5.3 实际问题与一元一次方程（二）同步练习2024-2025学年人教版 数学七年级上册

数学（人教版）| 七年级（上） 同步练习 第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程（二） 一．积分类问题 二．储蓄与利息问题 三．分段计费问题 四．方案选择问题 一．积分类问题 1．某次知识竞赛共20道题，每答对一题得5分，答错或不答要扣1分．某选手在这次竞赛中共得70分，那么他答对几道题？ 2．12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，崇德中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 （1）这次竞赛中答对一题得 　 　分，答错一题得 　 　分； （2）参赛学生F得分为70分，求他答错了几道题？ （3）参赛学生G说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由． 3．在一次知识竞赛中，甲、乙两班各有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题的答题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分”． （1）请直接写出每位同学所有可能的得分情况； （2）甲班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍；乙班的答题情况为：没有同学全部答错，答对一题人数的3倍和答对2题的人数之和等于全部答对的人数． ①求甲班全部答对的人数； ②请判断甲乙两班哪个班的得分更高，并说明理由． 二．储蓄与利息问题 4．李明把一笔钱存入银行，存期2年，年利率3.24%，今年8月份到期，共得利息259.2元，原来李明存入银行多少元？（无利息税） 5．（列方程解应用题）小明一年前存入银行一笔钱，年利率为2.25%，到期共获得本息和为10225元，求小明一年前存入银行的本金是多少元？ 6．小丽的妈妈在银行存入5000元，存期一年，到期银行代扣利息税22.5元，求这项储蓄的年利率是多少？（国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20%，储户取款时由银行代扣代收）． 7．小李把5000元存入银行，存期1年，年利率4%． （1）到期支取时，小李能取回本金和利息共多少元？ （2）小李用取回的所有钱买了一台打八折的电脑，求电脑的原价是多少元？ 三．分段计费问题 8．某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户居民预先自主选择．具体电价如下： 电价分类 时段 电价（元/千瓦时） 非峰谷电价 全天24小时 0.538 峰谷电价 高峰时段 上午8：00～晚上22：00 0.568 低谷时段 晚上22：00～次日晨8：00 0.288 现某居民户10月份用电100千瓦时． （1）若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电x千瓦时，请用含x的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费． （2）若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元，问该居民户高峰时段用电多少千瓦时？ 9．泰州凤城河风景区是国家AAAA景区，景区以望海楼为中心，与桃园、老街交相呼应，吸引各地游客前来旅游观光．其中望海楼和桃园门票零售单价都为40元/人，但团体票单价计算方式不同． 望海楼团体票单价计算方式：当旅游团人数不超过25人时，团体票单价为零售单价的90%；当旅游团人数超过25人但不超过50人时，团体票单价为零售单价的85%；当旅游团人数超过50人时，团体票单价为零售单价的80%． 桃园的团体票单价计算方式如表： 人数范围（人） 0～20 20﹣40 40﹣60 60以上 团体票单价（元/人） 零售单价的95% 零售单价的85% 零售单价的70% 零售单价的60% 说明：①0～20是指人数大于0人且小于或等于20人，其他类同； ②桃园团体票单价分段计算，与望海楼不同，例如，旅游团人数35人，团体票总票价费用为40×95%×20+40×85%×（35﹣20）＝1270（元）． （1）若旅游团人数为30人，先后游玩了望海楼和桃园，都购买了团体票，则在望海楼购买门票总费用为 　 　元，在桃园购买门票总费用为 　 　元； （2）若旅游团人数为x人（50＜x≤60，即x大于50且小于或等于60），先后游玩了望海楼和桃园，也都购买了团体票，则在望海楼购买门票总费用为 　 　元，在桃园购买门票总费用为 　 　元（用含x的代数式表示，结果需化简）； （3）若旅游团人数为x人（x＞50），先后游玩了望海楼和桃园，都购买团体票，所付门票总费用是否可能一样？如果可能，求出x的值，如果不可能，请说明理由． 10．根据我国税法规定个人所得税的收缴实行分段税率制，具体如表所示： 个人月收入 相应税率 0～800元 0% 800～1200元 5% 1200～2000元 10% （1）小张的月工资是1800元，请计算小张每月应缴纳多少个人所得税？ （2）小李每月交纳个人所得税60元，请推测小李每月的工资． 11．用A4纸在某复印店复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.5元，复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.4元；在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.45元． （1）若某人复印60张，你认为到哪复印较为合算？ （2）小王想了解一下复印多少张时，在复印店和图书馆收费一样多，请你帮助他解决一下． 四．方案选择问题 12．某校服生产厂生产学生冬季校服和夏季校服，冬季校服每套定价400元，夏季校服每套定价80元．厂家为了得到学生和家长的青睐，特提供两种优惠方案：①买一套冬季校服送一套夏季校服；②冬季校服和夏季校服都按定价的90%付款．某班准备购买50套冬季校服，夏季校服x套（x＞50）． （1）若x＝100通过计算说明此时按哪种方案购买较为划算？ （2）x为何值时，两种优惠方案所需付款相同？ 13．七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： （1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）3班的学生人数为a（a＞40），如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由． 14．某校七年级准备观看电影，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择： 方案一：全体人员可打8折； 方案二：若打9折，有5人可以免票． （1）若二班有41名学生，则该班班长应该选择哪种方案购票合算？ （2）一班班长思考了一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的，你知道一班有多少人吗？ 15．综合与实践 随着5G时代的来临，小李换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每50元月租费，流量资费0.4元/GB；第二种是没有月租费，但流量资费0.6元/GB．设小李每月使用流量x GB． （1）小李按第一种套餐每月需花费 　 　元，按第二种套餐每月需花费 　 　元；（用含x的式子表示） （2）若小李这个月使用流量300GB，通过计算说明哪种套餐比较合算； （3）小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 答案 一．积分类问题 1．某次知识竞赛共20道题，每答对一题得5分，答错或不答要扣1分．某选手在这次竞赛中共得70分，那么他答对几道题？ 【答案】解：设他答对x道题，则答错或不答（20﹣x）道题， 根据题意得：5x﹣1×（20﹣x）＝70， 解得：x＝15． 答：他答对15道题． 2．12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，崇德中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了5位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 （1）这次竞赛中答对一题得 　5　分，答错一题得 　﹣1　分； （2）参赛学生F得分为70分，求他答错了几道题？ （3）参赛学生G说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】解：（1）设答对一题得x分，根据题意，得20x＝100， 解得x＝5； 设答错一题得y分， 19×5+y＝94， 解得y＝﹣1． 故答案为：5，﹣1； （2）设参赛学生F答错了x道题，依题可得： 5（20﹣x）﹣x＝70， 解得x＝5． 答：参赛学生F答错了5道题． （3）不可能，理由如下： 设参赛学生G答对了y道题，依题可得： 5y﹣（20﹣y）＝60， 解得，而y是整数， ∴方程无符合要求的解． ∴参赛学生G的得分为6（0分）是不可能的． 3．在一次知识竞赛中，甲、乙两班各有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题的答题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分”． （1）请直接写出每位同学所有可能的得分情况； （2）甲班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍；乙班的答题情况为：没有同学全部答错，答对一题人数的3倍和答对2题的人数之和等于全部答对的人数． ①求甲班全部答对的人数； ②请判断甲乙两班哪个班的得分更高，并说明理由． 【答案】解：（1）若只答对1题，则不答或答错2题，得分为：1×10﹣2×10＝﹣10， 若只答对2题，则不答或答错1题，得分为：2×10﹣1×10＝10， 若只答对3题，得分为：3×10＝30， 若不答或答错3题，得分为：0﹣3×10＝﹣30， 答：每位同学所有可能的得分情况是﹣30分、﹣10分、10分和30分； （2）①设甲班答对1题的有x人， 由题意得，2+（3x﹣6）+2x+x＝50， 解得x＝9， 3×9﹣6＝21（人）， 答：甲班全部答对的人数是21人； ②乙班得分更高． 由题意得，甲班答对3题有21人，答对2题的有18人，答对1题的有9人，全部答错的有2人， 故甲班的得分为21×30+18×10﹣9×10﹣2×30＝660（分）， 设乙班全部答对的有a人，答对1题的有b人，答对2题的有（a﹣3b）人， 所以a+b+（a﹣3b）＝50， 即a﹣b＝25， 故乙班得分为30a+10（a﹣3b）﹣10b＝40（a﹣b）＝1000（分）， 1000＞660， 答：乙班得分更高． 二．储蓄与利息问题 4．李明把一笔钱存入银行，存期2年，年利率3.24%，今年8月份到期，共得利息259.2元，原来李明存入银行多少元？（无利息税） 【答案】解：设原来李明存入银行x元， 依题意，得：x×3.24%×2＝259.2， 解得x＝4000， 答：原来李明存入银行4000元． 5．（列方程解应用题）小明一年前存入银行一笔钱，年利率为2.25%，到期共获得本息和为10225元，求小明一年前存入银行的本金是多少元？ 【答案】解：设小明一年前存入银行的本金是x元， 依题意得：x+2.25%x＝10225， 解得：x＝10000． 答：小明一年前存入银行的本金是10000元． 6．小丽的妈妈在银行存入5000元，存期一年，到期银行代扣利息税22.5元，求这项储蓄的年利率是多少？（国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20%，储户取款时由银行代扣代收）． 【答案】解：根据题意得： 5000x×20%＝22.5， 解得：x＝0.0225＝2.25%， 答：这项储蓄的年利率是2.25%． 7．小李把5000元存入银行，存期1年，年利率4%． （1）到期支取时，小李能取回本金和利息共多少元？ （2）小李用取回的所有钱买了一台打八折的电脑，求电脑的原价是多少元？ 【答案】解：（1）由题意可得， 小李可以取回：5000+5000×4%×1 ＝5000+200 ＝5200（元）， 答：到期支取时，小李能取回本金和利息共5200元； （2）设电脑的原价是x元，则： 0.8x＝5200． 解得x＝6500． 答：电脑的原价是6500元． 三．分段计费问题 8．某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每户居民预先自主选择．具体电价如下： 电价分类 时段 电价（元/千瓦时） 非峰谷电价 全天24小时 0.538 峰谷电价 高峰时段 上午8：00～晚上22：00 0.568 低谷时段 晚上22：00～次日晨8：00 0.288 现某居民户10月份用电100千瓦时． （1）若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电x千瓦时，请用含x的代数式表示该居民户这个月应缴纳的电费． （2）若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元，问该居民户高峰时段用电多少千瓦时？ 【答案】解：（1）该居民户10月份用电100千瓦时，其中低谷时段用电x千瓦时， 则高峰时段用电（100﹣x）千瓦时， 0.568（100﹣x）+0.288x＝（56.8﹣0.28x）元， 答：该居民户这个月应缴纳的电费为（56.8﹣0.28x）元； （2）设该居民户高峰时段用电y千瓦时， 由题意得：0.568y+0.288（100﹣y）＝0.538×100﹣13.8， 解得：y＝40， 答：该居民户高峰时段用电40千瓦时． 9．泰州凤城河风景区是国家AAAA景区，景区以望海楼为中心，与桃园、老街交相呼应，吸引各地游客前来旅游观光．其中望海楼和桃园门票零售单价都为40元/人，但团体票单价计算方式不同． 望海楼团体票单价计算方式：当旅游团人数不超过25人时，团体票单价为零售单价的90%；当旅游团人数超过25人但不超过50人时，团体票单价为零售单价的85%；当旅游团人数超过50人时，团体票单价为零售单价的80%． 桃园的团体票单价计算方式如表： 人数范围（人） 0～20 20﹣40 40﹣60 60以上 团体票单价（元/人） 零售单价的95% 零售单价的85% 零售单价的70% 零售单价的60% 说明：①0～20是指人数大于0人且小于或等于20人，其他类同； ②桃园团体票单价分段计算，与望海楼不同，例如，旅游团人数35人，团体票总票价费用为40×95%×20+40×85%×（35﹣20）＝1270（元）． （1）若旅游团人数为30人，先后游玩了望海楼和桃园，都购买了团体票，则在望海楼购买门票总费用为 　1020　元，在桃园购买门票总费用为 　1100　元； （2）若旅游团人数为x人（50＜x≤60，即x大于50且小于或等于60），先后游玩了望海楼和桃园，也都购买了团体票，则在望海楼购买门票总费用为 　32x　元，在桃园购买门票总费用为 　（320+28x）　元（用含x的代数式表示，结果需化简）； （3）若旅游团人数为x人（x＞50），先后游玩了望海楼和桃园，都购买团体票，所付门票总费用是否可能一样？如果可能，求出x的值，如果不可能，请说明理由． 【答案】解：（1）在望海楼购买门票总费用为：40×85%×30＝1020元， 在桃园购买门票总费用为：40×95%×20+40×85%×（30﹣20）＝1100元； 故答案为：1020；1100； （2）若旅游团人数为x人（50＜x＜60），在望海楼购买门票总费用为40×80%x＝32x元， 在桃园购买门票总费用为40×95%×20+40×85%×20+40×70%×（x﹣40）＝760+680+28x﹣1120＝320+28x， 故答案为：32x；320+28x； （3）可能一样， 当50＜x＜60时，在望海楼购买门票总费用为32x， 在桃园购买门票总费用为320+28x， 由题意得320+28x＝32x， 解得x＝80，不合题意； 当x＞60时，在望海楼购买门票总费用为32x，在桃园购买门票总费用为： 40×95%×20+40×85%×20+40×70%×20+40×60%×（x﹣60）＝560+24x， 由题意得560+24x＝32x， 解得x＝70， 答：当x＝70时，在望海楼和桃园购买门票总费用一样． 10．根据我国税法规定个人所得税的收缴实行分段税率制，具体如表所示： 个人月收入 相应税率 0～800元 0% 800～1200元 5% 1200～2000元 10% （1）小张的月工资是1800元，请计算小张每月应缴纳多少个人所得税？ （2）小李每月交纳个人所得税60元，请推测小李每月的工资． 【答案】解：（1）（1200﹣800）×5%+（1800﹣1200）×10% ＝400×5%+600×10% ＝20+60 ＝80（元）， ∴小张每月应缴纳80元个人所得税； （2）设小李每月的工资为x元， 当800≤x≤1200时，（1200﹣800）×5%＝20（元）， ∵20元＜60元＜80元， ∴1200＜x＜1800， 由题意得：（1200﹣800）×5%+（x﹣1200）×10%＝60， 解得：x＝1600， ∴小李每月的工资为1600元． 11．用A4纸在某复印店复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.5元，复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.4元；在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.45元． （1）若某人复印60张，你认为到哪复印较为合算？ （2）小王想了解一下复印多少张时，在复印店和图书馆收费一样多，请你帮助他解决一下． 【答案】解：（1）当复印60张， 复印店收费：20×0.5+（60﹣20）×0.4＝26（元）， 图书馆收费：60×0.45＝27（元）， ∵26元＜27元， 答：在复印店复印较为合算． （2）设复印x（x＞20）张，两处的收费相同， 由题意可得：20×0.5+（x﹣20）×0.4＝0.45x， 解得：x＝40， 答：复印40张时，在复印店和图书馆收费一样多． 四．方案选择问题 12．某校服生产厂生产学生冬季校服和夏季校服，冬季校服每套定价400元，夏季校服每套定价80元．厂家为了得到学生和家长的青睐，特提供两种优惠方案：①买一套冬季校服送一套夏季校服；②冬季校服和夏季校服都按定价的90%付款．某班准备购买50套冬季校服，夏季校服x套（x＞50）． （1）若x＝100通过计算说明此时按哪种方案购买较为划算？ （2）x为何值时，两种优惠方案所需付款相同？ 【答案】解：（1）方案①：50×400+（100﹣50）×80＝24000（元）， 方案②：（元）． ∵24000＜25200， ∴当x＝100时，按方案①购买更划算； （2）由题可知：， 解得：x＝250， 答：x＝250时，两种优惠方案所需付款相同． 13．七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话： （1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ （3）3班的学生人数为a（a＞40），如果你是3班班长，请你从两种方案中为3班选出一种最实惠的购票方案，并说明理由． 【答案】解：（1）44×20×0.8＝704（元）， 答：1班购票需要704元； （2）设2班有x人，由题意得20（x﹣7）×0.9＝702， 解得x＝46， 答：2班有46人； （3）选择方案二购票更省钱，理由如下： 设3班有a人，由题意得20（a﹣7）×0.9＝20a×0.8， 解得a＝63， ∴当班级人数为63人时，两种方案费用相等， 由（1）（2）可知，当班级44人时，按照方案一购票的费用高于班级46人的方案二购票的费用， ∴3班应选择方案二购票更省钱． 14．某校七年级准备观看电影，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：40人以上的团体票有两种优惠方案可选择： 方案一：全体人员可打8折； 方案二：若打9折，有5人可以免票． （1）若二班有41名学生，则该班班长应该选择哪种方案购票合算？ （2）一班班长思考了一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱都是一样的，你知道一班有多少人吗？ 【答案】解：（1）由方案一：全体人员可打8折， 得方案一需付费30×80%×41＝984 （元）， 由方案二：若打9折，有5人可以免票， 得方案二需付费30×90%×（41﹣5）＝972 （元）， ∵984＞972， ∴二班班长应该选择方案二购票合算； （2）设一班共有x人，依题意得， 30×80% x＝30×90%×（x﹣5）， 解得x＝45， 答：一班共有45人． 15．综合与实践 随着5G时代的来临，小李换了新发布的5G手机并且需要新办一种5G套餐．运营商提出了两种包月套餐方案，第一种是每50元月租费，流量资费0.4元/GB；第二种是没有月租费，但流量资费0.6元/GB．设小李每月使用流量x GB． （1）小李按第一种套餐每月需花费 　50+0.4x　元，按第二种套餐每月需花费 　0.6x　元；（用含x的式子表示） （2）若小李这个月使用流量300GB，通过计算说明哪种套餐比较合算； （3）小李每月使用多少流量时，两种套餐花费一样多？ 【答案】解：（1）由第一种是每50元月租费，流量资费0.4元/GB， 得按第一种套餐每月需花费（50+0.4x）元， 由第二种是没有月租费，但流量资费0.6元/GB， 得按第二种套餐每月需花费0.6x元， 故答案为：50+0.4x，0.6x； （2）按第一种套餐花费50+0.4×300＝170（元）， 第二种套餐花费0.6×300＝180（元）， ∵170＜180， ∴第一种套餐比较划算； （3）有题意可得，50+0.4x＝0.6x， 解得x＝250， 答：小李每月使用250GB流量时，两种套餐花费一样多． 学科网（北京）股份有限公司 $$