本， 由题意得，， 解得； ∵x为整数， ∴x的值可以为43，44，45，46，47，48； ∵第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为， ∴第一周结束后三个班的图书角的书籍总数一定是的倍数， ∴是26的倍数， ∴是整数， ∴是整数，即是13的倍数， ∴满足题意的x的值只能是45， ∴， ∴第二周结束后丙班图书角拥有书籍本， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分）解不等式 (1)解不等式： (2)解不等式： 【详解】（1）解： 移项得，， 合并同类项得， 系数化1得；……………………………………4分 （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，．……………………………………8分 18．（本题满分8分）已知点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2） （1）求证：BC⊥x轴； （2）求△ABC的面积； （3）若在y轴上有一点P，使S△ABP＝2S△ABC，求点P的坐标． 【详解】（1）证：∵B（3，0），C（3，2）， ∴B、C的横坐标相同． ∴BC⊥x轴．……………………………………2分 （2）解：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2）， ∴AB＝4，BC＝2． ∴S△ABC＝AB×BC＝×4×2＝4．……………………………………5分 （3）解：∵S△ABP＝2S△ABC， ∴OP＝2BC＝4． ∴P（0，4）或P（0，﹣4）．……………………………………8分 19．（本题满分8分）如图，点为线段的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【详解】（1）解：证明：B为线段的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴；……………………………………4分 （2）解： 平分， ， ， ， ，， ， ．……………………………………8分 20．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 【详解】（1）解： 如图：即为所求． ……………………………………2分 （2）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． ……………………………………5分 （3）解：如图：连接，与y轴的交点P即为所求． 由平面直角坐标系可得：．……………………………………8分 21．（本题满分8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于D点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响；……………………………………4分 （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有．……………………………………8分 22．（本题满分10分）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元． (1)求A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值． 【详解】（1）解：设A，B商品每件进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B商品每件进价分别是5元，6元；……………………………………3分 （2）解：设购进A商品m件，则购买B商品件，以10元售出的商品件数为件， 由题意得，， 整理得：， 解得， ∵m为正整数， ∴的值可以有种， ∴有31种进货方案；……………………………………6分 （3）解：设购进A商品t件，则购进B商品件，捐款总额为W， ∴， ∵最大捐款为200元， ∴当时，，则，不符合题意， ∴， ∵这个式子中，140是常数，（a－1）不变的情况下，t的值越大，W的值也就越大， ∴当t最大时，W最大， ∴， 解得．……………………………………10分 23．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形；……………………………………3分 （2）证明：由（1）知：是等边三角形，   ， 是等边三角形， ，， ， ， ，……………………………………4分 ， ， ， ，， ， ；……………………………………6分 （3）解：，证明如下： 如图2，在上截取，连接， ∴，即，    ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ．……………………………………10分 24．（本题满分12分）我们学习了性质：“直角三角形中，如果有一个锐角为，那么角所对的直角边等于斜边一半”；探究其逆命题：“在直角三角形中，如果有一个锐角所对的直角边等于斜边一半，那么这个锐角为”是真命题吗？ 已知：如图1，中，，，为的中点，为上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点在的延长线上，连接、，若，求证： ； (3)如图3，在（1）的条件下，若点在的延长线上，连接、，作的垂直平分线交于点，垂足为，连接．已知，，若，求的面积． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴都是直角三角形，……………………………………2分 ∵，为的中点， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴……………………………………4分 （2）证明：∵，， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴……………………………………7分 （3）解：如图所示，连接，，过点分别作的垂线， ∵ ∴， ∵，， ， ∴， ∴ ∴由（1）可得， ∴ ∴平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在中， ∴……………………………………9分 ∴， 在中，， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ 由（1）可得， ∴……………………………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11.（3 分）________________ 12.（3 分）________________ 13.（3 分）________________ 14.（3 分）________________ 15.（3 分）________________ 16.（3 分）________________ 三、解答题（共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版八上第 1-4 章，其中三角形初步 14.1%，特殊三角形 26.7%，不等式 27.5%，坐 标 31.7%。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知𝑎 < 𝑏，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（ ） A．𝑎 − 3 < 𝑏 − 3 B．𝑎 + < 𝑏 + C．3𝑎 < 3𝑏 D．−3𝑎 < −3𝑏 2．若 y轴上的点 P到 x轴的距离为 5，则点 P为（ ） A．(5,0) B．(5,0)或(−5,0) C．(0,5) D．(0,5)或(0, −5) 3．如图，△ 𝐴𝐵𝐶和△ 𝐴 𝐵 𝐶 关于直线𝑙对称，连接𝐴𝐴 ，𝐵𝐵 ，𝐶𝐶 ，其中𝐴𝐴 与直线𝑙交于点𝑂，点𝐷为直线𝑙上 一点，且不与点𝑂重合，连接𝐴𝐷、𝐴 𝐷．下列说法错误的是（ ） A．∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴 𝐶 𝐵 B．线段𝐴𝐴 ，𝐵𝐵 ，𝐶𝐶 被直线𝑙垂直平分 C．△ 𝐴𝐷𝐴 为等腰三角形 D．线段𝐴𝐶、𝐴 𝐶 所在直线的交点不一定在直线𝑙上 4．如图，已知△ 𝐴𝐵𝐶与△ 𝐵𝐷𝐸全等，其中点𝐷在边𝐴𝐵上，𝐷𝐸 = 𝐴𝐵，𝐷𝐸 ∥ 𝐴𝐶，𝐴𝐶 = 10，𝐴𝐷 = 3，则𝐷𝐸的 长是（ ） A．7 B．10 C．13 D．15 5．如图，在△ 𝐴𝐵𝐶中，已知点 D，E，F分别为边𝐵𝐶，𝐴𝐷，𝐶𝐸的中点，且𝑆△ = 32，则阴影部分面积 是（ ） A．6 B．4 C．8 D．10 6．把不等式3𝑥 − 1 ≤ 2𝑥 + 3的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将点𝐴(𝑚 + 1, 𝑛 − 2)先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度得到点 𝐴 ．若点𝐴 位于第二象限，则 m，n的取值范围分别是（ ） A．𝑚 > 1, 𝑛 < −2 B．𝑚 > 1, 𝑛 > −2 C．𝑚 < 1, 𝑛 < −2 D．𝑚 < 1, 𝑛 > −2 8．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度𝐴𝐶 = 30m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ） A．0 ≤ 𝑥 ≤ 5 B．𝑥 ≥ C．0 ≤ 𝑥 ≤ D． ≤ 𝑥 ≤ 5 9．如图，面积为 3 的等腰△ 𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，点𝐵、点𝐶在𝑥轴上，且𝐵(1,0)、𝐶(3,0)，规定把△ 𝐴𝐵𝐶 “先 沿𝑦轴翻折，再向下平移 1 个单位”为一次变换，这样连续经过 2021 次变换后，△ 𝐴𝐵𝐶顶点𝐴的坐标为（ ） A．(−2, −2018) B．(2, −2018) C．(2, −2019) D．(−2, −2019) 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 10．如图，等边△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的高，点 M、N分别在 AD、AC上，且𝐴𝑀 = 𝐶𝑁，连接 BM、BN， 当𝐵𝑀 + 𝐵𝑁最小时，则∠𝑀𝐵𝑁 =（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11．等腰三角形两边长分别为 5 和 4，则周长为 ． 12．如图，𝐴𝐶 = 𝐴𝐷，请你添加一个适当的条件 ，使得△ 𝐴𝐵𝐶 ≌ △ 𝐴𝐵𝐷． 13．如图，一圆柱的高为12cm，它的底面周长为10cm，在圆柱下底面 A处有一只蚂蚁，它想得到上面 B 处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 14．已知关于𝑥的不等式组 𝑥 − 1 < 2𝑥 − 4 𝑥 + 𝑚 < 1 恰好有 3 个整数解，则𝑚的取值范围 ． 15．等腰直角△ 𝐴𝐵𝐶在平面直角坐标系中如图所示，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，𝐴(0,2)，𝐶(1,0)，则点𝐵的坐 标为 ． 16．“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班 的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于800且小于1000．第一周结束后，三个图书 角共补充了280本图书，此时三个图书角的书本数量之比为8：9：9；第二周结束后，三个图书角又共 补充了360本图书，此时三个图书角的书本数量之比为11：9：14．若每个班的图书角的书籍总本书为 正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本． 三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分 8 分）解不等式. (1)解不等式：2𝑥 > 3 − 𝑥； (2)解不等式： − (𝑥 − 1) < 1. 18．（本题满分 8 分）已知点 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2）. （1）求证：BC⊥x 轴； （2）求△ABC 的面积； （3）若在 y 轴上有一点 P，使 S△ABP＝2S△ABC，求点 P 的坐标． 19．（本题满分 8 分）如图，点𝐵为线段𝐷𝐸的中点，点𝐴为𝐸𝐹上一点，连接𝐴𝐵并延长至点𝐶，使得𝐵𝐶 = 𝐴𝐵， 连接𝐷𝐶． (1)求证：CD∥EF； (2)若∠𝐷𝐹𝐸 = 58°，𝐷𝐸平分∠𝐶𝐷𝐹，求∠𝐸的度数． 20．（本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，△ 𝐴𝐵𝐶的三个顶点的坐标分别是𝐴(2,3)，𝐵(1,0)， 𝐶(1,2)． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ (1)在图中作出△ 𝐴𝐵𝐶关于 y轴对称的△ 𝐴 𝐵 𝐶 ； (2)如果要使以 B，C，D为顶点的三角形与△ 𝐴𝐵𝐶全等，直接写出所有符合条件的点 D坐标（A点除 外）； (3)在 y轴上有一动点 P，使𝑃𝐴 + 𝑃𝐵的距离最小，直接写出 P点的坐标． 21．（本题满分 8 分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候， 有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向𝐴𝐵由点 A行驶向点 B，已知点 C为一海港，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°且 点 C与直线𝐴𝐵上两点 A、B的距离分别为300km 和400km，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影 响区域． (1)海港 C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 22．（本题满分 10 分）某商店购进 A，B两种商品共 140 件进行销售．已知采购 A商品 30 件与 B商品 40 件共 390 元，采购 A商品 20 件与 B商品 30 件共 280 元． (1)求 A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售 A，B两种商品时，先都以标价 10 元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的 7 折售完所有剩余商品．其中以 10 元售出的商品件数比购进 A种商品件数少 20 件，该商店此次降价前 后销售 A，B两种商品共获利不少于 360 元不多于 480 元，求有几种进货方案？ (3)在(2)的条件下，每卖出一件 A商品给希望工程捐 a元，每卖出一件 B商品捐 1 元，140 件商品全部 售出，最大捐款为 200 元，请直接写出 a的值． 23．（本题满分 10 分）在平面直角坐标系中，点 A在 y轴的正半轴上，点 B在第一象限，𝑂𝐵 = 𝐴𝐵，∠𝐵𝑂𝑃 = 150°． (1)如图①，求证：△ 𝑂𝐴𝐵是等边三角形； (2)如图①，若点M为 y轴正半轴上一动点，以𝐵𝑀为边作等边三角形𝐵𝑀𝑁，连接𝑁𝐴并延长交 x轴于点 P，求证：𝐴𝑃 = 2𝐴𝑂； (3)如图②，若𝐵𝐶 ⊥ 𝐵𝑂，𝐵𝐶 = 𝐵𝑂，点𝐷为𝐶𝑂的中点，连接𝐴𝐶、𝐷𝐵交于点 E，请问𝐴𝐸、𝐵𝐸与𝐶𝐸之间 有何数量关系？证明你的结论． 24．（本题满分 12 分）我们学习了性质：“直角三角形中，如果有一个锐角为30°，那么30°角所对的直角 边等于斜边一半”；探究其逆命题：“在直角三角形中，如果有一个锐角所对的直角边等于斜边一半， 那么这个锐角为30°”是真命题吗？ 已知：如图 1，Rt△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 = 90°，𝐴𝐵 = 2𝐴𝐶，𝐷为𝐴𝐵的中点，𝐸为𝐵𝐶上一点，且𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵． (1)求证：∠𝐵 = 30°； (2)如图 2，在（1）的条件下，点𝐹在𝐸𝐷的延长线上，连接𝐵𝐹、𝐴𝐹，若𝐵𝐹 = 2𝐷𝐹，求证：𝐴𝐹 ∥ 𝐵𝐶； (3)如图 3，在（1）的条件下，若点𝐹在𝐸𝐷的延长线上，连接𝐵𝐹、𝐴𝐹，作𝐴𝐹的垂直平分线交𝐸𝐶于点𝐺， 垂足为𝐻，连接𝐹𝐺．已知𝐸𝐺 = 4，𝐺𝐶 = 6，若𝐴𝐶 = 10√3，求△ 𝐵𝐸𝐹的面积． 2024-2025学年八年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 16.（3分）________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：浙教版八上第1-4章，其中三角形初步14.1%，特殊三角形26.7%，不等式27.5%，坐标31.7%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（      ） A． B． C． D． 2．若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P为（   ） A． B．或 C． D．或 3．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段，，被直线垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线上 4．如图，已知与全等，其中点在边上，，，，，则的长是（   ） A．7 B．10 C．13 D．15 5．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且，则阴影部分面积是（   ） A．6 B．4 C．8 D．10 6．把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点．若点位于第二象限，则m，n的取值范围分别是（    ） A． B． C． D． 8．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度m，要使靠墙的一边长不小于25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把 “先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在ADAC上，且，连接BMBN，当最小时，则（    ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．等腰三角形两边长分别为5和4，则周长为 ． 12．如图，，请你添加一个适当的条件 ，使得 ． 13．如图，一圆柱的高为cm，它的底面周长为cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 ． 14．已知关于的不等式组恰好有3个整数解，则的取值范围 ． 15．等腰直角在平面直角坐标系中如图所示，，，，，则点的坐标为 ． 16．“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（本题满分8分）解不等式. (1)解不等式：； (2)解不等式：. 18．（本题满分8分）已知点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2）. （1）求证：BC⊥x轴； （2）求△ABC的面积； （3）若在y轴上有一点P，使S△ABP＝2S△ABC，求点P的坐标． 19．（本题满分8分）如图，点为线段的中点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：CDEF； (2)若，平分，求的度数． 20．（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）； (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 21．（本题满分8分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为km和km，以台风中心为圆心周围km以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？ 22．（本题满分10分）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元． (1)求A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？ (3)在(2)的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值． 23．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 24．（本题满分12分）我们学习了性质：“直角三角形中，如果有一个锐角为，那么角所对的直角边等于斜边一半”；探究其逆命题：“在直角三角形中，如果有一个锐角所对的直角边等于斜边一半，那么这个锐角为”是真命题吗？ 已知：如图1，Rt中，，，为的中点，为上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，点在的延长线上，连接、，若，求证： ； (3)如图3，在（1）的条件下，若点在的延长线上，连接、，作的垂直平分线交于点，垂足为，连接．已知，，若，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$