高二数学第三次月考卷（人教B版2019选修1～3章：空间向量与立体几何+平面解析几何+排列组合与二项式定理）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第三次月考

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选修第一章占比20%（空间向量与立体几何），第二章占比56%（平面解析几何），第三章占比24%（排列组合与二项式定理）。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．48 D．54 4．过点向圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（） A． B． C． D． 6．已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 7．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为底面的中心，为的中点，且，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为 C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项 10．如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．平面 D．直线与平面所成角为 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（    ） A．若的周长为6，则 B．若当时，的内切圆半径为，则 C．若存在点，使得，则 D．若的最大值为2b，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，为中点，，则二面角的余弦值为 . 13．设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个. 14．已知双曲线的焦距为，离心率为2，则双曲线的方程为 .记分别为双曲线的左、右焦点，过作直线与双曲线的右支交于A，B两点.设分别为，的内心，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 16．（15分）在中，为直角，，点分别在边和上，且，如图甲.将沿折起到的位置，使，点在棱上，如图乙. (1)求证：平面； (2)若是的中点，求与平面所成角的大小； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 17．（15分）已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． (1)求圆C的标准方程； (2)求直线l所过的定点； (3)当的面积最大时，求直线l的方程． 18．（17分）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N. ①若A为线段DM的中点，求点A的坐标； ②设，的面积分别为，，若，求线段OA的长. 19．（17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B C B B B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．232 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由可得，令可得，所以展开式中所有项的系数之和为1；--------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）若，则，解得，或舍去， 设的通项为， 且， 所以当时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项；------------------8分 （3）设的通项为， 且， 最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为．--------------------------------------------------13分 16．（15分） 【详解】（1）证明：在图甲中，，在图乙中，， 又平面平面，平面， 又平面，平面；----------------------------------4分 （2）由（1）可如图建立空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则令，得. 设与平面所成角的大小为， 则， ，即与平面所成角的大小为；-------------------------------------------------9分 （3）. 设，则. 设平面的法向量为， 则，解得， 令，得，故， 由题知， 解得或， 所以的值为或.--------------------------------------------------------------------------------------------15分 17．（15分） 【详解】（1），圆C的圆心的圆心坐标为，且和直线相切， 所以圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为；--------------------------------------------------------4分 （2）由，得， 由， ∴直线l过定点；--------------------------------------------------------------------------------------------9分 （3）∵，∴当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离， ∴，解得， ∴此时l的方程为：或.-------------------------------------------------------15分 18．（17分） 【详解】（1）由已知得， 解得， 所以椭圆的方程是.--------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）（1）设，,∴ 由A，M均在椭圆C上， ∴ ， 解得 ，， ∴；--------------------------------------------------------------------------------------------8分 （2）设DA方程为，，， ，得 ，， ∴， ∴． 同理 ∴， ∴ ， ∴；而 ， ∴---------------------------------------------------------------------------------15分 19．（17分） 【详解】（1）解：在双曲线的方程中，令，解得， 因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，， 解得，， 所以的方程为．--------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）解：设，由题意有方程为，① 渐近线方程为，联立得，， 故， 所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等， 则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧， 所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故． 所以. 所以， 所以，所以．-----------------------------------------9分 （3）证明：设，由，所以，， 故曲线的方程为， 由①知切线为，也为，即，即． 易知与在的右侧，在的左侧，分别记、， 到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得， 因为， 所以直线为的等线．--------------------------------------------------------------------------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教 B 版 2019 选修第一章占比 20%（空间向量与立体几何），第二章占比 56%（平面 解析几何），第三章占比 24%（排列组合与二项式定理）。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．将直线 1 : 1 0l x y   绕点  0,1 逆时针旋转 90°得到直线 2l ，则 2l 的方程是（ ） A． 2 0x y   B． 1 0x y   C．2 2 0x y   D．2 1 0x y   2．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F，抛物线上一点 (1, )P t 满足 2PF  ，则抛物线方程为（ ） A． 2 1 4 y x B． 2 1 2 y x C． 2 2y x D． 2 4y x 3．甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行数学建模比赛，决出了第 1 名到第 5 名的名次(无并列情况).甲、 乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说： “你不是第 2 名.”从这三个回答分析，5 名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A．44 B．46 C．48 D．54 4．过点  4,2P 向圆 2 22 2 1 0x x y y     作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． 10 10 B． 4 5  C． 4 5 D． 3 5 5．已知平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 的各棱长均为 1， 1 1 60A AB A AD   ， 90DAB  ，则 1AC   （） A． 3 B． 5 C． 2 D． 2 1 6．已知 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 : 1 4 12 x y E   的左、右焦点，M是 E的左支上一点，过 2F 作 1 2FMF 角平分线的 垂线，垂足为 ,N O为坐标原点，则 | |ON （ ） A．4 B．2 C．3 D．1 7．如图，在四棱锥E ABCD 中，EC 底面 ABCD，底面 ABCD为正方形，O为底面 ABCD的中心， P为 CE的中点，且 1EC BC  ，则点O到直线DP的距离为（ ） A． 10 10 B． 30 10 C． 5 5 D． 10 5 8．已知点 P为椭圆 2 2 : 1 16 12 x y C   上任意一点，直线 l过 2 2: 4 3 0M x y x    的圆心且与 M 交于 ,A B两 点，则PA PB   的取值范围是（ ） A． 3,35 B． 2,34 C． 2,36 D． 4,36 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选 对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知  *1 2 n x n x       N 展开式中共有 8 项．则该展开式结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为 128 B．所有项的系数和为 8 3 2       C．系数最大项为第 2 项 D．有理项共有 4 项 10．如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，已知 1 1AB AD AA   ， 1 1 60A AD A AB BAD       ，E 为棱 1CC 上一点，且 1 2C E EC   ，则（ ） 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … 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小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13 分）已知 2 1 2 n x x      （n为正整数）. (1)若 0 1 2C C C C 64nn n n n      ，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若 1 2C C 465nn n   ，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若 20n  ，求该式的展开式中系数最大的项. 16．（15 分）在Rt ABC△ 中， C 为直角， 2 6AC BC  ，点 ,D E分别在边 AC和 AB上，且DE∥ , 2BC CD  ，如图甲.将 ADE 沿DE折起到 1ADE△ 的位置，使 1AC CD ，点M 在棱 1AD上，如图乙. (1)求证： 1AC 平面BCDE； (2)若M 是 1AD的中点，求CM 与平面 1A BE所成角的大小； (3)若平面BCM与平面 1A BE的夹角的余弦值为 42 28 ，求 1 1 AM A D 的值. 17．（15 分）已知圆 C的圆心是直线 3 0x y   与直线 2 4 0x y   的交点，且和直线 1 0x   相切，直线 : ( 2) (1 2 ) 10 0l m x m y     ，直线 l与圆 C相交于 P，Q两点． (1)求圆 C的标准方程； (2)求直线 l所过的定点； (3)当 CPQ 的面积最大时，求直线 l的方程． 18．（17 分）已知椭圆𝐶: + = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)经过点 3 1, 2 P       ，且离心率为 1 2 . (1)求椭圆 C的方程； (2)若 A，B是椭圆 C上关于坐标原点 O对称的两点，点  4,0D ，连结 DA并延长交 C于点 M，连结 DB 交 C于点 N. ①若 A为线段 DM的中点，求点 A的坐标； ②设 DMN ， DAB 的面积分别为 1S ， 2S ，若 1 2 3 7 S S  ，求线段 OA的长. 19．（17 分）在平面内，若直线 l将多边形分为两部分，多边形在 l两侧的顶点到直线 l的距离之和相等， 则称 l为多边形的一条“等线”．双曲线   2 2 2 2 : 1 0, 0 x y E a b a b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，其离心率 为2，且点 P为双曲线E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点 P，且与E的渐近线交于A 、 B两 点，且点A 在点 B上方．当 2PF x 轴时，直线 1y  为 1 2PFF 的等线．已知双曲线   2 2 2 2 : 1 0, 0 x y E a b a b     在其上一点  0 0,P x y 处的切线方程为 0 02 2 1 x x y y a b   ． (1)求双曲线E的方程； (2)若 2y x 是四边形 1 2AF BF 的等线，求四边形 1 2AF BF 的面积； (3)已知O为坐标原点，设 1 3 OG OP   ，点G的轨迹为曲线，证明：在点G处的切线n为 1 2AF F△ 的等 线． 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选修第一章占比20%（空间向量与立体几何），第二章占比56%（平面解析几何），第三章占比24%（排列组合与二项式定理）。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．48 D．54 4．过点向圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 7．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为底面的中心，为的中点，且，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为 C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项 10．如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．平面 D．直线与平面所成角为 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（    ） A．若的周长为6，则 B．若当时，的内切圆半径为，则 C．若存在点，使得，则 D．若的最大值为2b，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，为中点，，则二面角的余弦值为 . 13．设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个. 14．已知双曲线的焦距为，离心率为2，则双曲线的方程为 .记分别为双曲线的左、右焦点，过作直线与双曲线的右支交于A，B两点.设分别为，的内心，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 16．（15分）在中，为直角，，点分别在边和上，且，如图甲.将沿折起到的位置，使，点在棱上，如图乙. (1)求证：平面； (2)若是的中点，求与平面所成角的大小； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 17．（15分）已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． (1)求圆C的标准方程； (2)求直线l所过的定点； (3)当的面积最大时，求直线l的方程． 18．（17分）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N. ①若A为线段DM的中点，求点A的坐标； ②设，的面积分别为，，若，求线段OA的长. 19．（17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版2019选修第一章占比20%（空间向量与立体几何），第二章占比56%（平面解析几何），第三章占比24%（排列组合与二项式定理）。 5．难度系数：0.60。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的方程为，其斜率为，设直线的斜率为，，． 由题意可知，，，的方程为：，即．故选：B. 2．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得，即，所以抛物线方程为.故选：D. 3．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．48 D．54 【答案】B 【详解】解法一：多重限制的排列问题：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有种排法，则有；②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有种排法，则有；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有种排法，则有；综上，该5名同学可能的名次排情况种数为种. 4．过点向圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，所以圆心为，半径为， 设切点分别为，连接，如图， 则为两切线的夹角，由于， 所以，由二倍角公式可得．故选：C． 5．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取为空间向量的基底，因为，，， 所以，.因为，所以， 所以.故选：B 6．已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点， 由题意有，，又是中点，所以，故选：B. 7．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为底面的中心，为的中点，且，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，则， 故点到直线的距离为.故选：B. 8．已知点为椭圆上任意一点，直线过的圆心且与交于两点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即，则圆心，半径为.椭圆方程，,则，则圆心为椭圆的焦点，由题意的圆的直径，且如图，连接，由题意知为中点，则，可得.点为椭圆上任意一点，则，，由，得.故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为 C．系数最大项为第2项 D．有理项共有4项 【答案】AD 【详解】A项，因为的展开式共有8项，所以．故所有项的二项式系数和为，故A正确；B项，令，可得所有项的系数和为，故B错误；因为二项展开式的通项公式为： ．.C项， 当，设项系数最大， 由，解得，则，且，第3项系数为.当时，，系数为1；当时，，系数为；由，故第3项的系数最大；故C错误；D项，由为整数，且可知，的值可以为：0，2，4，6，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．故选：AD. 10．如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（    ） A． B．直线与所成角的余弦值为 C．平面 D．直线与平面所成角为 【答案】ABD 【详解】不妨设则.对于A，因,故 ，故，故A正确；对于B，因，,则， ，设直线与所成角为，则故B正确；对于C，因 ，即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误；对于D，因，,因，，则有因平面，故平面，即平面的法向量可取为，又，设直线与平面所成角为，因，，，则，因，故，故D正确.故选：ABD. 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，动点在椭圆上，则下列描述正确的有（    ） A．若的周长为6，则 B．若当时，的内切圆半径为，则 C．若存在点，使得，则 D．若的最大值为2b，则 【答案】ABD 【详解】对于A,由椭圆，可得，因为的周长为6，所以，解得，因为，所以，解得，故A正确；对于B，由，可得，当时，由余弦定理可得 ，则，解得，所以，又的内切圆半径为， 所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正确；对于C，若，则以为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，则，所以，所以，解得，所以存在点，使得，则，故C错误；对于D，设， ，又因为，因为下顶点到上顶点的距离为2b，又的最大值为2b，故时取最大值，所以，解得，故D正确.故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，为中点，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【详解】由题意可知，三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且， 则该三棱锥可补形为如图所示的长方体， 且， 则有，解得， 以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为为中点，，所以，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，， 则为平面的一个法向量. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，则为平面的一个法向量. 所以，，. 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. 则二面角的余弦值. 故答案为：. 13．设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个. 【答案】232 【详解】当时，有五个数是0， 另一个数为1或，这样有个； 当时，中有四个数是0， 另两个数为两个1或两个或一个1和一个， 这样有个； 当时，中有三个数是0， 另三个数为三个1或三个或一个1和两个或两个1和一个， 这样有个； 综上集合A中的元素共有232个. 故答案为：232 14．已知双曲线的焦距为，离心率为2，则双曲线的方程为 .记分别为双曲线的左、右焦点，过作直线与双曲线的右支交于A，B两点.设分别为，的内心，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为双曲线的焦距为，离心率为2， 所以，，所以， 所以双曲线的方程为；    记上的切点分别为，有横坐标相等， 则，由， 即，得，即， 记的横坐标为，则，于是，得， 同理可得，内心的横坐标也为，则有轴，设直线的倾斜角为， 则，， 在中，， 由于直线与双曲线的右支交于A，B两点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为， 可得，即，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 【详解】（1）由可得，令可得，所以展开式中所有项的系数之和为1；--------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）若，则，解得，或舍去， 设的通项为， 且， 所以当时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项；------------------8分 （3）设的通项为， 且， 最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为．--------------------------------------------------13分 16．（15分）在中，为直角，，点分别在边和上，且，如图甲.将沿折起到的位置，使，点在棱上，如图乙. (1)求证：平面； (2)若是的中点，求与平面所成角的大小； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【详解】（1）证明：在图甲中，，在图乙中，， 又平面平面，平面， 又平面，平面；----------------------------------4分 （2）由（1）可如图建立空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则令，得. 设与平面所成角的大小为， 则， ，即与平面所成角的大小为；-------------------------------------------------9分 （3）. 设，则. 设平面的法向量为， 则，解得， 令，得，故， 由题知， 解得或， 所以的值为或.--------------------------------------------------------------------------------------------15分 17．（15分）已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． (1)求圆C的标准方程； (2)求直线l所过的定点； (3)当的面积最大时，求直线l的方程． 【详解】（1），圆C的圆心的圆心坐标为，且和直线相切， 所以圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为；--------------------------------------------------------4分 （2）由，得， 由， ∴直线l过定点；--------------------------------------------------------------------------------------------9分 （3）∵，∴当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离， ∴，解得， ∴此时l的方程为：或.-------------------------------------------------------15分 18．（17分）已知椭圆经过点，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B是椭圆C上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N. ①若A为线段DM的中点，求点A的坐标； ②设，的面积分别为，，若，求线段OA的长. 【详解】（1）由已知得， 解得， 所以椭圆的方程是.--------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）（1）设，,∴ 由A，M均在椭圆C上， ∴ ， 解得 ，， ∴；--------------------------------------------------------------------------------------------8分 （2）设DA方程为，，， ，得 ，， ∴， ∴． 同理 ∴， ∴ ， ∴；而 ， ∴---------------------------------------------------------------------------------15分 19．（17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为、，其离心率为，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线．已知双曲线在其上一点处的切线方程为． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，证明：在点处的切线为的等线． 【详解】（1）解：在双曲线的方程中，令，解得， 因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，， 解得，， 所以的方程为．--------------------------------------------------------------------------------------------4分 （2）解：设，由题意有方程为，① 渐近线方程为，联立得，， 故， 所以是线段的中点，因为、到过原点的直线距离相等， 则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧， 所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故． 所以. 所以， 所以，所以．-----------------------------------------9分 （3）证明：设，由，所以，， 故曲线的方程为， 由①知切线为，也为，即，即． 易知与在的右侧，在的左侧，分别记、， 到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得， 因为， 所以直线为的等线．--------------------------------------------------------------------------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二上学期第三次月考卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！